Misalkan, m dan n adalah bilangan positif yang memenuhi 1/m + 1/n = 4/7. Berapakah nilai m^2 + n^2? Soal ini mungkin terlihat seperti teka-teki aljabar yang bikin pusing, tapi percayalah, di balik angka dan huruf itu ada pola menawan yang bisa kita urai bareng-bareng. Kita akan menyelami persamaan ini bukan dengan cara yang kaku, melainkan seperti mengikuti alur cerita detektif yang mencari pasangan angka sempurna.
Persoalan ini mengajak kita bermain dengan pecahan dan bilangan bulat. Tantangannya adalah menemukan duo m dan n yang positif, sehingga ketika kita jumlahkan kebalikannya, hasilnya tepat 4/7. Dari sini, petualangan logika dimulai. Kita akan menyederhanakan persamaan, menguji nilai-nilai yang mungkin, dan akhirnya menemukan jawaban yang memuaskan untuk m² + n². Ayo kita telusuri langkah demi langkah.
Memahami Persamaan Dasar
Source: gauthmath.com
Kita mulai dari persamaan yang diberikan: satu per m ditambah satu per n sama dengan empat per tujuh. Langkah pertama yang paling alami adalah menyatukan pecahan di sisi kiri. Dengan mencari penyebut bersama, yaitu m dikali n, kita peroleh bentuk (n + m) / (mn) = 4/7. Dari sini, kita bisa melakukan perkalian silang untuk menghilangkan bentuk pecahan, sehingga persamaannya menjadi 7(n + m) = 4mn.
Syarat bahwa m dan n adalah bilangan positif membawa implikasi penting. Ini berarti kedua nilai harus lebih besar dari nol, dan penyelesaian yang kita cari harus berupa bilangan bulat positif. Dari persamaan 7(n + m) = 4mn, kita bisa mengatur ulang untuk menyatakan salah satu variabel dalam variabel lainnya. Misalnya, kita isolasi m. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: 7n + 7m = 4mn, lalu pindahkan semua suku yang mengandung m ke satu sisi: 7n = 4mn – 7m = m(4n – 7).
Akhirnya, kita peroleh hubungan yang sangat berguna:
m = (7n) / (4n – 7)
Bentuk ini menjadi kunci untuk mencari pasangan bilangan bulat, karena m harus berupa bilangan bulat positif. Itu artinya, penyebut (4n – 7) harus membagi pembilang 7n secara bulat.
Soal matematika yang satu ini memang bikin mikir, ya? Kalau ada bilangan positif m dan n yang memenuhi 1/m + 1/n = 4/7, tantangannya adalah mencari nilai m² + n². Nah, sebelum kita bahas lebih dalam, coba tengok dulu soal himpunan yang seru ini tentang Jika A = 1, 2, 5, 10, B = 1, 3, 5, dan C = 1, 2, 3, 4, maka (A – B) n (A – C) adalah.
Setelah paham logika himpunan, kita bisa kembali fokus untuk mengurai persamaan awal tadi dan menemukan jawaban pasti untuk m² + n².
Mencari Pasangan Bilangan Bulat Positif
Dari rumus m = (7n)/(4n – 7), kita analisis batasan untuk n. Agar m positif, penyebut (4n – 7) juga harus positif. Ini mengarah pada ketidaksetaraan 4n – 7 > 0, atau n > 7/4. Karena n bilangan bulat positif, maka nilai minimal n adalah 2. Namun, kita juga harus memastikan bahwa hasil pembagian tersebut menghasilkan bilangan bulat.
Pencarian dilakukan dengan mencoba nilai-nilai n yang memungkinkan. Tabel berikut mencatat percobaan untuk beberapa nilai n awal hingga ditemukan pola dan batasannya.
| Nilai n | 4n – 7 | m = 7n / (4n-7) | Status m |
|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 14 | Bulat Positif |
| 3 | 5 | 21/5 = 4.2 | Bukan Bulat |
| 4 | 9 | 28/9 ≈ 3.11 | Bukan Bulat |
| 5 | 13 | 35/13 ≈ 2.69 | Bukan Bulat |
| 6 | 17 | 42/17 ≈ 2.47 | Bukan Bulat |
| 7 | 21 | 49/21 = 7/3 ≈ 2.33 | Bukan Bulat |
| 8 | 25 | 56/25 = 2.24 | Bukan Bulat |
| 9 | 29 | 63/29 ≈ 2.17 | Bukan Bulat |
| 10 | 33 | 70/33 ≈ 2.12 | Bukan Bulat |
| 11 | 37 | 77/37 ≈ 2.08 | Bukan Bulat |
| 12 | 41 | 84/41 ≈ 2.05 | Bukan Bulat |
| 13 | 45 | 91/45 ≈ 2.02 | Bukan Bulat |
| 14 | 49 | 98/49 = 2 | Bulat Positif |
Dari tabel, terlihat hanya ada dua nilai n yang menghasilkan m bulat positif, yaitu n=2 dan n=
14. Jika n terus membesar, nilai m akan mendekati 7/4 = 1.75 dari atas, tetapi karena m harus bulat dan lebih besar dari 1.75, satu-satunya kemungkinan adalah m=
2. Inilah yang terjadi saat n=
14. Pencarian bisa dihentikan setelah m mencapai nilai bulat terkecil berikutnya, yaitu
2.
Dengan demikian, pasangan solusi yang mungkin jumlahnya terbatas, hanya dua pasangan: (m, n) = (14, 2) dan (m, n) = (2, 14).
Strategi Penyelesaian dan Verifikasi
Proses substitusi dari nilai n yang valid langsung memberikan m. Untuk n = 2, perhitungannya adalah m = (7*2) / (4*2 – 7) = 14 / 1 = 14. Untuk n = 14, perhitungannya adalah m = (7*14) / (4*14 – 7) = 98 / (56 – 7) = 98 / 49 = 2. Kedua solusi ini simetris, yang mencerminkan sifat asli persamaan 1/m + 1/n yang simetris terhadap m dan n.
Verifikasi bahwa pasangan (2, 14) memenuhi persamaan awal adalah langkah penting untuk memastikan kebenaran. Prosedur verifikasinya adalah sebagai berikut:
Hitung 1/m + 1/n untuk m=2 dan n=14:
/2 + 1/14 = 7/14 + 1/14 = 8/14 = 4/7.
Hasilnya tepat 4/7, membuktikan bahwa pasangan (2,14) adalah solusi yang valid. Verifikasi serupa untuk pasangan (14,2) akan memberikan hasil yang sama karena sifat komutatif penjumlahan.
Menghitung Nilai Akhir m² + n²
Setelah menemukan pasangan solusi, langkah terakhir adalah menghitung jumlah kuadratnya. Mari kita hitung untuk kedua pasangan yang simetris ini.
- Untuk (m, n) = (14, 2): m² + n² = 14² + 2² = 196 + 4 = 200.
- Untuk (m, n) = (2, 14): m² + n² = 2² + 14² = 4 + 196 = 200.
Meskipun terdapat dua pasangan solusi yang berbeda, nilai dari m² + n² ternyata identik, yaitu 200. Hal ini terjadi karena operasi penjumlahan kuadrat bersifat komutatif; menukar nilai m dan n tidak mengubah hasil akhir penjumlahan kuadratnya. Oleh karena itu, soal ini hanya memiliki satu jawaban akhir yang mungkin, yaitu 200, terlepas dari urutan pasangan bilangan tersebut.
Eksplorasi Variasi Soal Serupa: Misalkan, M Dan N Adalah Bilangan Positif Yang Memenuhi 1/m + 1/n = 4/7. Berapakah Nilai M^2 + N^2?
Pola penyelesaian ini dapat diterapkan pada bentuk persamaan serupa. Sebagai contoh, misalkan diberikan soal latihan: “Jika a dan b bilangan bulat positif dengan 1/a + 1/b = 2/5, tentukan nilai a² + b².” Pendekatan umumnya tetap sama: sederhanakan menjadi a = (5b)/(2b – 5), lalu cari nilai b yang membuat hasilnya bulat positif.
Secara umum, untuk persamaan bentuk 1/a + 1/b = k/c, dengan a, b, c, k bilangan bulat, kita dapat memanipulasi menjadi a = (c
– b) / (k
– b – c). Tantangannya adalah menemukan semua pembagi bilangan bulat yang membuat ekspresi tersebut menjadi bilangan bulat positif. Ini berkaitan erat dengan teori bilangan sederhana tentang pembagian.
Dari sudut pandang konseptual, persamaan 1/x + 1/y = konstanta (seperti 4/7) menggambarkan sebuah kurva pada bidang koordinat xy. Kurva ini bukan garis lurus, melainkan berbentuk hiperbola. Titik-titik pada kurva ini yang koordinatnya (x, y) merupakan bilangan bulat positif merepresentasikan solusi dari masalah kita. Pencarian yang kita lakukan secara sistematis pada tabel sebenarnya adalah mencari titik-titik koordinat bilangan bulat yang terletak pada hiperbola tersebut.
Nah, soal tentang mencari nilai m² + n² dari 1/m + 1/n = 4/7 itu seru banget, kan? Butuh trik aljabar yang jitu, mirip kayak kita lagi menyusun persamaan kuadrat dari akar-akarnya. Misalnya, kalau kamu penasaran gimana caranya membentuk persamaan dari akar seperti (5 – √3) dan (5 + √3), kamu bisa intip caranya Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya: (5 – akar(3)) dan (5 + akar(3)).
Nah, konsep manipulasi aljabar seperti penjumlahan dan perkalian akar itu bisa banget kamu terapkan balik ke soal m dan n tadi untuk menemukan solusi yang elegan.
Ilustrasi visualnya akan menunjukkan sebuah kurva yang mendekati garis asimtot di x = 7/4 dan y = 7/4, dengan hanya beberapa titik berkoordinat bulat yang jatuh tepat di atasnya, seperti (2, 14) dan (14, 2).
Penutupan Akhir
Jadi, setelah melalui proses penyaringan dan perhitungan, kita sampai pada kesimpulan yang elegan. Nilai dari m² + n² ternyata tunggal dan pasti. Proses ini mengajarkan bahwa terkadang, soal yang terlihat rumit justru punya solusi yang rapi dan indah. Selalu ada kepuasan tersendiri ketika berhasil memecahkan teka-teki matematika seperti ini, bukan? Nah, sekarang kamu sudah punya satu senjata baru untuk menghadapi soal-soal serupa.
Coba terapkan logika yang sama, dan lihat keajaiban aljabar bekerja.
Panduan Pertanyaan dan Jawaban
Apakah mungkin ada lebih dari satu pasangan (m, n) yang memenuhi persamaan?
Ya, secara teori persamaan bisa memiliki banyak solusi dalam bilangan real. Namun, karena soal membatasi m dan n sebagai bilangan positif (yang dalam konteks ini biasanya mengarah ke bilangan bulat), setelah diuji hanya ada satu pasangan bilangan bulat positif yang memenuhi.
Mengapa penyebut diubah menjadi bentuk m = (7n)/(4n – 7)?
Penyederhanaan itu dilakukan untuk mengungkap hubungan eksplisit antara m dan n. Dengan bentuk tersebut, kita bisa dengan mudah menguji nilai n mana yang menghasilkan m berupa bilangan bulat positif, yang lebih praktis daripada menebak-nebak secara acak.
Bagaimana jika m dan n tidak harus bilangan bulat?
Jika m dan n boleh bilangan real positif apa pun, maka akan ada tak terhingga banyaknya pasangan solusi. Misalnya, Anda bisa memilih sembarang n > 7/4, lalu hitung m menggunakan rumus m = (7n)/(4n-7), dan semua pasangan itu akan memenuhi persamaan awal.
Apakah soal ini bisa diselesaikan dengan mencoba-coba (trial and error) saja?
Bisa, tetapi akan kurang efisien dan berisiko melewatkan solusi. Dengan pendekatan aljabar sistematis seperti yang dijelaskan, kita bisa memastikan semua kemungkinan telah diperiksa dan mendapatkan solusi yang valid dengan lebih meyakinkan.
