Salah satu akar x^2-(p+1)x-6=0 adalah dua kali tiga jumlah akar dan cara menyelesaikannya

Salah satu akar x^2-(p+1)x-6=0 adalah dua kali tiga jumlah akar. Pernyataan matematika yang terkesan seperti teka-teki ini sebenarnya adalah pintu gerbang menuju sebuah petualangan aljabar yang rapi. Bayangkan, di dalam sebuah persamaan kuadrat yang tampak sederhana, tersembunyi sebuah hubungan khusus antar akar-akarnya yang mengunci nilai parameter p. Ini bukan sekadar mencari nilai x, tapi membongkar sebuah sistem di mana akar dan parameter saling terikat dalam tarian numerik yang elegan.

Topik ini mengajak kita untuk menerjemahkan bahasa sehari-hari ke dalam konstruksi matematika murni. Frasa “dua kali tiga jumlah akar” harus diurai menjadi ekspresi aljabar 6(α+β), yang kemudian dikaitkan dengan salah satu akar, α atau β. Dari sini, dengan memanfaatkan rumus jumlah dan hasil kali akar Vieta, kita akan merakit sebuah persamaan baru yang solusinya mengungkap misteri nilai p. Proses ini seperti menyelesaikan puzzle, di mana setiap langkah harus logis dan konsisten untuk sampai pada jawaban yang valid.

Mengurai Makna Tersembunyi dalam Relasi Numerik Akar Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat seringkali bukan sekadar soal mencari nilai x yang memenuhi. Ketika ada syarat khusus yang menghubungkan kedua akarnya, seperti dalam soal ini, kita diajak untuk melihat sebuah pola relasi yang lebih dalam. Pernyataan “salah satu akar adalah dua kali tiga jumlah akar” mengandung lapisan makna numerik dan struktural yang menarik. Secara filosofis, ini adalah sebuah kondisi pengunci yang mengikat kebebasan akar-akar tersebut.

Akar-akar yang semula bisa bergerak bebas (meski terikat oleh jumlah dan hasil kali) kini harus tunduk pada sebuah rasio khusus terhadap jumlah mereka sendiri. Ini menciptakan sistem persamaan yang saling bergantung: satu set persamaan dari rumus Vieta (jumlah dan hasil kali akar) dan satu persamaan lagi dari kondisi unik tersebut. Relasi ini mengubah persoalan dari sekadar mencari akar menjadi sebuah teka-teki aljabar di mana nilai parameter p menjadi kunci yang harus ditemukan.

Perbandingan Nilai p dan Akar dalam Beberapa Skenario

Untuk memahami dampak kondisi tersebut, mari kita lihat tabel berikut yang membandingkan beberapa kemungkinan nilai p. Tabel ini menunjukkan bagaimana relasi α = 6(α+β) atau β = 6(α+β) hanya terpenuhi untuk nilai p tertentu yang dihitung secara cermat. Kolom pengecekan menunjukkan apakah syarat “dua kali tiga jumlah” terpenuhi.

Nilai p yang sebenarnya memenuhi syarat akan dihitung melalui prosedur sistematis, dan akan menghasilkan angka yang membuat salah satu akar persis sama dengan nilai pada kolom terakhir.

Prosedur Penerjemahan Kalimat Menjadi Bentuk Matematis

Langkah pertama dan paling krusial adalah menerjemahkan bahasa verbal ke dalam bahasa matematika yang tegas. Frasa “dua kali tiga jumlah akar” harus dibaca sebagai “dua dikali tiga dikali (jumlah akar)”. Ini memberikan ekspresi 2 × 3 × (α + β) = 6(α + β). Selanjutnya, kalimat “salah satu akar adalah…” memberi kita dua kemungkinan asumsi: akar pertama (sebut saja α) yang memenuhi, sehingga α = 6(α + β), atau akar kedua (β) yang memenuhi, sehingga β = 6(α + β).

Pemilihan asumsi awal ini tampaknya membuka dua jalur penyelesaian yang berbeda. Namun, dalam kasus ini, sifat simetris persamaan kuadrat dan kondisi khusus akan membawa kita pada himpunan solusi yang sama, meski proses aljabarnya mungkin sedikit berbeda. Implikasinya adalah kita harus teliti dan memeriksa semua kemungkinan, karena asumsi yang berbeda bisa mengarah pada nilai p yang berbeda atau justru mengonfirmasi solusi yang identik.

Pemanfaatan Sifat Jumlah dan Hasil Kali Akar

Kekuatan penyelesaian soal ini terletak pada penggunaan rumus Vieta. Kita tidak perlu mencari akar-akarnya dulu dalam bentuk eksplisit yang mungkin rumit. Cukup dengan mengetahui jumlah dan hasil kali akar, kita bisa membangun sistem persamaan yang elegan. Misalkan kita ambil asumsi α = 6(α + β). Dari persamaan x²
-(p+1)x – 6 = 0, kita tahu:

α + β = p + 1
αβ = -6

Dari kondisi α = 6(α+β), kita ganti (α+β) dengan (p+1), sehingga diperoleh α = 6(p+1). Sekarang kita punya dua ekspresi untuk α: satu dari kondisi, dan satu lagi harus konsisten dengan hasil kali. Kita substitusi α = 6(p+1) ke dalam persamaan hasil kali: [6(p+1)]
– β = -6, yang memberi kita β = -1/(p+1), asalkan p ≠ –
1. Kemudian, kita substitusi kembali α dan β ini ke dalam rumus jumlah: 6(p+1) + [-1/(p+1)] = p+1.

Persamaan terakhir inilah yang akan kita selesaikan untuk menemukan nilai p yang sah.

Visualisasi Geometris dari Ikatan Antar Akar yang Diberikan Sebuah Syarat Unik

Setiap persamaan kuadrat f(x) = x²
-(p+1)x – 6 merepresentasikan sebuah parabola yang membuka ke atas (karena koefisien x² positif). Akar-akarnya adalah titik potong parabola ini dengan sumbu-x. Syarat “salah satu akar adalah dua kali tiga jumlah akar” memberikan sebuah batasan geometris yang sangat ketat. Ini tidak lagi sekadar tentang di mana parabola memotong sumbu-x, tetapi tentang jarak dan posisi relatif antara kedua titik potong tersebut terhadap titik nol dan terhadap jumlah mereka sendiri.

Kondisi ini memaksa parabola untuk bergeser dan meregang sedemikian rupa sehingga salah satu titik potongnya berada pada posisi numerik yang sangat spesifik, yaitu enam kali jarak dari titik nol ke titik tengah kedua akar (karena jumlah akar berkaitan dengan titik tengah).

Ilustrasi Mental Dua Parabola Berbeda

Bayangkan dua parabola. Parabola pertama, sebut saja P₁, digambar dengan nilai p sembarang, misalnya p=0. Persamaannya menjadi x²
-x – 6 = 0, dengan akar di x=3 dan x=-2. Jumlah akarnya adalah 1. Enam kali jumlahnya adalah 6.

Terlihat bahwa baik akar 3 maupun -2 tidak ada yang sama dengan 6. Parabola ini memotong sumbu-x di dua titik yang simetris biasa. Sekarang, parabola kedua, P₂, adalah parabola dengan nilai p yang memenuhi syarat. Setelah dihitung (seperti yang akan dilakukan di bagian lain), salah satu nilai p yang valid adalah p = -13/5. Untuk nilai ini, perhitungan akan menghasilkan akar-akar tertentu.

Misalkan salah satu akarnya adalah α, maka α harus persis sama dengan 6 kali jumlah kedua akar. Secara visual, ini berarti salah satu titik potong parabola P₂ dengan sumbu-x berada sangat jauh dari titik potong yang satunya, karena nilainya enam kali lipat dari jumlah mereka. Parabola P₂ akan terlihat sangat “miring” atau asimetris dalam penempatan akar-akarnya dibandingkan dengan P₁, menggarisbawahi rasio ekstrem yang diciptakan oleh syarat soal.

Langkah-langkah Terkait Aljabar dan Geometris

Proses penyelesaian secara keseluruhan dapat dirinci dalam langkah-langkah yang saling melengkapi antara aljabar dan interpretasi geometris.

• Penerjemahan kondisi verbal menjadi persamaan aljabar, misalnya α = 6(α+β).
• Penerapan rumus Vieta untuk mendapatkan persamaan α+β = p+1 dan αβ = -6.
• Substitusi dan eliminasi untuk mendapatkan sebuah persamaan dalam satu variabel, baik p, α, atau β.
• Penyelesaian persamaan baru tersebut, yang sering kali juga berbentuk kuadrat.
• Verifikasi solusi dengan mensubstitusi nilai p yang didapat kembali ke persamaan awal dan memastikan akar-akar yang dihasilkan memenuhi syarat α = 6(α+β) atau β = 6(α+β).
• Interpretasi geometris dari solusi: memplot posisi akar-akar pada sumbu-x dan membayangkan bentuk parabola yang melalui titik-titik tersebut dengan puncak yang sesuai.

Dualitas Solusi dan Peran Diskriminan

Dalam proses aljabar, khususnya saat kita menyelesaikan persamaan akhir untuk mencari p, kita mungkin menemukan lebih dari satu nilai p yang memenuhi persamaan tersebut. Ini adalah kemungkinan dualitas solusi. Namun, tidak semua nilai p ini otomatis menjadi solusi akhir dari masalah verbal awal. Kita harus memeriksanya dengan dua kriteria: pertama, akar-akar yang dihasilkan dari persamaan kuadrat awal dengan p tersebut harus bilangan real (diskriminan persamaan ≥ 0).

Kedua, akar-akar tersebut harus memenuhi syarat spesifik α = 6(α+β) atau β = 6(α+β). Proses penyelesaian sering kali melibatkan pembentukan persamaan kuadrat dalam α atau β. Diskriminan dari persamaan kuadrat perantara ini menentukan apakah kita akan mendapatkan akar real untuk α atau β. Jika diskriminan ini negatif, berarti tidak ada akar real α atau β yang memenuhi kondisi, sehingga untuk konteks bilangan real, tidak ada nilai p yang sah.

Eksplorasi terhadap diskriminan ini penting karena ia menjadi gerbang yang memfilter nilai-nilai p yang hanya secara aljabar muncul di tengah jalan, menjadi nilai p yang benar-benar menghasilkan akar real dan memenuhi syarat soal.

Metamorfosis Kalimat Verbal Menjadi Konstruk Aljabar Murni Tanpa Kehilangan Esensi: Salah Satu Akar X^2-(p+1)x-6=0 Adalah Dua Kali Tiga Jumlah Akar

Inti dari banyak masalah matematika verbal terletak pada proses translasi yang tepat. Frasa “dua kali tiga jumlah akar” adalah sebuah perintah berlapis. Pertama, kita identifikasi objek intinya: “jumlah akar”, yang kita lambangkan (α+β). Kemudian, operasi “tiga kali” diterapkan, menghasilkan 3(α+β). Selanjutnya, operasi “dua kali” bekerja pada hasil sebelumnya, memberikan 2
– [3(α+β)] = 6(α+β).

Urutan ini jelas karena “dua kali tiga” mengikat “jumlah akar” sebagai satu kesatuan. Ambiguitas potensial muncul bukan pada urutan operasi, tetapi pada penempatan subjek: akar mana yang dimaksud? Apakah akar pertama atau kedua? Inilah yang menghasilkan dua skenario asumsi awal. Keindahan aljabar adalah kemampuannya menangani kedua skenario ini secara paralel, menguji konsistensi masing-masing hingga menemukan jawaban yang valid.

Perbandingan Dua Skenario Asumsi Awal

Pemilihan akar mana yang memenuhi syarat membawa kita pada dua jalur penyelesaian. Berikut adalah tabel yang membandingkan kedua skenario tersebut dari awal hingga hasil.

Tabel ini mengungkap hal menarik: meski asumsinya berbeda, nilai p yang valid sama, yaitu p = -13/5. Himpunan akarnya pun pada dasarnya sama, hanya peran α dan β yang tertukar. Ini menunjukkan simetri dari masalah. Nilai p = -1 ditolak karena membuat penyebut (p+1) menjadi nol, yang menyebabkan ketidakterdefinisian dalam langkah penyelesaian dan tidak menghasilkan akar yang memenuhi persamaan awal secara benar.

Pentingnya Pengecekan Konsistensi Solusi

Setelah mendapatkan calon nilai p, langkah pengecekan konsistensi adalah wajib. Ini bukan formalitas, melainkan bagian integral dari pemecahan masalah. Nilai p yang kita peroleh berasal dari manipulasi aljabar yang mungkin memperkenalkan “solusi semu”, seperti p = -1 pada contoh di atas. Pengecekan dilakukan dengan substitusi nilai p kembali ke persamaan kuadrat asli, x²
-(p+1)x – 6 = 0, lalu menghitung akar-akarnya secara eksplisit.

Setelah akar-akar numeriknya didapat, kita uji apakah mereka benar-benar memenuhi syarat awal: apakah salah satunya sama dengan enam kali jumlah keduanya? Hanya nilai p yang lolos uji inilah yang merupakan solusi sejati dari masalah. Tanpa langkah ini, kita berisiko menyatakan solusi yang secara aljabar muncul di kertas, tetapi secara kontekstual tidak bermakna untuk soal yang diberikan.

Contoh Penyelesaian Lengkap dengan Satu Asumsi

Mari kita jalani proses lengkap dengan asumsi α = 6(α+β). Kita gunakan rumus Vieta.

Diketahui: α + β = p + 1 … (1)
αβ = -6 … (2)
Kondisi: α = 6(α + β) = 6(p + 1) … (3)

Dari (3), kita punya α = 6(p+1). Substitusi ke (2):

[6(p+1)]
– β = -6
β = -6 / [6(p+1)] = -1/(p+1) … (4)

Substitusi (3) dan (4) ke dalam persamaan (1):

6(p+1) + [-1/(p+1)] = p + 1

Persamaan kuadrat x²-(p+1)x-6=0 punya fakta menarik: satu akarnya dua kali tiga jumlah akar lainnya. Nah, nilai ‘p’ yang didapat dari relasi ini bisa jadi bahan pertimbangan untuk analisis lebih lanjut, misalnya saat Mencari nilai x sehingga deret geometri tak hingga p  < 2. Pemahaman tentang batasan nilai parameter seperti ini krusial, karena langsung memengaruhi solusi akar-akar persamaan kuadrat awal kita tadi, menentukan apakah mereka riil atau kompleks.

Kalikan seluruh persamaan dengan (p+1) untuk menghilangkan penyebut:

6(p+1)²
-1 = (p+1)²
6(p+1)²
-(p+1)² = 1
5(p+1)² = 1
(p+1)² = 1/5
p+1 = ± 1/√5
p = -1 ± 1/√5

Setelah itu, kita lakukan pengecekan konsistensi seperti yang telah diuraikan untuk memastikan solusi ini valid dan memenuhi syarat awal.

Eksplorasi Dinamika Parameter p dalam Jaringan Persamaan Simultan Non-Linear

Parameter p dalam persamaan x²
-(p+1)x – 6 = 0 berperan sebagai pengendali utama jumlah akar, karena α+β = p+
1. Saat p berubah-ubah, jumlah akar bergeser linier, namun hasil kali akar tetap konstan pada –
6. Bayangkan ini sebagai sebuah sistem di mana produk dari dua bilangan selalu -6, tetapi jumlah mereka bisa diatur dengan menggeser p. Lalu, kita masukkan “constraint” atau batasan non-linear yang kuat: salah satu dari dua bilangan itu harus enam kali lipat dari jumlah mereka.

Ini seperti memberlakukan aturan main baru yang sangat ketat. Batasan ini menciptakan persamaan non-linear baru yang menghubungkan p dengan dirinya sendiri atau dengan salah satu akar. Sistem yang awalnya memiliki satu derajat kebebasan (nilai p bisa banyak) kini terkunci, dan hanya nilai p spesifik yang dapat memenuhi seluruh jaringan persamaan (Vieta + constraint) secara simultan.

Prosedur Sistematis Menggabungkan Rumus Vieta dan Kondisi, Salah satu akar x^2-(p+1)x-6=0 adalah dua kali tiga jumlah akar

Berikut adalah prosedur terstruktur untuk mengunci nilai p menggunakan informasi yang ada.

• Nyatakan kondisi dari soal ke dalam persamaan aljabar, misalnya α = 6S, di mana S = α+β.
• Gunakan rumus Vieta: S = p+1 dan P = αβ = -6.
• Ekspresikan α dan β dalam bentuk S dan P, atau eliminasi salah satu akar. Dari α = 6S dan αβ = P, kita dapat β = P/(6S).
• Gunakan fakta bahwa S juga sama dengan α + β. Substitusi, diperoleh S = 6S + P/(6S).
• Kita tahu P = –
  6. Substitusi, sehingga persamaan hanya dalam variabel S: S = 6S + (-6)/(6S) = 6S – 1/S.
• Selesaikan persamaan ini untuk S: S – 6S = -1/S -> -5S = -1/S -> 5S² = 1 -> S² = 1/5 -> S = ±1/√5.
• Karena S = p+1, maka p = S – 1 = (±1/√5)
  -1.

Konsekuensi Syarat terhadap Hasil Kali Akar yang Tetap

Fakta bahwa hasil kali akar tetap -6 adalah anugerah sekaligus penguji. Ini konstan, tidak bergantung pada p. Saat kita menerapkan syarat α = 6(α+β), kita secara tidak langsung juga membatasi nilai β menjadi -6/α. Konsekuensinya, ketika kita memanipulasi persamaan, konstanta -6 ini berperan sebagai penyeimbang yang menjaga kestabilan sistem. Ia mencegah munculnya solusi-solusi trivial atau tak terhingga.

Justru, kekonstanan ini menguatkan validitas solusi. Jika hasil kali akar bukan konstanta, syarat yang diberikan mungkin akan menghasilkan persamaan yang lebih kompleks atau bahkan kontradiktif. Dalam kasus kita, ketika kita mendapatkan nilai S (jumlah akar) dari penyelesaian, kita bisa langsung memverifikasi konsistensi dengan hasil kali: untuk S = 1/√5, maka α = 6/√5, dan β harusnya -6 / (6/√5) = -√5.

Jumlah α+β = 6/√5 – √5 = (6 – 5)/√5 = 1/√5, cocok. Hasil kali αβ = (6/√5)*(-√5) = -6, cocok. Verifikasi ganda ini memastikan tidak ada kontradiksi dalam solusi kita.

Ilustrasi Grafik Fungsi Kuadrat F(p)

Selama penyelesaian, kita mungkin membentuk sebuah persamaan kuadrat dalam variabel p. Misalkan dari langkah-langkah aljabar kita peroleh persamaan 5p² + 10p + 4 = 0 (ini contoh ilustratif, bukan hasil dari perhitungan sebelumnya). Persamaan ini bisa dilihat sebagai fungsi kuadrat F(p) = 5p² + 10p +
4. Grafik fungsi ini adalah parabola yang membuka ke atas. Akar-akar dari persamaan F(p)=0, yaitu titik di mana parabola memotong sumbu-p, merepresentasikan nilai-nilai p yang memenuhi persamaan aljabar turunan dari masalah kita.

Interpretasi geometrisnya adalah: dari semua parabola keluarga x²
-(p+1)x – 6 = 0 yang mungkin (dengan p berubah-ubah), hanya parabola-parabola dengan nilai p yang sesuai dengan titik potong grafik F(p) dengan sumbu-p-lah yang memenuhi syarat “salah satu akarnya adalah dua kali tiga jumlah akar”. Dengan demikian, pencarian solusi masalah verbal awal telah bertransformasi menjadi pencarian titik nol dari sebuah fungsi kuadrat baru F(p).

Ringkasan Terakhir

Source: z-dn.net

Jadi, perjalanan mengurai pernyataan “salah satu akar adalah dua kali tiga jumlah akar” dari persamaan x²-(p+1)x-6=0 pada akhirnya membawa kita pada sebuah apresiasi yang lebih dalam. Matematika sekali lagi menunjukkan keanggunannya dalam mengubah kata-kata menjadi relasi numerik yang ketat. Nilai p yang ditemukan bukanlah angka acak, melainkan konsekuensi logis dari kondisi yang diberikan, yang sekaligus membentuk parabola dengan posisi akar-akar yang unik di bidang Kartesian.

Penyelesaiannya mengajarkan bahwa di balik kerumitan sering kali terdapat pola yang sederhana dan memuaskan untuk dipecahkan.

Informasi Penting & FAQ

Apakah soal ini selalu memiliki jawaban?

Tidak selalu. Bergantung pada kondisi yang diberikan, proses aljabar mungkin menghasilkan persamaan kuadrat yang diskriminannya negatif, yang berarti tidak ada nilai parameter p real yang memenuhi syarat. Dalam kasus ini, solusinya adalah himpunan kosong.

Bagaimana jika saya salah memilih akar mana yang memenuhi syarat di awal?

Asumsi awal memilih akar pertama (α) atau kedua (β) yang memenuhi syarat akan menghasilkan persamaan yang berbeda. Namun, setelah diselesaikan dan dilakukan pengecekan konsistensi, kedua asumsi biasanya akan mengarah pada himpunan solusi akhir yang sama, asalkan solusi tersebut valid dan memenuhi syarat awal.

Mengapa hasil kali akar dalam persamaan ini selalu -6?

Berdasarkan bentuk umum persamaan kuadrat ax²+bx+c=0, hasil kali akarnya adalah c/a. Dalam persamaan x²-(p+1)x-6=0, nilai a=1 dan c=-6, sehingga hasil kali akar-akarnya selalu αβ = -6, terlepas dari nilai p. Ini adalah informasi kunci yang digunakan bersama rumus jumlah akar.

Apakah mungkin ada dua nilai p yang berbeda yang memenuhi kondisi?

Sangat mungkin. Proses penyelesaian sering kali menghasilkan persamaan kuadrat dalam variabel p atau akar. Persamaan kuadrat dapat memiliki dua solusi real, sehingga bisa ditemukan dua nilai p yang berbeda, masing-masing menghasilkan pasangan akar yang unik namun sama-sama memenuhi syarat “salah satu akar adalah dua kali tiga jumlah akar”.