Tentukan x dan y dari 5x + y = 0 dan 2x + y = -10 – Tentukan x dan y dari 5x + y = 0 dan 2x + y = -10 merupakan sebuah permasalahan matematika dasar yang melibatkan sistem persamaan linear dua variabel. Penyelesaiannya mengungkap nilai numerik yang memenuhi kedua persamaan secara simultan, yang memiliki aplikasi luas dalam pemodelan hubungan linier antara dua besaran. Masalah seperti ini sering dijumpai sebagai fondasi dalam aljabar dan analisis kuantitatif di berbagai bidang ilmu.
Sistem persamaan tersebut terdiri dari dua persamaan linear dengan variabel x dan y. Tujuan utamanya adalah menemukan pasangan bilangan (x, y) yang menjadi solusi tunggal bagi kedua persamaan. Proses pencarian solusi dapat dilakukan melalui beberapa metode sistematis, seperti eliminasi dan substitusi, yang masing-masing memiliki prosedur dan efisiensi tertentu tergantung pada bentuk persamaannya.
Memahami Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Dalam aljabar, kita sering menemui situasi di mana dua kondisi harus dipenuhi secara bersamaan. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah alat matematika yang elegan untuk menangkap situasi seperti itu. Secara sederhana, SPLDV terdiri dari dua persamaan linear yang melibatkan dua variabel yang sama, biasanya x dan y, yang mencari satu titik temu yang memenuhi keduanya. Bentuk umumnya dapat ditulis sebagai a1x + b 1y = c 1 dan a2x + b 2y = c 2, di mana a, b, dan c adalah bilangan konstanta.
Contoh sistem yang serupa dengan “5x + y = 0 dan 2x + y = -10” bisa bermacam-macam, seperti “3x – 2y = 7 dan x + 4y = 1” atau “y = 2x + 5 dan y = -x + 3”. Intinya, kedua persamaan itu saling terikat, dan solusinya adalah nilai x dan y yang membuat kedua pernyataan itu benar pada saat yang bersamaan.
Perbandingan Metode Penyelesaian SPLDV
Untuk menemukan titik temu tersebut, ada beberapa jalur yang dapat ditempuh. Masing-masing metode memiliki karakter dan keefektifannya sendiri, tergantung pada bentuk persamaan yang dihadapi. Berikut adalah perbandingan dari tiga metode utama.
| Metode | Konsep Dasar | Kelebihan | Kekurangan |
|---|---|---|---|
| Substitusi | Menyatakan satu variabel dalam variabel lain, lalu menggantikannya ke persamaan kedua. | Sangat intuitif dan langsung, ideal jika salah satu variabel sudah terisolasi (misal: y = 2x + 5). | Dapat menjadi rumit dan rentan kesalahan aljabar jika koefisien variabelnya berupa pecahan atau rumit. |
| Eliminasi | Menjumlahkan atau mengurangkan kedua persamaan untuk mengeliminasi salah satu variabel. | Rapi dan sistematis, sangat efektif ketika koefisien salah satu variabel sama atau mudah disamakan. | Memerlukan langkah penyamaan koefisien yang terkadang melibatkan perkalian, yang bisa menambah langkah. |
| Grafik | Menggambar kedua persamaan sebagai garis lurus pada bidang kartesius dan mencari titik potongnya. | Memberikan representasi visual yang sangat jelas tentang makna solusi. | Kurang akurat jika solusinya bukan bilangan bulat, sangat bergantung pada ketepatan menggambar. |
Menyelesaikan dengan Metode Eliminasi
Source: z-dn.net
Metode eliminasi bekerja dengan prinsip menyederhanakan sistem menjadi satu persamaan dengan satu variabel. Kita akan mengaplikasikannya pada teka-teki kita: 5x + y = 0 dan 2x + y = -10. Perhatikan bahwa koefisien dari variabel y pada kedua persamaan sudah sama, yaitu +1. Ini adalah sinyal bahwa eliminasi dengan cara pengurangan adalah pilihan yang efisien.
Langkah-langkah Penyelesaian Sistem
Proses eliminasi untuk sistem ini dapat diuraikan dalam langkah-langkah terstruktur berikut.
- Langkah 1: Susun dan Amati. Tulis kedua persamaan secara vertikal sejajar. Karena koefisien y identik, kita dapat mengurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama untuk menghilangkan y.
- Langkah 2: Lakukan Eliminasi. Kurangkan setiap suku yang sejajar: (5x – 2x) + (y – y) = (0 – (-10)). Hasilnya adalah 3x = 10.
- Langkah 3: Selesaikan untuk Variabel Pertama. Dari 3x = 10, kita peroleh nilai x dengan membagi kedua ruas dengan 3, sehingga x = 10/3.
- Langkah 4: Substitusi Balik. Masukkan nilai x = 10/3 ke dalam salah satu persamaan awal, misalnya 5x + y = 0. Maka 5*(10/3) + y = 0 → 50/3 + y = 0 → y = -50/3.
Tips untuk menghindari kesalahan adalah selalu periksa tanda saat mengurangkan, terutama ketika berhadapan dengan bilangan negatif seperti -(-10) yang menjadi +10. Selain itu, pastikan untuk mensubstitusi nilai yang ditemukan ke dalam persamaan asal untuk mendapatkan variabel kedua, bukan ke persamaan hasil eliminasi yang sudah berubah.
Menyelesaikan dengan Metode Substitusi
Metode substitusi menawarkan pendekatan yang lebih langsung dengan menjadikan satu persamaan sebagai “pemberi informasi” untuk dimasukkan ke persamaan lainnya. Mari kita lihat prosesnya pada sistem yang sama. Dari persamaan 5x + y = 0, kita dapat dengan mudah mengungkapkan y dalam bentuk x, yaitu y = -5x. Informasi inilah yang akan kita bawa ke persamaan kedua.
Kompleksitas dan Efisiensi Metode
Untuk sistem ini, metode substitusi berjalan hampir seefisien eliminasi karena salah satu variabel (y) dapat diisolasi hanya dengan satu langkah aljabar sederhana. Kita substitusi y = -5x ke dalam 2x + y = -10, menjadi 2x + (-5x) = -10, yang langsung menyederhanakan menjadi -3x = -10, sehingga x = 10/3. Hasil ini kemudian disubstitusi kembali ke y = -5x untuk mendapatkan y = -50/3.
Kompleksitasnya sangat rendah. Namun, jika koefisiennya lebih rumit, eliminasi sering kali lebih rapi dan mengurangi potensi kesalahan hitung.
Metode substitusi paling efektif digunakan ketika salah satu persamaan sudah secara eksplisit menyatakan satu variabel dalam variabel lain (contoh: y = 3x – 1 atau x = 2y + 5). Metode ini juga menjadi pilihan alami jika isolasi variabel tersebut dapat dilakukan dengan mudah, tanpa menghasilkan koefisien pecahan yang menyulitkan perhitungan selanjutnya.
Verifikasi Solusi dan Interpretasi Hasil
Setelah mendapatkan pasangan solusi x = 10/3 dan y = -50/3, langkah penting adalah memverifikasi. Verifikasi bukan formalitas, melainkan pengecekan kebenaran yang memastikan tidak ada selip hitung di sepanjang proses. Caranya adalah dengan memasukkan nilai-nilai ini ke dalam kedua persamaan asli dan memastikan hasilnya adalah pernyataan yang benar.
Secara geometris, setiap persamaan linear dua variabel merepresentasikan sebuah garis lurus pada bidang kartesius. Solusi dari sistem persamaan ini tidak lain adalah koordinat titik potong dari kedua garis tersebut. Jadi, titik (10/3, -50/3) adalah satu-satunya titik yang terletak pada kedua garis yang didefinisikan oleh 5x + y = 0 dan 2x + y = -10.
Deskripsi Grafik Dua Garis
Bayangkan sebuah bidang kartesius. Garis pertama, dari persamaan 5x + y = 0 atau y = -5x, adalah garis yang melalui titik asal (0,0) dengan kemiringan curam ke bawah; untuk setiap langkah ke kanan, garis turun lima langkah. Garis kedua, dari 2x + y = -10 atau y = -2x – 10, memiliki kemiringan yang lebih landai dan memotong sumbu y di titik (0, -10).
Kedua garis ini berjalan dari kiri atas ke kanan bawah, namun dengan sudut yang berbeda. Mereka akan saling menyilang di satu titik di kuadran keempat, tepatnya di koordinat di mana nilai x positif sekitar 3.33 dan nilai y negatif sekitar -16.67. Titik persilangan inilah yang menjadi solusi sistem kita, sebuah titik temu dari dua lintasan yang berbeda.
Aplikasi dan Variasi Soal Serupa
Kekuatan SPLDV terletak pada kemampuannya memodelkan masalah nyata. Misalnya, dalam menentukan harga dua jenis barang jika diketahui total belanja dan selisih harga, atau menghitung kecepatan dan waktu dalam masalah perjalanan. Berikut dua contoh kontekstual sederhana.
- Contoh 1: Penjualan Tiket. Sebuah konser menjual tiket reguler dan VIP. Diketahui harga 2 tiket reguler dan 1 tiket VIP adalah Rp 800.000, sedangkan harga 1 tiket reguler dan 1 tiket VIP adalah Rp 550.000. Sistem persamaan 2r + v = 800.000 dan r + v = 550.000 dapat dibentuk untuk mencari harga masing-masing tiket.
- Contoh 2: Campuran Larutan. Seorang apoteker mencampur dua larutan asam dengan konsentrasi berbeda. Larutan A memiliki kekuatan 30%, larutan B 60%. Untuk membuat 100 ml larutan dengan kekuatan 45%, dimodelkan dengan sistem tentang volume dan total asam: A + B = 100 dan 0.3A + 0.6B = 45.
Variasi Soal Latihan
Berikut tiga variasi soal dengan struktur mirip untuk melatih pemahaman.
- Tingkat Mudah: 3x + y = 5 dan x + y =
3. (Solusi
x=1, y=2)
- Tingkat Sedang: 4x – y = 1 dan 2x + 3y =
8. (Solusi
x=0.5, y=2.33…)
- Tingkat Menantang: 0.5x + 1.2y = 4.1 dan 1.5x – 0.8y = 1.9. (Solusi membutuhkan penyamaan koefisien dengan desimal).
Penyelesaian Soal Tingkat Sedang, Tentukan x dan y dari 5x + y = 0 dan 2x + y = -10
Mari kita selesaikan soal tingkat sedang, 4x – y = 1 dan 2x + 3y = 8, menggunakan metode eliminasi yang disajikan dalam tabel.
| Langkah | Proses | Penjelasan |
|---|---|---|
| 1. Persiapan | 4x – y = 1 2x + 3y = 8 |
Susun persamaan. Kita pilih mengeliminasi x dengan menyamakan koefisiennya. |
| 2. Samakan Koefisien | Kalikan pers. kedua dengan 2: 4x – y = 1 4x + 6y = 16 |
Perkalian ini membuat koefisien x pada kedua persamaan sama, yaitu 4. |
| 3. Eliminasi | Kurangkan pers. pertama dari kedua: (4x-4x) + (-y-6y) = 1-16 -7y = -15 |
Pengurangan menghilangkan variabel x, menyisakan persamaan dalam y. |
| 4. Cari y | y = (-15)/(-7) = 15/7 ≈ 2.143 | Selesaikan persamaan untuk mendapatkan nilai y. |
| 5. Substitusi | Masukkan y=15/7 ke 4x – y = 1: 4x – (15/7) = 1 4x = 1 + 15/7 = 22/7 x = (22/7) / 4 = 11/14 ≈ 0.786 |
Substitusi nilai y ke salah satu persamaan awal untuk mendapatkan nilai x. |
Kesimpulan
Dengan demikian, penyelesaian sistem persamaan 5x + y = 0 dan 2x + y = -10 menghasilkan solusi x = 10/3 dan y = -50/3. Verifikasi membuktikan bahwa nilai-nilai ini memenuhi kedua persamaan awal, sekaligus merepresentasikan koordinat titik potong kedua garis pada bidang Kartesius. Pemahaman terhadap proses penyelesaian ini tidak hanya memberikan jawaban numerik, tetapi juga menguatkan konsep dasar aljabar linear yang esensial untuk menangani masalah pemodelan yang lebih kompleks.
Pertanyaan yang Sering Muncul: Tentukan X Dan Y Dari 5x + y = 0 Dan 2x + y = -10
Apakah sistem persamaan ini selalu memiliki solusi tunggal?
Tidak selalu. Sebuah SPLDV dapat memiliki satu solusi (konsisten dan independen), tidak memiliki solusi (inkonsisten), atau memiliki tak terhingga banyak solusi (konsisten dan dependen). Sistem pada contoh ini memiliki solusi tunggal karena kedua garis yang direpresentasikan memiliki kemiringan yang berbeda.
Mengapa metode eliminasi dianggap efisien untuk sistem persamaan ini?
Metode eliminasi efisien karena koefisien variabel y pada kedua persamaan sudah sama (yaitu +1). Dengan mengurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama, variabel y dapat dieliminasi secara langsung dan langsung diperoleh nilai x, sehingga prosesnya menjadi lebih cepat dan minim kesalahan.
Bagaimana jika konstanta pada persamaan diubah, apakah metode penyelesaiannya berubah?
Prinsip metode penyelesaian (eliminasi, substitusi, grafik) tidak berubah. Perubahan konstanta hanya akan mengubah nilai solusi akhir (x dan y) serta posisi titik potong grafiknya, namun langkah-langkah aljabar yang diterapkan tetap identik.
Apa arti geometris dari solusi x = 10/3 dan y = -50/3?
Secara geometris, setiap persamaan linear merepresentasikan sebuah garis lurus pada bidang koordinat. Solusi (10/3, -50/3) merupakan koordinat titik potong tepat dari kedua garis tersebut, yaitu titik di mana kedua garis saling berpotongan.
