Selisih Akar Persamaan Kuadrat x^2+2ax+4/3a=0 dan a dengan 4/6

Selisih akar persamaan kuadrat x^2+2ax+4/3a=0 dan a dengan 4/6 itu ibarat mencari tahu seberapa jauh dua saudara kembar yang temperamennya ditentukan oleh satu sosok misterius bernama ‘a’. Kita akan mengupas tuntas bagaimana si ‘a’ ini bisa bikin kedua akar itu berdekatan bak sepasang kekasih atau malah menjauh bagai dua kutub. Persamaan ini bukan sekadar rumus mati, tapi cerita dinamis tentang hubungan dan jarak yang bisa kita hitung, lengkap dengan momen spesial saat a memutuskan untuk menjadi 4/6.

Melalui penelusuran diskriminan dan interpretasi geometris, kita akan melihat bahwa selisih kedua akar sangat bergantung pada nilai parameter a. Perubahan kecil pada a bisa mengubah total sifat akar-akarnya, dari yang nyata dan berbeda, menjadi kembar, hingga yang imajiner. Inti pembahasannya adalah memahami mengapa nilai a = 4/6 menjadi salah satu titik yang menarik untuk diamati dalam seluruh narasi matematika ini, serta bagaimana kita bisa mengkuantifikasi jarak antara kedua solusi tersebut tanpa harus menyelesaikan akarnya satu per satu.

Menelusuri Jejak Diskriminan dalam Menentukan Jarak Antar Akar

Dalam dunia persamaan kuadrat, diskriminan sering kali hanya disebut sebagai penentu ada tidaknya akar real. Padahal, perannya jauh lebih kaya. Diskriminan sebenarnya menyimpan rahasia tentang jarak antara kedua akar persamaan tersebut, jika mereka ada. Untuk persamaan kuadrat umum ax² + bx + c = 0, diskriminan (D) dinyatakan sebagai D = b²
-4ac. Nilai D ini tidak hanya membedakan antara akar real dan imajiner, tetapi juga secara kuantitatif terkait dengan selisih mutlak kedua akarnya.

Mari kita fokus pada persamaan kita: x² + 2ax + (4/3)a =
0. Di sini, koefisiennya adalah 1, 2a, dan (4/3)a. Diskriminan menjadi fungsi dari parameter ‘a’: D = (2a)²
-4
– 1
– ((4/3)a) = 4a²
-(16/3)a. Ekspresi D = 4a²
-(16/3)a ini adalah kunci utama. Mengapa?

Karena rumus selisih mutlak akar-akar (α dan β) dapat diturunkan langsung dari diskriminan. Secara umum, untuk persamaan kuadrat dengan koefisien utama 1, selisih mutlak akarnya adalah √D. Lebih tepatnya, |α
-β| = √D. Hubungan ini muncul dari rumus abc, di mana akar-akarnya adalah [-b ± √D] / 2a. Selisih antara akar yang menggunakan tanda plus dan minus adalah (√D)/|a|.

Dalam kasus kita, koefisien a (kuadrat) adalah 1, sehingga |α
-β| = √D = √(4a²
-(16/3)a).

Hubungan Diskriminan dan Sifat Akar

Perubahan nilai parameter ‘a’ secara langsung mengubah nilai diskriminan, yang pada gilirannya mengubah sifat dan jarak antar akar. Ketika D positif, kita mendapatkan dua akar real yang berbeda, dan √D memberikan jarak persis di antara mereka di garis bilangan. Jika D nol, akar-akarnya real dan sama (kembar), sehingga jaraknya nol. Sementara itu, D negatif menghasilkan akar kompleks/imejiner; dalam konteks garis bilangan real, kedua akar ini tidak dapat diplot sebagai titik terpisah, sehingga konsep “jarak” dalam pengertian real tidak terdefinisi.

Ilustrasi Konseptual Perubahan Parameter

Bayangkan dua titik (akar) pada sebuah garis bilangan elastis. Parameter ‘a’ adalah tombol kontrol yang kita putar. Saat kita memutar ‘a’ sehingga D besar dan positif, kedua titik itu saling menjauh, terpisah jarak yang lebar. Saat kita putar tombol perlahan ke arah nilai yang membuat D mengecil mendekati nol, kedua titik itu mulai bergerak saling mendekat. Pada momen tepat ketika D=0, kedua titik bertemu dan menjadi satu.

Jika kita lanjutkan memutar tombol ke wilayah D negatif, kedua titik itu “meledak” keluar dari garis bilangan real dan menghilang dari pandangan, hanya meninggalkan bayangan di dunia imajiner. Nilai ‘a’ tertentu, seperti yang membuat D=0, adalah titik kritis di mana perilaku kedua akar ini berubah secara fundamental.

Interpretasi Geometris dari Parameter dan Ruang Solusi

Source: rumushitung.com

Menghitung selisih akar persamaan kuadrat x²+2ax+4/3a=0 dengan a=4/6 ternyata melibatkan prinsip pengurangan, mirip seperti saat kita menghitung sisa material. Bayangkan saja, proses menemukan panjang bambu yang tersisa setelah pemotongan, seperti yang dijelaskan dalam artikel Sisa Panjang Bambu Setelah Dipotong 155 cm dan 1,2 m , membutuhkan ketelitian serupa. Nah, dengan ketelitian yang sama, kita bisa menyelesaikan perhitungan selisih akar tersebut dan mendapatkan nilai pastinya.

Persamaan x² + 2ax + (4/3)a = 0 merepresentasikan sebuah keluarga parabola, di mana setiap anggota ditentukan oleh nilai ‘a’. Grafik fungsi f(x) = x² + 2ax + (4/3)a selalu terbuka ke atas karena koefisien x² positif. Variasi ‘a’ menggeser posisi parabola secara horizontal dan vertikal, yang secara drastis mengubah perpotongannya dengan sumbu-x (yang merupakan akar-akar persamaan).

Ketika ‘a’ jauh lebih besar dari 4/6 atau jauh lebih kecil dari 0, parabola biasanya memotong sumbu-x di dua titik yang terpisah jauh (akar real berbeda). Saat ‘a’ mendekati nilai yang membuat D=0, kedua titik potong itu bergerak saling mendekat hingga akhirnya bersatu di satu titik singgung (akar kembar). Untuk rentang ‘a’ di antara dua akar dari persamaan D=0 (yaitu antara 0 dan 4/3), diskriminan bisa negatif, membuat parabola sepenuhnya berada di atas sumbu-x dan tidak memotongnya sama sekali.

Posisi titik puncak parabola juga bergerak; sumbu simetrinya di x = -a, dan nilai minimumnya adalah f(-a) = -a² + (4/3)a. Perilaku selisih akar dapat divisualisasikan sebagai lebar segmen sumbu-x yang dipotong oleh parabola.

Berdasarkan Teorema Vieta, untuk persamaan x² + 2ax + (4/3)a = 0, jumlah akarnya adalah α + β = -2a, dan hasil kalinya adalah αβ = (4/3)a. Hubungan menarik terlihat: koefisien linear (2a) menentukan “titik tengah” kedua akar (yaitu rata-ratanya adalah -a), sementara konstanta ((4/3)a) yang bergantung pada ‘a’ mengontrol produk mereka. Interaksi antara titik tengah dan produk inilah yang pada akhirnya menentukan seberapa jauh mereka berpisah.

Pemetaan Nilai Parameter dan Kategori Akar

Untuk memetakan nilai ‘a’ ke dalam kategori akar, kita analisis diskriminannya: D = 4a²
-(16/3)a = 4a(a – 4/3). Tanda D ditentukan oleh tanda dari a dan (a – 4/3).

• Akar Real Berbeda (D > 0): Terjadi ketika a < 0 atau a > 4/3. Di wilayah ini, selisih akar |α
  -β| = √(4a²
  -(16/3)a) bernilai real positif.
• Akar Real Kembar (D = 0): Terjadi pada titik kritis a = 0 dan a = 4/3. Selisih akarnya nol.
• Akar Imajiner (D < 0): Terjadi ketika 0 < a < 4/3. Selisih akar dalam bilangan real tidak terdefinisi.

Nilai a = 4/6 = 2/3 yang disebutkan berada tepat di tengah interval (0, 4/3), yaitu di wilayah di mana D negatif dan akarnya imajiner. Ini menunjukkan bahwa untuk nilai tersebut, grafik parabola tidak menyentuh sumbu-x.

Transformasi Aljabar dari Rumus Jarak Akar

Menghitung selisih akar dengan mencari nilai eksplisit masing-masing akar sering kali rumit, terutama jika koefisiennya mengandung parameter. Ada jalan yang lebih elegan menggunakan hubungan yang telah diberikan oleh Vieta. Kita tahu α + β = -2a dan αβ = (4/3)a. Kita ingin mencari |α
-β|. Triknya adalah dengan memanipulasi identitas aljabar (α
-β)² = (α + β)²
-4αβ.

Ini adalah langkah kunci. Dengan mengkuadratkan selisih, kita menghilangkan tanda mutlak sementara dan mengungkapkannya dalam bentuk jumlah dan hasil kali, yang sudah kita ketahui. Mari kita terapkan: (α
-β)² = (-2a)²
-4
– ((4/3)a) = 4a²
-(16/3)a. Ternyata, hasil ini persis sama dengan diskriminan D. Oleh karena itu, kita peroleh hubungan yang sangat penting: (α
-β)² = D.

Untuk mendapatkan selisih mutlak, kita ambil akar kuadratnya: |α
-β| = √D = √(4a²
-(16/3)a). Penurunan ini mengonfirmasi bahwa jarak antar akar benar-benar ditentukan oleh diskriminan, dan kita bisa mengetahuinya tanpa pernah menyelesaikan akar-akarnya secara individual.

Penyederhanaan Ekspresi Selisih

Ekspresi √D / |koefisien kuadrat| untuk persamaan kita adalah √(4a²
-(16/3)a) /
1. Kita dapat menyederhanakan bentuk akarnya: √(4a²
-(16/3)a) = √(4(a²
-(4/3)a)) = 2 √(a²
-(4/3)a). Jadi, rumus selisih yang paling ringkas adalah |α
-β| = 2 √(a²
-(4/3)a), dengan catatan bahwa ekspresi di dalam akar harus non-negatif agar hasilnya real.

Contoh Perhitungan untuk Berbagai Nilai a, Selisih akar persamaan kuadrat x^2+2ax+4/3a=0 dan a dengan 4/6

Substitusi a = 4/6 ke dalam rumus selisih: |α
-β| = √(4*(4/6)²
-(16/3)*(4/6)). Hitung langkah demi langkah: (4/6)² = 16/36 = 4/
9. Maka 4*(4/9) = 16/
9. Suku kedua: (16/3)*(4/6) = (64/18) = 32/9. Jadi D = 16/9 – 32/9 = -16/9.

Karena D negatif, akar kuadrat dari D dalam bilangan real tidak ada. Ini mengonfirmasi bahwa untuk a=4/6, akar-akarnya imajiner dan selisihnya tidak memiliki nilai real.

Dinamika Parameter Kritis dan Perilaku Selisih yang Tidak Monoton

Fungsi selisih akar f(a) = |α
-β| = √(4a²
-(16/3)a) bukanlah fungsi yang monoton sederhana terhadap ‘a’. Perilakunya ditentukan oleh titik-titik kritis di mana ekspresi di dalam akar, yaitu diskriminan D(a) = 4a(a – 4/3), berubah tanda atau mencapai nilai minimum. Titik-titik kritis ini adalah a = 0 dan a = 4/3, di mana D=0 dan selisih akar menjadi nol.

Titik-titik ini menjadi batas transisi antara wilayah akar real berbeda dan akar imajiner.

Selisih akar menjadi nol tepat ketika akar-akarnya kembar, yaitu ketika D=0. Ini terjadi jika a=0 atau a=4/3. Pada a=0, persamaan menjadi x² = 0, dengan akar ganda di x=0. Pada a=4/3, persamaan menjadi x² + (8/3)x + 16/9 = (x + 4/3)² = 0, dengan akar ganda di x = -4/3. Konsep “mendekati tak hingga” untuk selisih muncul ketika |a| menjadi sangat besar.

Untuk a → ±∞, suku 4a² mendominasi diskriminan, sehingga |α
-β| ≈ √(4a²) = 2|a|, yang memang membesar tanpa batas. Konstanta (4/3)a dalam persamaan berperan penting. Bersama dengan koefisien linear 2a, ia menentukan keseimbangan dalam hasil kali akar. Jika hasil kali ini terlalu besar relatif terhadap kuadrat jumlah akar (yang diwujudkan dalam bentuk D), maka akar-akar menjadi kompleks.

Dalam konteks fisika, bayangkan dua partikel yang terikat oleh sebuah pegas dalam satu dimensi, dengan parameter ‘a’ merepresentasikan energi sistem. Saat energi rendah (a di antara 0 dan 4/3), partikel tidak dapat dipisahkan dalam ruang real—mereka berada dalam keadaan “terikat” yang dimodelkan oleh bilangan kompleks. Pada energi kritis (a=0 atau a=4/3), mereka tepat berada pada posisi yang sama. Saat energi dinaikkan atau diturunkan keluar dari rentang itu (a<0 atau a>4/3), partikel terpisah dengan jarak yang semakin besar, dan selisih posisinya (|α

β|) dapat diukur secara nyata.

Narasi Perjalanan Dua Akar

Mari kita ikuti perjalanan kedua akar ini saat ‘a’ berubah dari negatif besar ke positif besar. Awalnya, untuk a yang sangat negatif, kedua akar adalah dua titik real yang terpisah sangat jauh di garis bilangan, satu sangat positif dan satu sangat negatif. Saat ‘a’ dinaikkan mendekati nol dari kiri, kedua titik itu bergerak saling mendekat. Tepat di a=0, mereka bertabrakan dan menyatu menjadi satu titik di x=0.

Kemudian, saat ‘a’ masuk ke wilayah positif (0 < a < 4/3), kedua titik itu "menghilang" dari garis bilangan real—tabrakan mereka begitu kuat sehingga mereka terlempar ke dimensi imajiner. Mereka tetap sebagai pasangan konjugat kompleks. Perjalanan mereka di dunia real terhenti sementara. Ketika 'a' terus dinaikkan mendekati 4/3 dari bawah, bagian real dari akar kompleks ini bergerak ke kiri, dan bagian imajinernya mengecil. Tepat di a=4/3, bagian imajiner menjadi nol, dan kedua titik itu muncul kembali ke dunia real, bertemu dan menyatu di titik x = -4/3. Akhirnya, bila 'a' diperbesar melebihi 4/3, kedua titik itu memisah lagi sebagai dua titik real yang berbeda, dan semakin menjauh satu sama lain seiring 'a' membesar.

Verifikasi Solusi melalui Metode Substitusi dan Ekspansi: Selisih Akar Persamaan Kuadrat X^2+2ax+4/3a=0 Dan A Dengan 4/6

Setelah mendapatkan rumus selisih akar yang elegan, penting untuk memverifikasi bahwa logika kita konsisten dengan persamaan aslinya. Verifikasi ini memastikan tidak ada kesalahan aljabar dan memperkuat pemahaman tentang hubungan antara koefisien, akar-akar, dan selisihnya.

Metode pertama adalah dengan mensubstitusikan akar-akar hipotesis, yang dinyatakan dalam parameter ‘a’, kembali ke persamaan. Dari rumus abc, akar-akarnya adalah α = -a + (1/2)√D dan β = -a – (1/2)√D, dengan D=4a²-(16/3)a. Substitusi α ke dalam x²+2ax+(4/3)a akan menghasilkan ekspresi yang, setelah disederhanakan, harus sama dengan nol. Proses yang sama untuk β. Pengecekan ini memvalidasi bahwa rumus akar tersebut memang benar untuk semua ‘a’ yang membuat D terdefinisi non-negatif.

Ekspansi dan Perbandingan Koefisien

Metode verifikasi yang lebih kuat adalah melalui ekspansi. Jika α dan β adalah akar-akar, maka persamaan dapat difaktorkan sebagai (x – α)(x – β) = 0. Ekspansi faktor ini menghasilkan x²
-(α+β)x + αβ =
0. Bandingkan dengan persamaan asli x² + 2ax + (4/3)a =
0. Dari sini, kita langsung memperoleh:
-(α+β) = -2a, dan
– αβ = (4/3)a.

Kedua hubungan ini persis seperti yang digunakan dalam Teorema Vieta. Selanjutnya, kita tahu (α
-β)² = (α+β)²
-4αβ. Substitusi hubungan Vieta memberikan (α
-β)² = (-2a)²
-4*(4/3)a = 4a²
-(16/3)a = D. Ini bukan lagi verifikasi, tetapi penurunan ulang yang menunjukkan konsistensi internal yang sempurna antara bentuk faktorial, koefisien persamaan, dan diskriminan.

Perbandingan Dua Metode Perhitungan

Prosedur pengecekan ini mengungkap batasan tersembunyi: nilai parameter ‘a’ yang diperbolehkan untuk mendapatkan selisih akar real adalah hanya a ≤ 0 atau a ≥ 4/3. Di luar interval itu, meskipun perhitungan aljabar (α
-β)² = D tetap valid, nilai D yang negatif mengindikasikan bahwa selisih dalam bilangan real tidak bermakna. Verifikasi mengajarkan kita untuk selalu memeriksa kondisi diskriminan sebelum menyatakan nilai numerik selisih akar.

Kesimpulan

Jadi, perjalanan menyelami selisih akar persamaan kuadrat ini menunjukkan betapa elegannya matematika dalam merangkai pola. Parameter a bukanlah sekadar angka, melainkan sutradara yang mengarahkan posisi, sifat, dan jarak antara kedua akar di panggung garis bilangan. Nilai a = 4/6 hanyalah satu adegan dari drama panjang yang memperlihatkan transisi perilaku. Pada akhirnya, rumus selisih akar yang kita dapatkan adalah sebuah alat yang powerful, membuktikan bahwa kita bisa memahami ‘jarak’ antara dua solusi tanpa perlu mengetahui identitas mereka secara pasti.

Sebuah reminder yang manis bahwa dalam matematika, seringkali hubungan antar entitas justru lebih revealing daripada entitas itu sendiri.

Pertanyaan Umum (FAQ)

Apakah nilai a = 4/6 itu spesial?

Ya, cukup spesial. Nilai a = 4/6 atau 2/3 ini menghasilkan diskriminan D = 4a²
-(16/3)a yang bernilai nol. Ini berarti persamaan memiliki akar kembar (sama), sehingga selisih mutlaknya adalah nol. Ini adalah titik batas transisi antara akar real berbeda dan akar imajiner.

Bisakah selisih akarnya bernilai negatif?

Dalam konteks pembahasan, yang dimaksud adalah selisih mutlak atau jarak (|α
-β|). Jarak selalu bernilai non-negatif (nol atau positif). Ekspresi (α
-β) sendiri bisa positif atau negatif tergantung mana akar yang lebih besar, tetapi nilai absolutnya yang menjadi fokus.

Mengapa harus pakai diskriminan untuk cari selisih, bukannya cari akarnya langsung?

Mencari akarnya langsung untuk persamaan berparameter bisa rumit dan melibatkan akar kuadrat. Rumus selisih via diskriminan (|α
-β| = √D / |1|) jauh lebih efisien karena langsung menghubungkan parameter a dengan hasil akhir, tanpa perlu proses mencari akar individual terlebih dahulu.

Adakah nilai a yang membuat selisih akarnya tak terhingga?

Tidak dalam konteks bilangan real hingga. Selisih akan membesar saat |a| besar, tetapi tetap berupa bilangan terhingga. Konsep “mendekati tak hingga” mungkin muncul dalam limit atau interpretasi tertentu, tetapi untuk perhitungan eksak dengan a berhingga, selisihnya selalu berhingga.

Bagaimana aplikasi konsep selisih akar ini di dunia nyata?

Konsep ini analog dengan mencari jarak antara dua titik potong suatu kurva dengan sumbu datar, misalnya dalam fisika untuk menghitung selisih waktu dua peristiwa pada gerak parabola, atau dalam ekonomi untuk menganalisis dua titik break-even yang bergantung pada suatu parameter biaya.