Tiga kali jumlah akar persamaan kuadrat x²-(p+1)x-6=0 diketahui salah satu akar 2, sebuah kalimat yang mungkin terdengar rumit, namun sebenarnya menyimpan teka-teki matematika yang elegan dan solutif. Pernyataan ini bukan sekadar kumpulan angka dan variabel, melainkan sebuah narasi lengkap yang memadukan informasi eksplisit dan implisit, menantang untuk diurai dan dipahami hingga ke akar-akarnya, secara harfiah.
Persoalan ini mengajak kita menyelami konsep fundamental dalam aljabar, yaitu hubungan antara koefisien dan akar-akar persamaan kuadrat, yang dikenal sebagai rumus Vieta. Dengan mengetahui satu akar dan sebuah hubungan linear terhadap jumlah akar, nilai parameter misterius ‘p’ dapat diungkap, yang kemudian membuka jalan untuk menemukan identitas lengkap dari persamaan tersebut beserta akar pasangannya.
Memahami Permasalahan Dasar
Dalam dunia aljabar, persamaan kuadrat seringkali menyimpan teka-teki yang menarik untuk dipecahkan. Salah satunya adalah ketika kita diberikan informasi tentang hubungan antara akar-akarnya. Pada kasus ini, kita dihadapkan pada persamaan x²-(p+1)x-6=0 dengan pernyataan “tiga kali jumlah akar” dan fakta bahwa salah satu akarnya adalah 2. Untuk memulai penyelesaian, kita perlu mengurai makna pernyataan tersebut dengan tepat.
Frasa “tiga kali jumlah akar” merujuk pada operasi perkalian terhadap hasil penjumlahan kedua akar persamaan kuadrat. Jika akar-akarnya kita sebut α dan β, maka “jumlah akar” adalah (α+β), sehingga “tiga kali jumlah akar” berarti 3(α+β). Informasi yang sudah kita ketahui adalah bentuk persamaan dan satu akarnya (x=2). Yang belum diketahui adalah nilai parameter p dan akar yang satunya lagi. Persamaan x²-(p+1)x-6=0 sudah dalam bentuk standar ax²+bx+c=0, dengan koefisien a=1, b=-(p+1), dan c=-6.
Menerapkan Konsep Jumlah dan Hasil Kali Akar
Kunci untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan hubungan antar akar tanpa harus mencari akarnya satu per satu terlebih dahulu adalah menggunakan teorema Vieta. Teorema ini memberikan hubungan langsung antara koefisien persamaan dengan jumlah dan hasil kali akar-akarnya, yang sangat powerful untuk menganalisis persamaan kuadrat.
Rumus Dasar Teorema Vieta
Source: slidesharecdn.com
Mengetahui salah satu akar persamaan kuadrat x²-(p+1)x-6=0 adalah 2 memungkinkan kita menghitung nilai p dan jumlah akar-akarnya. Proses penyederhanaan aljabar seperti ini mengingatkan pada pencarian nilai terkecil yang memenuhi suatu kondisi, seperti yang diulas dalam topik Banyak Faktor m Terkecil Agar m·½·3·⅓·4·¼ Bilangan Asli. Kembali ke persamaan awal, setelah p ditemukan, tiga kali jumlah akarnya pun dapat ditentukan dengan presisi.
Untuk persamaan kuadrat umum ax²+bx+c=0 dengan akar-akar α dan β, berlaku dua hubungan fundamental. Pertama, jumlah akar-akarnya sama dengan negatif koefisien x dibagi koefisien x². Kedua, hasil kali akar-akarnya sama dengan konstanta dibagi koefisien x².
α + β = -b/a
α × β = c/a
Penerapan pada Persamaan Diketahui
Menerapkan rumus ini pada persamaan kita, x²-(p+1)x-6=0, dimana a=1, b=-(p+1), dan c=-6, maka kita peroleh:
- Jumlah akar: α + β = -[-(p+1)] / 1 = p+1
- Hasil kali akar: α × β = (-6) / 1 = -6
Informasi “tiga kali jumlah akar” dapat kita terjemahkan menjadi sebuah persamaan. Jika tiga kali jumlah akar memiliki nilai tertentu (yang nantinya akan kita hubungkan dengan informasi lain), maka persamaannya adalah 3(α+β) = [suatu nilai]. Untuk sementara, kita simpan hubungan ini.
Memanfaatkan Informasi Akar yang Diketahui
Keberadaan informasi bahwa x=2 adalah akar persamaan memberikan titik terang yang menentukan. Ini adalah data konkret yang memungkinkan kita untuk mengunci nilai parameter p yang masih misterius. Substitusi nilai akar ke dalam persamaan asli adalah metode paling langsung dan valid.
Substitusi dan Penyelesaian Nilai p
Karena x=2 memenuhi persamaan, maka kita dapat mengganti variabel x dengan angka 2.
(2)²
- (p+1)(2)
- 6 = 0
- – 2(p+1)
- 6 = 0
- – 2p – 2 – 6 = 0
- 2p – 4 = 0
- 2p = 4
p = -2
Verifikasi cepat dapat dilakukan dengan memasukkan p=-2 kembali ke persamaan awal: x²-(-2+1)x-6 = x²
-(-1)x -6 = x² + x – 6 = 0. Substitusi x=2 menghasilkan 4 + 2 – 6 = 0, yang membuktikan kebenaran nilai p yang kita peroleh.
Dalam matematika, menyelesaikan persamaan kuadrat seperti x²-(p+1)x-6=0 dengan satu akar 2 melibatkan analisis hubungan antar variabel, mirip dengan cara ilmuwan mengurai kompleksitas Pengertian Virus Dengue untuk memahami perilaku dan dampaknya. Setelah memahami kedua konsep tersebut, fokus kembali ke perhitungan aljabar untuk menentukan nilai p dan akar lainnya dari persamaan awal.
Menyelesaikan dan Menganalisis Persamaan Lengkap: Tiga Kali Jumlah Akar Persamaan Kuadrat X²-(p+1)x-6=0 Diketahui Salah Satu Akar 2
Dengan p=-2, persamaan kuadrat kita berubah dari bentuk parametrik menjadi bentuk numerik yang lengkap. Persamaannya sekarang adalah x² + x – 6 = 0. Tahap selanjutnya adalah menemukan akar kedua dan meringkas seluruh proses perhitungan dalam sebuah tabel yang komprehensif.
Menentukan Akar-Akar Persamaan Final
Persamaan x² + x – 6 = 0 dapat dengan mudah difaktorkan. Kita mencari dua bilangan yang jumlahnya 1 (koefisien x) dan hasil kalinya -6 (konstanta). Bilangan tersebut adalah 3 dan -2.
x² + x – 6 = (x + 3)(x – 2) = 0
Akar-akarnya adalah x = -3 dan x = 2. Ini mengonfirmasi bahwa akar yang diketahui (2) adalah benar, dan akar lainnya adalah -3.
Menentukan nilai p dari persamaan kuadrat x²-(p+1)x-6=0, dengan satu akar diketahui 2, memerlukan ketelitian sistematis layaknya memecahkan teka-teki numerik. Proses berpikir analitis ini mengingatkan kita bahwa ada dimensi komunikasi yang lebih kompleks, seperti Hal yang Tidak Bisa Disampaikan Lewat Memo , yang tak bisa direduksi hanya menjadi rumus. Pada akhirnya, setelah menemukan p, kita kembali ke dunia objektif matematika, memverifikasi akar-akar lain untuk memastikan solusi yang utuh dan koheren.
Tabel Ringkasan Proses Perhitungan, Tiga kali jumlah akar persamaan kuadrat x²-(p+1)x-6=0 diketahui salah satu akar 2
| Variabel/Konsep | Rumus | Substitusi Nilai | Hasil Perhitungan |
|---|---|---|---|
| Persamaan Awal | ax² + bx + c = 0 | a=1, b=-(p+1), c=-6 | x²
|
| Jumlah Akar (α+β) | -b/a | -[-(p+1)]/1 | p + 1 |
| Hasil Kali Akar (αβ) | c/a | -6/1 | -6 |
| Substitusi Akar x=2 | 2²
|
– | p = -2 |
| Persamaan Final | – | p = -2 | x² + x – 6 = 0 |
| Akar-Akar | (x+3)(x-2)=0 | – | x₁ = -3, x₂ = 2 |
Pembuktian dan Visualisasi Konsep
Setelah mendapatkan solusi, penting untuk melakukan pembuktian dan visualisasi guna memperdalam pemahaman. Pembuktian dengan teorema Vieta memastikan konsistensi logis, sementara deskripsi grafik memberikan perspektif geometris terhadap solusi aljabar yang telah ditemukan.
Pembuktian dengan Teorema Vieta
Untuk persamaan final x² + x – 6 = 0, kita memiliki a=1, b=1, c=-6. Menurut teorema Vieta, jumlah akar haruslah -b/a = -1/1 = -1. Dari akar yang kita peroleh (-3 dan 2), jumlahnya adalah -3 + 2 = -1. Hasil kali akar haruslah c/a = -6/1 = -6. Hasil kali akar kita adalah -3 × 2 = -6.
Kedua hubungan terpenuhi, membuktikan kebenaran solusi secara elegan.
Prosedur Utama dalam Blokquote
Penyelesaian masalah ini mengikuti alur logis yang sistematis: Pertama, mengidentifikasi informasi “tiga kali jumlah akar” dan akar yang diketahui. Kedua, menerapkan teorema Vieta untuk mendapatkan hubungan jumlah dan hasil kali akar dalam parameter p. Ketiga, memanfaatkan akar yang diketahui (x=2) dengan mensubstitusikannya ke persamaan awal untuk mendapatkan nilai p secara numerik. Keempat, setelah p ditemukan (p=-2), persamaan menjadi lengkap dan akar kedua dapat ditentukan melalui pemfaktoran. Terakhir, verifikasi dilakukan dengan memastikan jumlah dan hasil kali akar memenuhi teorema Vieta.
Deskripsi Grafik Parabola
Persamaan kuadrat x² + x – 6 = 0 merepresentasikan sebuah parabola yang terbuka ke atas (karena koefisien x² positif). Parabola ini memotong sumbu X di dua titik, yaitu pada x = -3 dan x = 2, yang merupakan akar-akar persamaan. Titik potong dengan sumbu Y dapat ditemukan dengan substitusi x=0, menghasilkan y = -6. Jadi, parabola memotong sumbu Y di titik (0, -6).
Vertex (titik puncak) parabola terletak di tengah-tengah kedua akar secara horizontal. Sumbu simetrinya berada di x = (-3+2)/2 = -0.5. Nilai y vertex dapat dihitung dengan substitusi x=-0.5, menghasilkan (-0.5)² + (-0.5)
-6 = 0.25 – 0.5 – 6 = -6.25. Dengan demikian, vertex parabola berada pada koordinat (-0.5, -6.25), yang merupakan titik minimum dari grafik tersebut.
Pemungkas
Dengan demikian, perjalanan menyelesaikan teka-teki ini telah memberikan lebih dari sekadar angka akhir. Prosesnya menguatkan pemahaman bahwa persamaan kuadrat adalah sebuah sistem yang terhubung rapi; mengubah satu bagian akan berpengaruh pada keseluruhan. Menemukan p = 1 dan akar lainnya -3 bukanlah akhir, melainkan konfirmasi betapa konsistennya hukum matematika. Setiap langkah, dari substitusi, penerapan rumus Vieta, hingga verifikasi, saling mengunci membentuk solusi yang utuh dan memuaskan, menunjukkan keindahan logika dalam setiap penyelesaian masalah.
Panduan Pertanyaan dan Jawaban
Apa yang dimaksud dengan “tiga kali jumlah akar” dalam soal ini?
Ini adalah sebuah pernyataan yang membentuk persamaan. Jika akar-akarnya adalah α dan β, maka “jumlah akar” adalah (α+β). “Tiga kali jumlah akar” berarti 3 dikalikan dengan (α+β), atau 3(α+β). Nilai dari 3(α+β) ini diketahui sama dengan suatu nilai tertentu yang nantinya akan ditemukan melalui perhitungan.
Mengapa kita perlu menggunakan rumus Vieta, bukankah bisa difaktorkan langsung?
Karena persamaan mengandung parameter ‘p’ yang tidak diketahui. Memfaktorkan langsung tanpa mengetahui nilai p akan sulit. Rumus Vieta memberikan hubungan langsung antara koefisien persamaan (yang melibatkan p) dengan jumlah dan hasil kali akar, sehingga menjadi jembatan untuk menemukan nilai p.
Apakah akar yang diketahui, yaitu 2, selalu merupakan akar pertama (α) dalam perhitungan?
Tidak. Penamaan akar sebagai α atau β adalah arbitrer (bebas). Dalam perhitungan, kita bisa mensubstitusi x = 2 ke persamaan tanpa perlu memberi label terlebih dahulu. Pemberian label α dan β biasanya untuk kemudahan dalam menuliskan rumus jumlah (α+β) dan hasil kali (αβ).
Bagaimana jika soal meminta “tiga kali hasil kali akar” bukan “tiga kali jumlah akar”?
Langkah awal akan serupa, tetapi persamaan yang dibentuk akan berbeda. Alih-alih menggunakan rumus jumlah akar 3(α+β), kita akan menggunakan rumus hasil kali akar 3(αβ). Prosedur selanjutnya, yaitu substitusi akar yang diketahui untuk mencari p, tetap akan dilakukan.
Apakah nilai p yang ditemukan hanya satu?
Dalam konteks soal ini, ya. Substitusi x=2 ke persamaan awal menghasilkan persamaan linear dalam p, yang hanya memberikan satu solusi tunggal, yaitu p = 1. Ini kemudian diverifikasi dengan memenuhi kondisi “tiga kali jumlah akar”.
