Menyelesaikan Persamaan Selisih 2× Kuadrat dan 5× Bilangan Sama dengan 3

Selisih 2× kuadrat dan 5× bilangan = 3, cari bilangan. Kalimat yang terdengar seperti teka-teki ini sebenarnya adalah inti dari sebuah persamaan kuadrat klasik yang sering menguji pemahaman aljabar dasar. Masalah semacam ini bukan sekadar angka dan rumus, melainkan sebuah latihan logika untuk menerjemahkan bahasa sehari-hari ke dalam bahasa matematika yang universal, sebuah keterampilan fundamental yang berguna dari ruang kelas hingga aplikasi praktis.

Persoalan ini meminta kita untuk menemukan sebuah bilangan misterius. Ketika dua kali kuadrat bilangan tersebut dikurangi lima kali bilangan itu sendiri, hasilnya haruslah tiga. Proses penyelesaiannya melibatkan perumusan persamaan, penyederhanaan, dan penerapan metode aljabar yang tepat untuk mengungkap nilai-nilai yang memenuhi syarat. Mari kita telusuri langkah demi langkah bagaimana teka-teki numerik ini dapat dipecahkan dengan pendekatan yang sistematis dan jelas.

Memahami Masalah Matematika

Soal yang berbunyi “Selisih 2× kuadrat dan 5× bilangan = 3” mungkin terdengar seperti teka-teki bahasa, namun ia adalah sebuah persamaan matematika yang terselubung. Kalimat ini mengajak kita untuk menerjemahkan frasa sehari-hari ke dalam bahasa universal aljabar. Kata kunci “bilangan” merujuk pada suatu nilai yang belum diketahui, yang dalam matematika biasa dilambangkan dengan sebuah variabel, misalnya x. Sementara itu, “2× kuadrat” berarti dua kali dari kuadrat bilangan tersebut, atau 2x².

“5× bilangan” berarti lima kali bilangan itu sendiri, atau 5x. Frasa “selisih” mengindikasikan operasi pengurangan. Dengan demikian, pernyataan lengkapnya dapat dibaca sebagai: kuadrat bilangan yang dikali dua, dikurangi lima kali bilangan, hasilnya sama dengan tiga.

Persamaan sederhana seperti “selisih 2× kuadrat dan 5× bilangan = 3” mengajarkan kita untuk mencari solusi pasti dari suatu masalah. Mirip halnya, kompleksitas permasalahan nyata seperti Dampak Sosial dan Ekonomi Pertumbuhan Penduduk Tanpa Kendali memerlukan analisis mendalam dan solusi terukur. Kembali ke persamaan, setelah dianalisis, kita temukan bahwa bilangan yang memenuhi adalah 3 atau -½, menunjukkan bahwa setiap persoalan, baik matematis maupun sosial, memiliki akar jawabannya sendiri.

Penerjemahan ke Bentuk Aljabar

Berdasarkan pemahaman di atas, kita dapat menyusun terjemahan aljabar secara sistematis. Variabel yang tidak diketahui adalah bilangan itu sendiri, yang kita simbolkan dengan x. Konstanta yang muncul adalah angka-angka koefisien (2 dan 5) serta bilangan 3 di ruas kanan. Langkah awal yang krusial adalah menempatkan operasi “selisih” dengan benar. Karena selisih biasanya mengacu pada pengurangan yang berurutan, pernyataan “Selisih A dan B” sering diartikan sebagai A – B.

Maka, bentuk aljabar awal dari masalah ini adalah 2x²
-5x = 3. Persamaan inilah yang akan menjadi fondasi untuk pencarian solusi.

Merumuskan dan Menyederhanakan Persamaan

Persamaan 2x²
-5x = 3 belum berada dalam bentuk standar persamaan kuadrat. Bentuk standar sangat penting karena memungkinkan kita menerapkan berbagai metode penyelesaian yang sistematis. Bentuk standar tersebut adalah ax² + bx + c = 0, di mana semua suku dikumpulkan di satu ruas (biasanya ruas kiri) dan ruas lainnya dibuat nol. Proses penyederhanakan ini melibatkan manipulasi aljabar dasar yang bertujuan untuk “menjernihkan” persamaan sebelum diselesaikan.

Langkah-langkah Penyederhanan Menuju Bentuk Standar

Penyederhanaan dimulai dengan memindahkan konstanta 3 dari ruas kanan ke ruas kiri. Caranya adalah dengan mengurangkan 3 pada kedua ruas persamaan. Operasi ini menjaga kesetaraan persamaan. Setelah langkah ini dilakukan, kita akan mendapatkan persamaan kuadrat dalam bentuk standar yang siap untuk diolah lebih lanjut. Tabel berikut merinci proses ini beserta penjelasan logis di balik setiap langkah.

Metode Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat standar 2x²
-5x – 3 = 0 dapat dipecahkan untuk menemukan nilai x yang memenuhi, yang disebut akar-akar persamaan. Terdapat tiga metode utama yang umum digunakan: pemfaktoran, rumus kuadrat (ABC), dan melengkapkan kuadrat sempurna. Pemilihan metode sering bergantung pada kerapihan koefisien persamaan. Untuk persamaan ini, kita akan menguji dua metode pertama sebagai perbandingan.

Penerapan Metode Pemfaktoran

Pemfaktoran bertujuan menulis ulang persamaan kuadrat menjadi bentuk perkalian dua faktor linear. Untuk 2x²
-5x – 3 = 0, kita mencari dua bilangan yang hasil kalinya adalah a*c = 2*(-3) = -6 dan hasil jumlahnya adalah b = –
5. Bilangan-bilangan tersebut adalah -6 dan +
1. Proses pemfaktorannya adalah:
2x²
-6x + 1x – 3 = 0
2x(x – 3) + 1(x – 3) = 0
(2x + 1)(x – 3) = 0
Dari sini diperoleh: 2x + 1 = 0 → x = -½, atau x – 3 = 0 → x = 3.

Penerapan Rumus Kuadrat (ABC)

Rumus kuadrat adalah alat yang sangat powerful dan selalu berlaku untuk persamaan kuadrat apapun. Rumusnya adalah:

x = [-b ± √(b²
-4ac)] / (2a)

Dengan a=2, b=-5, c=-3, perhitungannya sebagai berikut:
Diskriminan (D) = b²
-4ac = (-5)²
-4*2*(-3) = 25 + 24 = 49.
Akar kuadrat dari diskriminan adalah √49 = 7.
Maka, x₁ = [5 + 7] / (4) = 12/4 = 3.
x₂ = [5 – 7] / (4) = (-2)/4 = -½.
Hasilnya konsisten dengan metode pemfaktoran.

Perbandingan Metode untuk Konteks Soal

Source: fliphtml5.com

• Pemfaktoran: Cepat dan elegan jika faktornya mudah ditemukan. Untuk persamaan ini, metode ini efisien. Namun, kelemahannya adalah tidak selalu mudah untuk melihat faktor-faktornya, terutama jika koefisiennya besar atau akarnya tidak bulat.
• Rumus Kuadrat: Sangat andal dan selalu berhasil untuk semua jenis persamaan kuadrat, terlepas dari apakah akarnya rasional, irasional, atau kompleks. Kekurangannya, rumus ini melibatkan lebih banyak langkah hitung dan perhitungan akar.
• Melengkapkan Kuadrat: Metode ini penting secara konseptual karena menjadi dasar turunan rumus ABC, tetapi dalam penyelesaian soal praktis seperti ini, ia cenderung lebih panjang dan kurang efisien dibanding dua metode lainnya.

Verifikasi Solusi yang Diperoleh

Setelah mendapatkan solusi x = 3 dan x = -½, langkah kritis yang tidak boleh terlewat adalah verifikasi. Verifikasi dilakukan dengan mensubstitusikan kembali setiap nilai x ke dalam pernyataan awal masalah, sebelum disederhanakan ke bentuk standar. Tujuannya adalah memastikan bahwa solusi tersebut memang memenuhi konteks kalimat “selisih” yang diberikan, dan tidak ada kesalahan aljabar selama proses penyederhanaan. Dalam matematika terapan, verifikasi juga memastikan solusi masuk akal dalam konteks dunia nyata.

Proses Substitusi dan Pengecekan

Kita akan menguji kedua solusi ke dalam persamaan awal: 2x²
-5x = 3.

Untuk x = 3:

• *(3)²
• 5*(3) = 2*9 – 15 = 18 – 15 = 3. (BENAR)

Untuk x = -½:

• *(-½)²
• 5*(-½) = 2*(¼) + (5/2) = ½ + 5/2 = 6/2 = 3. (BENAR)

Kedua solusi tersebut terbukti memenuhi persamaan. Pentingnya memeriksa semua solusi terlihat jelas; jika kita hanya menemukan satu solusi melalui cara tertentu, kita mungkin kehilangan solusi lainnya yang sama-sama valid. Dalam masalah berbasis kata, terkadang hanya satu solusi yang masuk akal secara kontekstual (misalnya, jika x mewakili panjang, nilai negatif akan ditolak), tetapi secara matematis, semua solusi yang memenuhi persamaan harus diakui.

Aplikasi dan Variasi Soal Serupa

Struktur logika “selisih” dalam persamaan kuadrat dapat divariasikan dengan mengubah koefisien dan konstanta. Perubahan ini tidak hanya menghasilkan jawaban numerik yang berbeda, tetapi juga dapat mempengaruhi sifat diskriminan, yang pada akhirnya menentukan jumlah dan jenis akar (real berbeda, real kembar, atau imajiner). Memahami variasi ini memperkaya kemampuan dalam memecahkan masalah yang lebih luas.

Perbandingan Soal Asli dan Variasi, Selisih 2× kuadrat dan 5× bilangan = 3, cari bilangan

Variasi menunjukkan bahwa ketika konstanta diubah, nilai akar berubah. Yang lebih menarik, pada Variasi 2, dimana persamaan disusun ulang menjadi 3x²
-6x + 3 = 0, diskriminannya nol. Ini menghasilkan satu solusi ganda, yang secara grafis berarti parabola hanya menyentuh sumbu X di satu titik. Jika konstanta dibuat sedemikian rupa sehingga D negatif, maka tidak ada solusi bilangan real, yang berarti tidak ada bilangan real yang memenuhi pernyataan “selisih” tersebut.

Representasi Visual dan Grafis

Setiap persamaan kuadrat dapat divisualisasikan sebagai sebuah parabola pada bidang kartesius. Persamaan dari soal kita, setelah disusun sebagai fungsi f(x) = 2x²
-5x – 3, menggambarkan sebuah parabola yang terbuka ke atas (karena a=2 > 0). Solusi dari masalah “selisih = 3” secara grafis berkorespondensi dengan titik-titik di mana grafik fungsi ini memotong sumbu X, yaitu saat f(x) = 0.

Menyelesaikan persamaan selisih 2x² dan 5x sama dengan 3 memerlukan ketelitian analitis, serupa dengan presisi yang dibutuhkan dalam memahami peran strategis seorang gubernur. Dalam konteks pemerintahan, posisi ini memiliki kompleksitas tersendiri sebagaimana diatur dalam Tugas Ganda Gubernur dalam UU No. 32 Tahun 2004 , yang menuntut keseimbangan antara fungsi eksekutif dan representasi. Kembali ke persamaan, setelah dianalisis, solusi bilangan yang memenuhi adalah x = 3 atau x = -½, menunjukkan bahwa setiap masalah, baik matematis maupun pemerintahan, memiliki jawaban yang terstruktur.

Namun, ada lapisan interpretasi visual yang lebih langsung terkait pernyataan awal.

Grafik dan Titik Potong

Parabola f(x) = 2x²
-5x – 3 akan memotong sumbu Y di titik (0, -3), yang didapat dengan mensubstitusi x=0. Titik puncak (vertex) parabola dapat dihitung, memberikan informasi tentang nilai minimum fungsi. Dua titik potong sumbu X-nya adalah (3, 0) dan (-0.5, 0), yang tepat adalah solusi x=3 dan x=-½ yang telah kita temukan. Titik-titik inilah jawaban numerik dari masalah kita.

Representasi Visual “Selisih”

Pernyataan awal “2x²
-5x = 3″ dapat direpresentasikan dengan dua grafik. Misalkan kita gambarkan kurva g(x) = 2x²
-5x (sebuah parabola) dan garis horizontal h(x) = 3. “Selisih” 2x²
-5x dan 3 sama dengan nol dapat diartikan sebagai selisih vertikal antara kurva g(x) dan garis h(x) adalah nol. Dengan kata lain, solusi masalah ini adalah koordinat-x dari titik-titik di mana parabola g(x) = 2x²
-5x dan garis h(x) = 3 berpotongan.

Pada titik-titik potong tersebut, nilai g(x) persis sama dengan 3, sehingga selisihnya nol. Visualisasi ini memperkaya pemahaman bahwa menyelesaikan persamaan sama dengan mencari titik potong antara dua grafik.

Ringkasan Akhir

Dengan demikian, perjalanan untuk mengurai persamaan dari pernyataan “selisih 2× kuadrat dan 5× bilangan = 3” telah membuahkan dua solusi valid: 3 dan -½. Proses ini menggarisbawahi bahwa sebuah masalah yang dirumuskan dalam kata-kata dapat diurai menjadi struktur matematika yang presisi. Pemahaman ini tidak hanya menyelesaikan satu soal, tetapi membekali kita dengan kerangka berpikir untuk menyelesaikan berbagai variasi persoalan serupa, menegaskan kembali kekuatan aljabar sebagai alat untuk menata chaos menjadi keteraturan.

Bagian Pertanyaan Umum (FAQ): Selisih 2× Kuadrat Dan 5× Bilangan = 3, Cari Bilangan

Apakah soal ini selalu menghasilkan dua jawaban?

Tidak selalu. Jumlah solusi persamaan kuadrat bergantung pada diskriminannya. Soal ini kebetulan memiliki dua solusi real. Bisa saja ada variasi soal yang hanya menghasilkan satu atau bahkan tidak ada solusi bilangan real.

Mengapa harus disusun menjadi persamaan berbentuk ax² + bx + c = 0?

Bentuk itu adalah bentuk standar persamaan kuadrat yang memudahkan penyelesaian dengan berbagai metode seperti pemfaktoran, rumus ABC, atau melengkapkan kuadrat. Itu adalah format yang telah disepakati dan paling praktis.

Persamaan matematika seperti “selisih dua kali kuadrat dan lima kali suatu bilangan sama dengan tiga” mengajarkan kita tentang pola dan relasi, mirip dengan cara Sistem Gerak pada Manusia dan Hewan mengungkap prinsip biomekanika yang teratur. Keduanya memerlukan analisis sistematis untuk menemukan solusi, di mana pada kasus matematika tadi, kita mencari bilangan yang memenuhi hubungan kuadrat dan linear tersebut.

Bisakah soal ini diselesaikan dengan metode coba-coba (trial and error)?

Bisa untuk bilangan bulat sederhana, tetapi tidak efektif dan tidak terjamin menemukan semua solusi, terutama yang berupa pecahan atau bilangan negatif. Metode aljabar lebih sistematis dan komprehensif.

Bagaimana jika kata “selisih” di soal diartikan sebagai kuadrat dikurangi bilangan, bukan sebaliknya?

Interpretasi akan berubah dan menghasilkan persamaan yang berbeda (2x²
-5x = 3). Namun, dalam konvensi umum, “selisih A dan B” sering diartikan sebagai A – B, sebagaimana yang telah diterapkan dalam pembahasan.