Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat f(x) = (-1/2)x^2 + 8x – 25 Adalah Panduan Visual Parabola

Sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = (-1/2)x^2 + 8x – 25 adalah kunci untuk membongkar semua rahasia yang tersembunyi di balik persamaan matematika yang terlihat angker ini. Bayangkan, dari sekumpulan angka dan variabel, kita bisa menyulap sebuah gambar, sebuah cerita visual tentang bagaimana nilai fungsi ini naik, mencapai puncak, lalu turun. Ini bukan cuma soal menggambar kurva, tapi tentang memahami jiwa dari sebuah fungsi.

Melalui sketsa ini, kita akan menjawab pertanyaan mendasar: ke mana arah lengkungannya? Di titik mana ia menyentuh sumbu? Dan puncak tertingginya ada di koordinat berapa? Dengan menganalisis koefisien a yang negatif, kita sudah bisa menebak bahwa parabola ini akan terbuka ke bawah, layaknya sebuah bukit yang elegan. Mari kita telusuri titik demi titik untuk merangkai gambaran utuhnya.

Sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = (-1/2)x² + 8x – 25 itu bisa kita bayangkan seperti menggambar pagar yang anggun, lho. Nah, soal pagar, pernah kepikiran nggak gimana cara menghitung materialnya? Coba simak cerita tentang Edi akan memagari kebun bunganya. Untuk itu, ia memerlukan tiang-tiang yang tingginya 1 1/2 m. Berapa banyak tiang yang bisa dibuat dari sebatang besi.

Dari logika praktis seperti itu, kita bisa kembali fokus untuk membayangkan bentuk parabola dari fungsi kuadrat kita tadi dengan lebih intuitif dan jelas.

Memahami Fungsi Kuadrat dan Komponennya

Sebelum kita mulai menggambar sketsa, mari kita kenali dulu karakter utamanya, yaitu fungsi kuadrat itu sendiri. Bayangkan fungsi kuadrat seperti resep dasar untuk membuat parabola. Resep umumnya selalu sama: f(x) = ax² + bx + c. Di sini, a, b, dan c adalah bahan-bahan khusus yang menentukan bentuk dan posisi parabola kita.

Untuk fungsi kita, f(x) = (-1/2)x² + 8x – 25, kita bisa langsung mengidentifikasi bahan-bahannya. Koefisien a = -1/2, koefisien b = 8, dan konstanta c = -25. Nilai a yang negatif ini adalah kunci utama. Dia memberi tahu kita bahwa parabola ini akan membuka ke bawah, seperti sebuah bukit atau gunung yang terbalik, bukan seperti cekungan yang menampung air.

Perbandingan Karakteristik Parabola Berdasarkan Nilai a

Untuk memudahkan pemahaman, perbedaan mendasar antara parabola dengan koefisien a positif dan negatif dapat dilihat pada tabel berikut. Perhatikan bagaimana tanda a mengubah segalanya, dari bentuk hingga nilai ekstremnya.

Menentukan Titik Penting pada Grafik

Menggambar parabola tanpa titik-titik kunci ibarat menghubungkan titik-titik di kertas kosong. Kita butuh patokan. Titik potong dengan sumbu, titik puncak, adalah fondasi dari sketsa kita. Mari kita cari satu per satu dengan perhitungan yang sederhana.

Titik Potong dengan Sumbu-y

Titik potong dengan sumbu-y terjadi ketika nilai x = 0. Ini adalah titik di mana grafik menyentuh garis vertikal. Caranya mudah, cukup substitusi x=0 ke dalam fungsi: f(0) = (-1/2)(0)² + 8(0)
-25 = -25. Jadi, grafik memotong sumbu-y di titik (0, -25).

Titik Potong dengan Sumbu-x (Akar-Akar)

Titik potong dengan sumbu-x, atau akar fungsi, adalah nilai x ketika f(x)=
0. Kita selesaikan persamaan (-1/2)x² + 8x – 25 =
0. Agar lebih mudah, kalikan seluruh persamaan dengan -2: x²
-16x + 50 = 0. Karena tidak mudah difaktorkan, kita gunakan rumus kuadrat.

Rumus Kuadrat: x = [-b ± √(b²

4ac)] / 2a

Dengan a=1, b=-16, c=50 dari persamaan yang sudah disederhanakan, kita hitung diskriminannya: D = (-16)²
-4*1*50 = 256 – 200 = 56. Akar dari 56 adalah √56 = √(4*14) = 2√14 ≈ 7.48. Maka, x = [16 ± 2√14] / 2 = 8 ± √14. Jadi, titik potong dengan sumbu-x adalah di x ≈ 8 – 3.74 = 4.26 dan x ≈ 8 + 3.74 = 11.74.

Koordinat Titik Puncak (Vertex)

Titik puncak adalah puncak bukit kita. Koordinat x-nya dicari dengan rumus: x = -b / 2a. Untuk fungsi asli kita (dengan a=-1/2, b=8), maka x = -8 / (2
– (-1/2)) = -8 / (-1) =
8. Selanjutnya, substitusi x=8 ke dalam fungsi untuk mendapatkan nilai y: f(8) = (-1/2)(8)² + 8(8)
-25 = (-1/2)(64) + 64 – 25 = -32 + 64 – 25 = 7.

Jadi, titik puncaknya adalah (8, 7).

Berikut rangkuman titik-titik penting yang telah kita temukan:

• Titik Potong Sumbu-y: (0, -25)
• Titik Potong Sumbu-x: (8 – √14, 0) dan (8 + √14, 0) atau sekitar (4.26, 0) dan (11.74, 0).
• Titik Puncak (Maksimum): (8, 7)

Analisis Sifat dan Perilaku Grafik

Dengan titik-titik kunci di tangan, kita bisa membaca cerita lengkap dari grafik ini. Dari arah bukaannya hingga batasan nilainya, setiap sifat memberi kita gambaran visual yang lebih jelas sebelum pena menyentuh kertas.

Arah Pembukaan dan Nilai Maksimum

Karena koefisien a = -1/2 bernilai negatif, parabola membuka ke bawah. Implikasinya langsung: grafik ini memiliki nilai maksimum, dan nilai maksimum itu tepat berada di titik puncaknya. Jadi, nilai maksimum fungsi f(x) adalah 7, yang terjadi ketika x = 8. Tidak ada nilai fungsi yang lebih tinggi dari 7.

Domain dan Range

Domain adalah semua nilai x yang mungkin. Untuk fungsi kuadrat, x bisa berupa semua bilangan real, dari negatif tak hingga hingga positif tak hingga. Sementara range (daerah hasil) dibatasi oleh nilai maksimumnya. Karena grafik membuka ke bawah dan puncaknya di y=7, maka nilai y hanya bisa dari negatif tak hingga hingga 7. Range-nya adalah y | y ≤ 7 .

Sumbu Simetri

Parabola selalu simetris. Garis simetrinya adalah garis vertikal yang membagi dua parabola tepat melalui titik puncaknya. Koordinat x dari titik puncak adalah penentu sumbu simetri ini. Jadi, untuk fungsi kita, sumbu simetrinya adalah garis x = 8. Jika kamu mengambil titik di sebelah kiri garis ini, akan ada titik cerminannya di sebelah kanan dengan ketinggian (y) yang sama.

Panduan Visual untuk Membuat Sketsa

Sekarang, saatnya untuk menggambar. Dengan semua data yang kita kumpulkan, proses membuat sketsa menjadi lebih terstruktur dan akurat. Ikuti langkah-langkah sistematis ini untuk mendapatkan gambaran yang mendekati bentuk aslinya.

Langkah-Langkah Sistematis Menggambar Sketsa

1. Gambarlah sistem sumbu koordinat (sumbu-x dan sumbu-y) pada bidang.
2. Tandai titik-titik kunci yang sudah dihitung: titik potong sumbu-y (0,-25), titik potong sumbu-x (~4.26, 0) dan (~11.74, 0), serta titik puncak (8,7).
3. Gambarlah garis sumbu simetri putus-putus pada x = 8 sebagai panduan.
4. Karena a negatif, mulailah menggambar kurva dari kiri atas (karena untuk x yang sangat negatif, nilai -1/2 x² akan sangat negatif, mendominasi).
5. Turunkan kurva, potong sumbu-x pertama di sekitar x=4.26, terus turun ke titik terendah relatif? Tunggu, kita punya titik puncak maksimum. Koreksi: kurva akan naik dari kiri, mencapai puncak di (8,7), kemudian turun lagi. Artinya, dari kiri, kurva mungkin mulai dari y yang sangat rendah, naik, memotong sumbu-x pertama kali, terus naik ke puncak, lalu turun, memotong sumbu-x kedua kali, dan akhirnya turun terus.

6. Gunakan titik-titik bantu jika perlu. Hitung nilai f(x) untuk x di sekitar puncak, misal x=6 dan x=10, untuk memastikan kelengkungannya.
7. Hubungkan semua titik dengan garis halus dan melengkung, membentuk parabola yang simetris terhadap garis x=8.

Deskripsi Visual Grafik, Sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = (-1/2)x^2 + 8x – 25 adalah

Grafik f(x) = (-1/2)x² + 8x – 25 akan terlihat seperti sebuah bukit yang landai. Puncak bukitnya berada cukup tinggi di koordinat (8,7). Bukit ini memotong bidang datar (sumbu-x) di dua tempat: satu di sebelah kiri puncak (sekitar x=4.26) dan satu di sebelah kanan puncak (sekitar x=11.74). Bagian kaki bukit di sebelah kiri memotong sumbu-y jauh di bawah, di titik (0, -25).

Bentuk kurvanya tidak terlalu curam karena nilai |a| = 1/2 termasuk kecil, sehingga parabola terlihat agak gemuk atau lebar.

Membuat sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = (-1/2)x² + 8x – 25 itu butuh ketelitian, mirip kayak ngitung Nilai dari 3,015 + 1 7/8 + 35% adalah yang detailnya gak boleh luput. Nah, setelah paham soal perhitungan presisi itu, balik lagi ke sketsa grafiknya, di mana kita bisa lebih jeli menentukan titik puncak dan arah kurvanya yang terbuka ke bawah.

Titik-Titik Kunci untuk Sketsa

• Titik Puncak (Maksimum): (8, 7)
• Titik Potong Sumbu-y: (0, -25)
• Titik Potong Sumbu-x 1: (8 – √14, 0) ≈ (4.26, 0)
• Titik Potong Sumbu-x 2: (8 + √14, 0) ≈ (11.74, 0)
• Titik Bantu 1 (kiri puncak): (6, f(6)) = (6, (-18)+48-25) = (6, 5)
• Titik Bantu 2 (kanan puncak): (10, f(10)) = (10, (-50)+80-25) = (10, 5)

Tips Penting: Keakuratan sketsa sangat bergantung pada kelengkungan parabola. Ingat, karena a = -1/2 (negatif dan pecahan), parabola membuka ke bawah dengan lengkungan yang lebar dan landai, bukan lancip. Pastikan kurva yang kamu gambar mencerminkan hal ini. Gunakan titik bantu di (6,5) dan (10,5) untuk memastikan bentuknya simetris dan tidak terlalu melengkung tajam.

Interpretasi Kontekstual dan Contoh Soal

Fungsi kuadrat bukan hanya rumus di kertas. Dia hidup dalam banyak model dunia nyata. Memahami sketsa grafiknya membantu kita menjawab pertanyaan praktis dengan lebih intuitif, seperti kapan suatu benda mencapai ketinggian maksimum atau kapan suatu proyek mulai untung.

Contoh Penerapan dalam Soal

Misalkan fungsi f(x) = (-1/2)x² + 8x – 25 memodelkan tinggi sebuah bola (dalam meter) terhadap waktu x (dalam detik) setelah ditendang. Pertanyaannya: Pada detik ke berapa bola mencapai ketinggian maksimum dan berapa ketinggiannya? Dan kapan bola kembali menyentuh tanah?

Dari analisis kita, jawabannya langsung terlihat dari titik puncak dan titik potong sumbu-x. Bola mencapai ketinggian maksimum 7 meter pada detik ke-8. Bola menyentuh tanah (ketinggian 0 meter) pada dua waktu: sekitar detik ke-4.26 (saat naik? ini tidak mungkin, harusnya saat turun. Perhitungan akar menunjukkan dua nilai positif, 4.26 dan 11.74.

Dalam konteks waktu, x=4.26 adalah saat bola melintasi ketinggian 0 saat naik? Ini mengindikasikan mungkin bola ditendang dari ketinggian negatif? Cek f(0) = -25. Artinya, pada x=0 (waktu mulai), bola sudah berada di ketinggian -25m? Ini tidak realistis untuk bola ditendang dari tanah.

Interpretasi konteks perlu disesuaikan. Mungkin fungsi ini lebih cocok untuk model keuntungan, di mana x=0 adalah modal awal negatif (rugi)).

Interpretasi Titik Puncak dalam Konteks Nyata

Dalam konteks bisnis, jika f(x) melambangkan keuntungan (dalam juta rupiah) dan x adalah jumlah barang yang diproduksi (dalam ribu unit), maka titik puncak (8, 7) memberi informasi vital. Artinya, keuntungan maksimum sebesar 7 juta rupiah dicapai ketika memproduksi 8 ribu unit barang. Memproduksi lebih atau kurang dari jumlah itu justru akan mengurangi keuntungan.

Tabel Nilai di Sekitar Titik Puncak

Tabel berikut menunjukkan bagaimana nilai fungsi berubah di sekitar titik puncak, memperjelas bahwa (8,7) benar-benar adalah nilai tertinggi.

Manfaat Sketsa Grafik dalam Pemecahan Masalah

Sketsa grafik berfungsi sebagai peta visual. Dengan melihatnya, kita langsung tahu rentang produksi yang menguntungkan (antara dua titik potong sumbu-x), kapan keuntungan mulai berkurang (setelah melewati titik puncak), dan kondisi awal usaha (titik potong sumbu-y yang negatif bisa diinterpretasikan sebagai modal atau kerugian awal). Sketsa mengubah data numerik menjadi cerita yang mudah dipahami, membuat pengambilan keputusan menjadi lebih berbasis bukti dan intuitif.

Ulasan Penutup

Jadi, begitulah kisah dari f(x) = (-1/2)x^2 + 8x –
25. Dari sebuah rumus yang diam, kita telah menghidupkannya menjadi sebuah sketsa parabola yang punya karakter: membuka ke bawah, dengan puncak di (8, 7), dan memotong sumbu-y di (0, -25). Sketsa ini bukan akhir, melainkan peta visual yang memudahkan kita untuk menjawab berbagai pertanyaan lanjutan, mulai dari nilai maksimum hingga penerapan dalam soal cerita.

Selamat, kamu sekarang sudah punya gambaran utuh. Tinggal praktikkan di buku gambarmu!

FAQ dan Informasi Bermanfaat: Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat F(x) = (-1/2)x^2 + 8x – 25 Adalah

Apakah fungsi ini pasti memotong sumbu-x?

Tidak selalu. Untuk memastikannya, kita hitung diskriminannya (D = b²
-4ac). Jika D > 0, grafik memotong sumbu-x di dua titik. Jika D = 0, menyinggung sumbu-x. Jika D < 0, tidak memotong sama sekali. Untuk fungsi ini, D=14 (positif), jadi ia memotong sumbu-x di dua titik.

Mengapa koefisien a = -1/2 disebut negatif dan apa dampaknya?

Tanda negatif pada koefisien kuadrat (a) menentukan arah pembukaan parabola. Karena a = -1/2 bernilai negatif, parabola terbuka ke bawah. Ini berarti fungsi memiliki nilai maksimum, bukan minimum, yang terletak di titik puncaknya.

Bagaimana jika saya hanya ingin sketsa kasar tanpa hitungan detail?

Untuk sketsa sangat kasar, cukup tentukan arah bukaan (dari tanda a) dan cari titik potong sumbu-y (nilai c). Namun, sketsa akan kurang akurat tanpa titik puncak. Minimal, cari titik puncak dengan rumus x = -b/2a untuk mendapatkan gambaran bentuk yang lebih tepat.

Apakah sketsa ini bisa digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan?

Sangat bisa! Sketsa grafik adalah alat visual yang powerful untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat. Dengan melihat di interval x mana grafik berada di atas atau di bawah sumbu-x, kita dapat menentukan himpunan penyelesaiannya dengan lebih intuitif.