Tentukan Turunan F(x) = (1+2x²)(x − x²) dan Penjelasannya

Tentukan Turunan F(x) = (1+2x²)(x − x²) – Tentukan Turunan F(x) = (1+2x²)(x − x²). Kalau dilihat sekilas, soal kalkulus yang satu ini mungkin bikin kita langsung mikir, “Wah, ribet nih, harus pakai aturan rantai ya?” Eits, tunggu dulu. Sebenarnya, di balik tampilannya yang seperti perkalian dua fungsi yang kompleks, tersimpan pelajaran mendasar yang elegan: pilihan antara mengalikan dulu atau langsung menurunkan. Kita akan membedahnya dengan dua cara populer, yaitu ekspansi aljabar dan aturan perkalian (product rule), biar kamu bisa melihat mana yang lebih nyaman di hatimu.

Soal ini adalah gerbang yang pas untuk memahami bagaimana kalkulus bekerja pada bentuk-bentuk fungsi yang sering kita temui, bukan cuma di buku tapi juga dalam model matematika di sekitar kita.

Pada dasarnya, mencari turunan dari F(x) ini adalah menyelidiki laju perubahannya di setiap titik. Apakah kita akan membuka kurungnya menjadi polinomial biasa lalu turunkan suku per suku, ataukah kita akan menghormati strukturnya sebagai hasil kali dan menerapkan rumus u’v + uv’? Kedua jalan itu, meski berbeda proses, harusnya membawa kita ke tujuan yang sama: sebuah ekspresi baru yang disebut F'(x).

Mari kita telusuri lapisan-lapisannya, sekaligus menghindari jebakan konsep yang sering membuat perhitungan jadi berbelit-belit tanpa perlu.

Mengurai Lapisan Masalah Turunan Perkalian Fungsi Aljabar

Mencari turunan dari fungsi yang berbentuk perkalian seperti F(x) = (1+2x²)(x − x²) seringkali menjadi titik di mana kita dihadapkan pada dua pilihan strategi. Pilihan pertama adalah pendekatan langsung dan lugas: mengalikan dulu kedua faktor tersebut hingga menjadi sebuah polinomial tunggal, lalu menurunkannya suku demi suku. Pilihan kedua adalah menerapkan aturan perkalian (product rule) secara elegan, yang secara khusus dirancang untuk menangani bentuk seperti ini tanpa perlu ekspansi awal.

Memahami kedua metode ini bukan sekadar tentang mendapatkan jawaban, tetapi tentang melatih fleksibilitas berpikir matematis. Dalam banyak kasus yang lebih kompleks di mana ekspansi menjadi sangat rumit, product rule adalah penyelamat. Aturan ini menyatakan bahwa turunan dari hasil kali dua fungsi, u(x) dan v(x), adalah u'(x)v(x) + u(x)v'(x). Ini seperti mengakui bahwa perubahan dalam hasil perkalian berasal dari dua kontribusi: perubahan pada faktor pertama sementara faktor kedua tetap, dan sebaliknya.

Perbandingan Metode Ekspansi Polinomial dan Aturan Perkalian

Untuk melihat perbedaan praktis kedua pendekatan tersebut, mari kita telusuri langkah-langkahnya secara berdampingan dalam tabel berikut. Perbandingan ini akan menunjukkan bahwa meskipun jalurnya berbeda, destinasi akhirnya haruslah sama.

Kesalahan Umum dan Peringatan Konseptual

Sebuah kesalahan yang sering muncul ketika pertama kali belajar aturan perkalian adalah kebingungan dengan aturan rantai (chain rule). Beberapa siswa secara refleks ingin “mengambil turunan dari dalam” pada suku-suku seperti (1+2x²), seolah-olah itu adalah fungsi komposisi. Padahal, (1+2x²) adalah fungsi yang sudah sederhana; turunannya langsung 4x, tanpa perlu dikalikan dengan turunan “fungsi dalam” karena tidak ada fungsi dalam yang dikomposisikan di sini.

Kesalahan ini muncul dari pemahaman yang kurang tepat tentang kapan suatu fungsi merupakan komposisi dan kapan merupakan perkalian.

Peringatan: Aturan rantai digunakan untuk fungsi bersusun seperti f(g(x)), misalnya (x − x²)³. Pada F(x) = (1+2x²)(x−x²), hubungan antara kedua faktor adalah perkalian, bukan komposisi. Jangan terpancing untuk mengalikan dengan turunan dari sesuatu yang bukan fungsi dalam. Fokuslah untuk mengidentifikasi operasi utama: di sini adalah perkalian, sehingga aturan yang berlaku adalah aturan perkalian.

Prosedur Visual Verbal Proses Turunan

Bayangkan proses penurunan dengan aturan perkalian sebagai sebuah pabrik transformasi dengan dua jalur produksi paralel. Di jalur pertama, kita mengambil bahan baku u(x) = 1+2x² dan memprosesnya menjadi turunannya, u'(x)=4x, yang merupakan laju perubahannya. Produk setengah jadi ini kemudian dikawinkan dengan v(x) = x−x² dalam keadaan aslinya, menghasilkan produk kontribusi pertama: 4x(x−x²) = 4x² − 4x³. Secara visual, ini merepresentasikan bagaimana perubahan pada suku kuadrat mempengaruhi hasil kali keseluruhan.

Secara paralel, di jalur kedua, v(x) diolah menjadi v'(x)=1−2x, yang kemudian digabungkan dengan u(x) dalam keadaan aslinya, menghasilkan kontribusi kedua: (1+2x²)(1−2x) = 1 − 2x + 2x² − 4x³. Dua aliran transformasi ini kemudian bertemu di titik akhir, di mana mereka dijumlahkan. Penyederhanaan aljabar selanjutnya adalah proses pemurnian, di mana suku-suku sejenis dari kedua aliran (seperti suku x² dan x³) digabungkan menjadi satu aliran hasil akhir yang murni: 1 − 2x + 6x² − 8x³.

Setiap koefisien dalam hasil akhir ini adalah jejak dari interaksi dinamis antara perubahan masing-masing faktor dan keadaan faktor pasangannya.

Penelusuran Historis dan Konteks Aplikasi Model Matematika Serupa

Konsep turunan, termasuk aturan untuk perkalian fungsi, tidak lahir dari ruang hampa. Perkembangannya berjalan beriringan dengan kebutuhan untuk memodelkan fenomena alam, khususnya dalam mekanika klasik abad ke-
17. Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz, sang perintis kalkulus, mengembangkan alat ini sebagian besar untuk memahami gerak dan perubahan. Aturan perkalian, meskipun mungkin tampak sebagai abstraksi aljabar, memiliki akar intuitif dalam masalah fisika dan ekonomi.

Bayangkan sebuah persegi panjang yang sisi-sisinya, panjang (p) dan lebar (l), keduanya berubah terhadap waktu. Luas A = p*l berubah karena dua sebab: pertambahan panjang pada lebar yang (sementara) tetap, dan pertambahan lebar pada panjang yang (sementara) tetap. Laju perubahan luas, dA/dt, secara alami adalah l*(dp/dt) + p*(dl/dt). Inilah esensi product rule yang terwujud dalam geometri dan fisika, jauh sebelum dirumuskan secara ketat untuk fungsi aljabar umum.

Contoh Fenomena Dunia Nyata dengan Struktur Fungsi Serupa

Struktur fungsi (a + bxⁿ)(cx – dxᵐ) merepresentasikan interaksi antara dua besaran yang saling bergantung, di mana satu mungkin tumbuh secara polinomial dan yang lain memiliki batas maksimum. Berikut adalah beberapa contoh konkretnya:

• Pendapatan dari Proyek Konstruksi: Misalkan (1 + 2x²) mewakili tingkat kesulitan dan sumber daya yang meningkat dengan luas area (x), dan (x – x²) mewakili harga jual per unit yang turun setelah melewati titik optimal karena hukum permintaan. Hasil kali keduanya memodelkan total pendapatan.
• Energi pada Sistem Pegas Non-Linear: Dalam fisika, energi potensial pegas yang sifatnya tidak ideal dapat dimodelkan dengan suku kuadrat dan kubik. Perkalian antara konstanta material (yang mungkin bergantung pada regangan) dan fungsi regangan itu sendiri dapat menghasilkan bentuk serupa.
• Laju Pertumbuhan Populasi dengan Resource Limiting: Model (a + bx) dapat mewakili tingkat kelahiran yang meningkat dengan kepadatan (Allee effect), dan (c – dx) mewakili faktor pembatas seperti kompetisi untuk sumber daya. Hasil kalinya memberikan laju pertumbuhan populasi sesaat.
• Volume Produksi dengan Biaya dan Harga Dinamis: Pada produksi barang, biaya per unit sering naik secara kuadratik karena inefisiensi (1+2x²), sementara harga jual per unit turun secara linear dengan jumlah yang diproduksi untuk menjual lebih banyak (x – x²). Keuntungan total mengikuti pola fungsi ini.
• Daya pada Rangkaian Listrik dengan Komponen Variabel: Dalam elektronika, jika resistansi suatu komponen berubah secara kuadrat terhadap suhu (variabel x), dan arus yang melaluinya adalah fungsi linear dari tegangan, maka daya yang terdisipasi (P = I²R) dapat memiliki ekspansi dengan struktur koefisien yang mirip.

Titik Kritis dan Interpretasi dalam Konteks Aplikasi

Dari perhitungan sebelumnya, kita peroleh turunan pertama F'(x) = 1 – 2x + 6x²
-8x³. Titik kritis (stasioner) ditemukan saat F'(x) = 0. Dengan memfaktorkan atau menggunakan metode numerik, kita akan menemukan nilai-nilai x yang memenuhi persamaan kubik ini. Dalam konteks model pendapatan proyek konstruksi tadi, titik-titik kritis ini sangat penting. Misalkan x mewakili skala proyek (dalam satuan luas).

F'(x) = 0 menunjukkan skala di mana pendapatan tidak bertambah maupun berkurang secara sesaat—ini adalah calon titik maksimum pendapatan atau titik minimum. Untuk menentukan mana yang maksimum, kita perlu uji turunan kedua atau analisis interval. Titik di mana F'(x) positif berarti ekspansi proyek masih meningkatkan pendapatan, sedangkan F'(x) negatif berarti ekspansi justru mulai merugikan karena biaya (yang termodel dalam fungsi pertama) membengkak atau harga jual turun terlalu drastis.

Interpretasi Hasil: Mencari titik kritis dari F'(x) dalam model bisnis pada dasarnya adalah proses optimasi. Akar-akar persamaan 1 – 2x + 6x²8x³ = 0 memberitahu kita skala proyek (x) yang potensial untuk memberikan keuntungan ekstrem. Analisis lebih lanjut akan mengungkap skala optimal yang harus dituju dan skala yang harus dihindari karena menyebabkan penurunan pendapatan. Ini adalah aplikasi langsung kalkulus untuk pengambilan keputusan strategis.

Dekonstruksi Simbolik dan Interpretasi Geometris Turunan Hasil Kali

Fungsi F(x) = (1+2x²)(x − x²) dapat dibaca tidak hanya sebagai rumus, tetapi sebagai sebuah bangun geometri yang dinamis. Bayangkan dua kurva: kurva pertama, u(x)=1+2x², adalah parabola yang terbuka ke atas dengan titik minimum di (0,1). Kurva kedua, v(x)=x−x², adalah parabola terbuka ke bawah dengan titik puncak di x=0.5. Operasi perkalian F(x) = u(x)
– v(x) pada setiap titik x dapat diinterpretasikan sebagai mencari luas persegi panjang yang sisi-sisinya adalah nilai u(x) dan v(x), jika keduanya positif.

Namun, karena v(x) bisa negatif, hasilnya lebih mirip “luas bernilai” yang bisa positif atau negatif. Grafik F(x) sendiri akan merepresentasikan evolusi dari “luas” ini sepanjang sumbu x. Proses penurunan kemudian mengungkap laju perubahan dari luas bernilai ini. Setiap suku dalam F'(x) = 1 – 2x + 6x²
-8x³ menceritakan bagian dari kisah bagaimana kontribusi perubahan dari u dan v berinteraksi.

Analisis Perilaku Komponen Turunan F'(x)

Turunan F'(x) adalah polinomial derajat tiga. Untuk memahami karakteristiknya, kita bisa menganalisis kontribusi dan perilaku komponen-komponen penyusunnya, meskipun dalam bentuk yang sudah digabungkan. Tabel berikut menguraikannya.

Ilustrasi Deskriptif Grafik F(x) dan F'(x) di Sekitar Titik Potong

Fungsi F(x) akan memotong sumbu x ketika salah satu faktornya nol. Itu terjadi di x=0 (dari faktor v(x)) dan di x=1 (juga dari v(x)). Di x=0, nilai F(0)=0. Bayangkan grafik F(x) mulai dari titik asal (0,0). Karena F'(0)=1 (positif), grafik akan naik dengan kemiringan 1 saat meninggalkan titik asal.

Kurva akan melengkung, mencapai suatu puncak (titik maksimum lokal) di mana F'(x) pertama kali menjadi nol. Setelah titik puncak itu, F'(x) berubah negatif, sehingga grafik F(x) menurun. Ia kemudian akan menyeberangi sumbu x lagi di x=1, dan karena suku kubik mendominasi, untuk x > 1, nilai F(x) akan menjadi negatif dan turun semakin dalam (atau naik secara negatif) sebelum akhirnya, karena pangkat tertinggi -2x⁴ pada F(x) yang asli (setelah ekspansi) adalah genap dengan koefisien negatif, ujung grafik untuk x → ±∞ akan menuju negatif tak hingga.

Grafik F'(x), sebagai turunannya, adalah kurva kubik. Di mana F'(x) positif, F(x) naik. Di mana F'(x) negatif, F(x) turun. Titik-titik di mana grafik F'(x) memotong sumbu x adalah titik-titik stasioner (puncak atau lembah) dari F(x). Kecekungan grafik F(x) ditentukan oleh tanda turunan kedua, F”(x), yang merupakan turunan dari F'(x).

Proses Penurunan dan Penyederhanaan Langkah Demi Langkah

Source: googleapis.com

Mari kita rinci proses menggunakan aturan perkalian dengan penekanan pada manipulasi aljabar hingga ke bentuk paling sederhana. Kita mulai dengan definisi: F(x) = u(x)
– v(x), dimana u(x) = 1 + 2x² dan v(x) = x − x².

Langkah 1: Cari turunan masing-masing fungsi dasar.
u'(x) = d/dx (1) + d/dx (2x²) = 0 + 4x = 4x.
v'(x) = d/dx (x) − d/dx (x²) = 1 − 2x.

Langkah 2: Terapkan aturan perkalian: F'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).
Substitusikan: F'(x) = (4x)(x − x²) + (1 + 2x²)(1 − 2x).

Langkah 3: Lakukan distribusi (perkalian) pada setiap suku.
Suku pertama: (4x)(x − x²) = 4x∙x − 4x∙x² = 4x² − 4x³.
Suku kedua: (1 + 2x²)(1 − 2x) = 1∙1 + 1∙(-2x) + 2x²∙1 + 2x²∙(-2x) = 1 − 2x + 2x² − 4x³.

Langkah 4: Gabungkan semua suku dari kedua hasil perkalian.
F'(x) = (4x² − 4x³) + (1 − 2x + 2x² − 4x³) = 1 − 2x + 4x² + 2x² − 4x³ − 4x³.

Langkah 5: Gabungkan suku-suku sejenis.
Suku konstan:
1. Suku x: −2x.
Suku x²: 4x² + 2x² = 6x².
Suku x³: −4x³ − 4x³ = −8x³.

Langkah 6: Tuliskan hasil akhir dalam bentuk standar (urutkan berdasarkan pangkat turun).
F'(x) = 1 − 2x + 6x² − 8x³.
Tidak ada faktor persekutuan yang dapat dikeluarkan lebih lanjut, sehingga ini adalah bentuk polinomial paling sederhana dari turunan fungsi F(x).

Eksplorasi Variasi Koefisien dan Eksponen dalam Kerangka Fungsi Generik

Fungsi F(x) = (1+2x²)(x−x²) hanyalah satu instans dari keluarga besar fungsi berbentuk (a + bxⁿ)(cx – dxᵐ). Perubahan pada koefisien (seperti angka 2 pada 2x² atau tanda negatif pada -x²) dan eksponen (pangkat dari x) akan menggeser karakteristik turunannya secara dramatis. Koefisien bertindak sebagai penguat atau pelemah pengaruh suatu suku. Misalnya, jika koefisien 2 pada suku 2x² diganti menjadi bilangan yang sangat besar, maka kontribusi u(x) akan mendominasi perilaku fungsi, dan turunannya akan lebih dipengaruhi oleh suku-suku berpangkat tinggi yang berasal dari derivatifnya.

Tanda negatif pada -x² dalam v(x) adalah krusial; ia mengubah v(x) dari parabola terbuka ke atas menjadi terbuka ke bawah, yang pada gilirannya mempengaruhi daerah di mana hasil kali F(x) bernilai positif atau negatif. Mengubah eksponen, misalnya dari (1+2x³) atau (x – x³), akan mengubah derajat polinomial hasil ekspansi dan turunannya, yang berimplikasi pada jumlah titik kritis dan kompleksitas grafik.

Prediksi Perubahan Karakteristik Turunan Berdasarkan Variasi Fungsi, Tentukan Turunan F(x) = (1+2x²)(x − x²)

Untuk mengilustrasikan pengaruh variasi, perhatikan tiga modifikasi dari struktur dasar fungsi kita:

• Variasi 1: F₁(x) = (1 + 0.5x²)(x − x²). Di sini, koefisien suku kuadrat pada faktor pertama dikurangi. Dampaknya, kontribusi dari u'(x)v(x) dalam product rule akan lebih kecil. Turunan F₁'(x) akan tetap berbentuk kubik, tetapi koefisien suku x² dan x³ akan lebih kecil secara numerik dibanding F'(x). Grafik F₁(x) akan lebih “datar” dan titik maksimumnya mungkin kurang tajam.

• Variasi 2: F₂(x) = (1 + 2x²)(x + x²). Tanda pada suku kedua di v(x) diubah dari negatif menjadi positif. Ini mengubah v(x) menjadi parabola terbuka ke atas yang melalui titik asal. Hasil kali F₂(x) akan selalu positif untuk x>0, dan turunannya, F₂'(x), akan memiliki suku konstan yang berbeda dan kombinasi tanda koefisien yang berubah, mungkin menggeser titik stasioner ke wilayah x negatif atau menghilangkannya untuk x>0.
• Variasi 3: F₃(x) = (1 + 2x)(x − x³). Eksponen pada faktor pertama diturunkan menjadi 1, dan pada faktor kedua dinaikkan menjadi 3. u(x) sekarang linear, dan v(x) adalah kubik. Turunan F₃'(x) akan menjadi polinomial derajat tiga (karena 1 + 3 = 4, dikurangi 1 menjadi 3), tetapi dengan distribusi koefisien yang sangat berbeda. Akan ada tiga titik kritis potensial karena derajat tiga, menandakan perilaku grafik F₃(x) yang lebih berosilasi (maksimum, minimum, dan titik belok) dibandingkan dengan F(x) asli.

Teknik Memfaktorkan untuk Mencari Titik Stasioner

Setelah mendapatkan F'(x) = 1 – 2x + 6x²
-8x³, langkah penting dalam analisis adalah mencari titik stasioner dengan menyelesaikan F'(x)=0. Memfaktorkan polinomial kubik bisa jadi menantang. Seringkali, kita menebak akar rasional yang mungkin (seperti faktor dari konstanta dibagi faktor dari koefisien pangkat tertinggi).

Langkah-langkah Memfaktorkan dan Mencari Akar:

1. Uji akar sederhana. Untuk persamaan -8x³ + 6x²
   

   2x + 1 = 0, calon akar rasional adalah ±1, ±1/2, ±1/4, ±1/8.

Verifikasi Kebenaran Turunan dengan Pendekatan Limit Numerik

Sebagai pemeriksaan akhir yang elegan, kita dapat memverifikasi kebenaran F'(x) menggunakan definisi fundamental turunan sebagai limit. Metode ini berguna jika kita ragu dengan penerapan aturan. Ambil sebuah nilai x tertentu, misalnya x = 0.5. Menurut rumus turunan kita, F'(0.5) = 1 – 2(0.5) + 6(0.5)²
-8(0.5)³ = 1 – 1 + 1.5 – 1 = 0.5. Sekarang, hitung pendekatan selisih maju dengan h yang sangat kecil, misalnya h = 0.001.

Hitung [F(0.5+0.001)
-F(0.5)] / 0.
001. Pertama, F(0.5) = (1+2*(0.5)²)(0.5−0.5²) = (1.5)(0.25)=0.
375. Lalu, F(0.501) = (1+2*(0.501)²)(0.501−0.501²) = (1+2*0.251001)(0.501−0.251001) ≈ (1.502002)(0.249999) ≈ 0.

375500. Selisihnya adalah 0.375500 – 0.375 = 0.
0005. Bagi dengan h: 0.0005 / 0.001 = 0.
5.

Mencari turunan F(x) = (1+2x²)(x − x²) itu seperti menganalisis suatu periode sejarah: butuh ketelitian membuka bentuk aljabar atau menelaah implementasi ideologi. Nah, pembahasan mendalam tentang Kelebihan dan Kekurangan Penerapan Pancasila pada Orde Lama punya kompleksitas serupa, di mana setiap kebijakan punya “turunan” sosialnya sendiri. Kembali ke soal, setelah disederhanakan, F(x) menjadi -4x³ + 3x² + 1, dan turunannya, F'(x) = -12x² + 6x, adalah hasil akhir dari proses diferensiasi yang sistematis.

Hasilnya cocok sempurna dengan perhitungan turunan analitik kita, 0.
5. Melakukan verifikasi seperti ini untuk beberapa titik acak memberikan keyakinan yang kuat bahwa turunan yang kita peroleh secara simbolik memang benar secara numerik, menghubungkan keabstrakan aljabar dengan realitas bilangan yang terukur.

Ringkasan Penutup

Jadi, setelah mengurai panjang lebar, turunan dari F(x) = (1+2x²)(x − x²) bukan lagi sekadar rumus mati. Dia adalah cerita tentang transformasi, tentang bagaimana dua fungsi yang saling berinteraksi melalui perkalian menghasilkan laju perubahan yang unik. Proses mencarinya, baik lewat ekspansi maupun product rule, mengajarkan fleksibilitas berpikir. Hasil akhirnya, F'(x), memberi kita kunci untuk membaca perilaku fungsi aslinya: di mana dia naik, turun, atau berhenti sejenak.

Pemahaman ini adalah fondasi untuk menerjemahkan banyak fenomena dunia nyata ke dalam bahasa matematika yang dinamis.

Pada akhirnya, menguasai turunan fungsi seperti ini ibarat punya kacamata baru. Dunia yang tampak statis tiba-tiba penuh dengan grafik naik-turun yang menjelaskan kecepatan, pertumbuhan, atau efisiensi. Soal ini mungkin hanya satu titik kecil di alam semesta kalkulus, tapi dari sini kita bisa menjelajah lebih jauh ke aplikasi yang lebih kompleks. Yang penting, jangan takut untuk mencoba kedua metode, memeriksa hasilnya, dan merasakan sendiri kepuasan ketika semuanya menyatu dengan tepat.

Tanya Jawab (Q&A): Tentukan Turunan F(x) = (1+2x²)(x − x²)

Apakah soal ini bisa diselesaikan dengan aturan rantai?

Tidak perlu. Aturan rantai digunakan untuk fungsi komposisi (fungsi di dalam fungsi), seperti f(g(x)). Soal ini murni perkalian dua fungsi, (1+2x²) dan (x−x²), sehingga alat yang tepat adalah aturan perkalian (product rule) atau ekspansi aljabar.

Mana metode yang lebih mudah, ekspansi atau product rule?

Tergantung preferensi dan kompleksitas fungsi. Untuk soal ini, ekspansi mungkin lebih mudah karena setelah dikalikan menjadi polinomial, penurunan suku per suku sangat langsung. Product rule lebih efisien jika fungsi-fungsinya rumit dan ekspansi justru memakan waktu.

Bagaimana cara memeriksa apakah turunan yang saya hitung sudah benar?

Anda bisa memverifikasi dengan dua cara: 1) Gunakan kedua metode (ekspansi dan product rule), hasil akhir harus sama persis. 2) Gunakan pendekatan numerik sederhana dengan definisi limit turunan untuk satu atau dua nilai x, lalu bandingkan dengan hasil rumus turunan Anda.

Apa arti praktis dari turunan F'(x) yang kita dapatkan?

F'(x) mewakili laju perubahan instantan dari F(x). Dalam konteks grafik, ia adalah kemiringan (slope) garis singgung di titik x. Dalam aplikasi, jika F(x) memodelkan keuntungan, F'(x) adalah laju pertumbuhan keuntungan. Jika F(x) adalah posisi, F'(x) adalah kecepatan.

Apakah tanda negatif di suku “-x²” sangat mempengaruhi hasil turunan?

Sangat mempengaruhi. Tanda negatif mengubah arah dan nilai dari suku tersebut serta interaksinya dengan suku lain saat diturunkan. Mengubah tanda koefisien atau eksponen akan mengubah bentuk turunan secara signifikan, yang kemudian memengaruhi titik stasioner dan bentuk grafiknya.