Suku ke‑7 deret geometri -45 + 30 - 20 + … bukan sekadar angka acak, melainkan hasil dari sebuah pola bilangan yang elegan dan teratur. Deret ini menawarkan contoh nyata bagaimana matematika bekerja dengan konsisten, bahkan ketika melibatkan tanda negatif dan positif yang tampak bergantian secara acak. Memahami cara menemukannya membuka wawasan tentang konsep deret geometri yang banyak aplikasinya, mulai dari perhitungan bunga majemuk hingga model pertumbuhan dalam sains.
Deret dengan pola -45, +30, -20, dan seterusnya ini merupakan deret geometri dengan suku pertama (a) = -45 dan rasio (r) = -2/3. Karakteristik utamanya adalah setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan rasio yang tetap tersebut. Perpaduan antara suku pertama negatif dan rasio negatif inilah yang menciptakan pola tanda yang berselang-seling, sekaligus membuat nilai mutlak suku-suku semakin mengecil seiring bertambahnya urutan suku.
Pengenalan Deret Geometri dan Pola Bilangan
Deret geometri adalah salah satu konsep fundamental dalam matematika yang kerap muncul dalam berbagai konteks, mulai dari perhitungan bunga majemuk hingga model pertumbuhan populasi. Ciri utamanya adalah setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio umum (common ratio). Inilah yang membedakannya dari deret aritmatika, di mana selisih antar suku adalah tetap. Pola perkalian ini menciptakan grafik pertumbuhan atau penyusutan yang eksponensial, bukan linear.
Mari kita identifikasi pola pada deret -45, +30, -20, +… Untuk menemukan rasio (r), kita bagi suatu suku dengan suku sebelumnya. Misalnya, suku kedua (30) dibagi suku pertama (-45) menghasilkan r = 30/(-45) = -2/
3. Pembuktian dengan suku berikutnya: -20 / 30 = -2/3. Rasio yang bernilai negatif inilah yang menyebabkan tanda suku-suku pada deret berselang-seling antara negatif dan positif.
Ciri Deret dan Lima Suku Pertama
Berikut adalah tabel yang memaparkan detail perhitungan untuk lima suku pertama deret geometri dengan suku pertama (a) = -45 dan rasio (r) = -2/3. Rumus umum suku ke-n adalah Un = a
– r^(n-1).
| Suku ke-n | Rumus Un | Proses Hitung | Nilai |
|---|---|---|---|
| 1 (U1) | a | -45 | -45 |
| 2 (U2) | a
|
-45
|
30 |
| 3 (U3) | a
Menghitung suku ketujuh deret geometri -45 + 30 - 20 + … memerlukan ketelitian dalam menentukan rasio, mirip dengan ketelitian memahami nuansa bahasa. Dalam konteks ini, pemahaman mendalam tentang suatu istilah, seperti Arti kata soreha dalam bahasa Jepang , mengajarkan kita untuk melihat konteks dan fungsi. Kembali ke deret, dengan rasio r = -2/3, suku ke-7 ditemukan sebagai -45 × (-2/3)^6, yang menghasilkan nilai pasti setelah melalui proses hitung yang sistematis.
|
-45
|
-20 |
| 4 (U4) | a
|
-45
|
40/3 ≈ 13.333 |
| 5 (U5) | a
|
-45
|
-80/9 ≈ -8.889 |
Penurunan Rumus Suku ke-n untuk Deret Tersebut
Setelah mengidentifikasi suku pertama (a = -45) dan rasio umum (r = -2/3), kita dapat menyusun rumus eksplisit untuk suku ke-n. Rumus ini menjadi alat yang ampuh untuk menemukan suku berapa pun tanpa harus menghitung semua suku sebelumnya secara berurutan. Penyusunannya mengikuti pola dasar deret geometri yang telah dibakukan.
Penyusunan Rumus dan Pembuktian
Rumus umum deret geometri adalah Un = a
– r^(n-1). Dengan substitusi nilai a dan r yang kita miliki, rumus untuk deret ini menjadi: Un = -45
– (-2/3)^(n-1). Untuk membuktikan kebenarannya, kita dapat menguji untuk nilai n tertentu.
Sebagai contoh, untuk suku ke-3 (n=3): U3 = -45
– (-2/3)^(2) = -45
– (4/9) = –
20. Untuk suku ke-4 (n=4): U4 = -45
– (-2/3)^(3) = -45
– (-8/27) = 360/27 = 40/3. Hasil ini sesuai dengan nilai yang dihitung secara berurutan pada tabel sebelumnya, membuktikan keakuratan rumus.
Kunci dalam menentukan tanda positif atau negatif suatu suku terletak pada pangkat dari rasio (r) yang bernilai negatif. Jika pangkat (n-1) genap, maka (-2/3)^(genap) akan bernilai positif, sehingga Un (yang dikalikan dengan a = -45) menjadi negatif. Sebaliknya, jika pangkat (n-1) ganjil, hasil pangkat akan negatif, dan perkalian dengan -45 justru menghasilkan suku yang positif.
Perhitungan Mendetail untuk Suku ke-7
Menghitung suku ke-7 (U7) adalah penerapan langsung dari rumus yang telah diturunkan. Proses ini melibatkan perpangkatan bilangan pecahan negatif, yang memerlukan ketelitian. Perhitungan langkah demi langkah tidak hanya menghasilkan jawaban akhir, tetapi juga memberikan pemahaman mendalam tentang bagaimana nilai setiap komponen berkontribusi pada hasil akhir.
Langkah dan Tabel Komponen Perhitungan U7
Source: colearn.id
Kita gunakan rumus Un = -45
– (-2/3)^(n-1) dengan n =
7. Pertama, hitung nilai eksponen: n-1 =
6. Kedua, hitung (-2/3)^
6. Karena pangkat genap, hasilnya positif: [(-2)^6] / [(3)^6] = 64 /
729. Terakhir, kalikan dengan a: U7 = -45
– (64/729) = (-45
– 64) / 729 = -2880 / 729.
Pecahan ini dapat disederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 9, menghasilkan U7 = -320/81 atau sekitar -3.9506.
Tips singkat memeriksa kebenaran: Perhatikan pola nilai absolut (nilai mutlak) suku yang semakin mengecil karena |r| < 1. Nilai absolut U5 ≈ 8.889, U6 (bisa dihitung cepat: U5 - r = -8.889 - -2/3 ≈ 5.926) harus lebih kecil dari U5, dan U7 harus lebih kecil dari U6. Hasil kita, |U7| ≈ 3.95, memang lebih kecil dari ~5.926, sehingga masuk akal.
| n | a | r^(n-1) | Un = a
Deret geometri -45 + 30 – 20 + … dengan rasio -⅔ memang menarik untuk dianalisis hingga suku ketujuhnya. Namun, ketelitian serupa juga dibutuhkan dalam perhitungan kimia, seperti saat menganalisis Kelarutan Ion Ag⁺ pada Larutan Kromat 1×10⁻⁴ M (Ksp Ag₂CrO₄ 1×10⁻¹²) yang memerlukan presisi tinggi. Kembali ke deret, penerapan rumus yang tepat akan mengungkap nilai suku ketujuh tersebut, menunjukkan betapa logika matematika dapat diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu.
|
|---|---|---|---|
| 7 | -45 | (-2/3)^(6) = 64/729 | -45 – (64/729) = -320/81 |
Visualisasi dan Interpretasi Pola Deret
Membayangkan grafik dari tujuh suku pertama deret ini memberikan insight yang lebih dalam tentang perilakunya. Bayangkan sebuah diagram kartesius dengan sumbu horizontal sebagai nomor suku (n) dan sumbu vertikal sebagai nilai suku (Un). Titik-titik plot tidak akan membentuk garis lurus, melainkan sebuah pola yang melompat-lompat di sekitar nol dengan lompatan yang semakin kecil.
Deskripsi Grafik dan Pola Perubahan, Suku ke‑7 deret geometri -45 + 30 - 20 + …
Plot dimulai dari titik (1, -45) yang berada jauh di bawah sumbu nol. Kemudian melonjak tinggi ke titik (2, 30) di atas sumbu. Lonjakan berikutnya turun, tetapi tidak sedalam sebelumnya, ke titik (3, -20). Pola ini terus berlanjut: titik (4, ~13.33) di atas, (5, ~-8.89) di bawah, (6, ~5.93) di atas, dan berakhir di (7, ~-3.95) di bawah. Terlihat jelas bahwa titik-titik tersebut bergantian berada di kuadran bawah (nilai negatif) dan kuadran atas (nilai positif), sementara jaraknya dari sumbu nol terus menyusut, membentuk semacam pola “osiloskop teredam”.
Pola perubahan nilai setiap suku secara berurutan sangat ditentukan oleh rasio r = -2/3:
- Nilai absolut suku selalu mengecil karena |r| = 2/3 < 1, artinya setiap suku besarnya hanya 2/3 dari suku sebelumnya.
- Tanda suku berselang-seling karena r bernilai negatif. Perkalian dengan bilangan negatif selalu membalikkan tanda.
- Efek gabungan dari kedua hal di atas menghasilkan deret yang konvergen menuju nol, di mana suku-suku berikutnya semakin mendekati nol dari sisi atas dan bawah secara bergantian.
Aplikasi dan Contoh Variasi Soal Serupa: Suku Ke‑7 Deret Geometri -45 + 30 - 20 + …
Pemahaman tentang deret geometri dengan rasio negatif dan suku pertama negatif dapat diuji dan diperdalam melalui variasi soal. Perubahan pada suku pertama (a) atau nilai rasio (r) akan secara dramatis mengubah nilai suku ke-7, menunjukkan sensitivitas rumus terhadap parameter-parameter ini. Berikut adalah dua contoh untuk melatih penerapan konsep.
Contoh Soal dan Analisis Perubahan Parameter
Contoh Soal 1: Diketahui deret geometri 12, -6, 3, -1.5, … Tentukan suku ke-7 (U7) dari deret tersebut.
Pertama, identifikasi a = 12 dan r = (-6)/12 = -0.
5. Rumus suku ke-n
Un = 12
(-0.5)^(n-1). Untuk U7
U7 = 12
- (-0.5)^(6) = 12
- (0.015625) = 0.1875. Tanda positif karena pangkat 6 genap.
Contoh Soal 2: Sebuah deret geometri memiliki suku pertama -80 dan suku ketiga -20. Hitunglah suku ke-7 deret tersebut.
Deret geometri -45 + 30 – 20 + … memiliki rasio r = -⅔. Menghitung suku ke-7, yakni U7 = -45 × (-⅔)^6, memerlukan ketelitian dan logika yang runut, serupa dengan pendekatan sistematis saat memahami bahaya narkoba melalui Contoh Pertanyaan Tentang Narkoba. Keduanya mengedepankan analisis mendalam: jika pola deret mengantarkan pada hasil numerik yang spesifik, maka pemahaman komprehensif tentang narkoba membentuk pondasi ketahanan diri yang kokoh.
Kembali ke hitungan, U7 bernilai -45 × (64/729) atau sekitar -3,95.
Dari U1 = a = -80 dan U3 = a
- r² = -20. Maka, -80
- r² = -20 → r² = (-20)/(-80) = 1/4 → r = ±1/
- Karena dari pola U1 negatif dan U3 negatif, tanda tidak berubah, maka r harus positif (karena pangkat genap). Jadi r = 1/
2. Rumus
Un = -80
- (1/2)^(n-1). U7 = -80
- (1/2)^6 = -80
- (1/64) = -80/64 = -5/4 atau -1.25.
Diskusi pengaruh perubahan: Jika pada deret asli kita ubah a menjadi -90 (dua kali lipat), maka U7 juga akan menjadi dua kali lipat, yaitu -640/81. Jika rasio r diubah dari -2/3 menjadi -4/5 (nilai absolut lebih besar), maka penurunan nilai absolut akan lebih lambat, dan U7 akan bernilai absolut lebih besar. Sebaliknya, jika r = -1/3, penurunannya lebih cepat dan U7 akan mendekati nol lebih cepat.
Hal ini menunjukkan betapa rasio berperan sebagai “pengendali kecepatan” konvergensi deret.
Akhir Kata
Dengan demikian, perjalanan untuk menemukan suku ke‑7 dari deret -45, +30, -20, … telah mengajarkan lebih dari sekadar substitusi angka ke dalam rumus. Proses ini menegaskan kekuatan pola dan konsistensi dalam matematika. Penguasaan terhadap konsep dasar seperti identifikasi suku awal dan rasio, serta kehati-hatian dalam perhitungan tanda, menjadi kunci utama untuk menyelesaikan berbagai variasi soal deret geometri lainnya. Nilai akhir yang diperoleh, yaitu sekitar -4.938, bukanlah akhir cerita, melainkan sebuah bukti nyata dari keindahan matematika yang terstruktur.
Jawaban yang Berguna
Apakah deret -45 +30 -20 +… termasuk deret geometri tak hingga konvergen?
Ya. Karena nilai mutlak rasio (|r| = | -2/3 | = 2/3) kurang dari 1, deret ini konvergen. Artinya, jika diteruskan tanpa batas, jumlah seluruh sukunya akan mendekati suatu nilai tertentu (jumlah tak hingga), bukan tak terhingga.
Bagaimana cara cepat mengetahui tanda positif atau negatif dari suku ke-n tanpa menghitung seluruhnya?
Tanda suku ke-n ditentukan oleh hasil perkalian suku pertama (a) dan rasio (r) pangkat (n-1). Karena a negatif dan r negatif, maka tanda suku akan positif jika (n-1) genap, dan negatif jika (n-1) ganjil. Untuk suku ke-7 (n=7), (n-1)=6 (genap), sehingga suku ke-7 bertanda positif.
Apa yang terjadi pada nilai suku jika rasio diubah menjadi -3/2?
Jika rasio diubah menjadi -3/2 (dimana |r| > 1), sifat deret berubah menjadi divergen. Nilai mutlak setiap suku akan membesar secara eksponensial, dan pola tanda tetap berselang-seling. Suku ke-7 akan memiliki nilai mutlak yang jauh lebih besar dibandingkan dengan rasio -2/3.
Mengapa dalam perhitungan sering digunakan bentuk pecahan daripada desimal?
Penggunaan bentuk pecahan (seperti -2/3) dalam perhitungan rasio dan rumus mempertahankan keakuratan absolut. Konversi ke desimal sejak awal dapat menyebabkan kesalahan pembulatan yang terakumulasi, terutama saat menghitung pangkat tinggi, sehingga hasil akhir mungkin kurang presisi.
