Suku ke-I 0 dari barisan: 3 , 8, 15, 24, 35, adalah – Suku ke-10 dari barisan: 3, 8, 15, 24, 35, adalah teka-teki angka yang menarik untuk dipecahkan. Barisan ini bukan sekadar deret acak, melainkan sebuah pola tersembunyi yang punya cerita sendiri. Kalau kita jeli, ada irama matematika yang rapi di balik angka-angka itu, dan menemukan rumusnya ibarat mendapatkan kunci untuk membuka semua rahasia suku-sukunya, dari yang pertama sampai yang ke-sekian puluh.
Mari kita telusuri bersama pola dari barisan 3, 8, 15, 24, 35 ini. Dengan mengamati selisih dan hubungannya dengan bilangan kuadrat, kita akan sampai pada sebuah rumus elegan. Rumus itu nantinya bukan cuma bisa menjawab berapa suku ke-10, tapi juga bisa dipakai untuk menghitung suku ke-100, ke-1000, atau bahkan suku mana pun yang kita inginkan dengan cepat dan tepat.
Memahami Pola Barisan Bilangan
Mari kita mulai dengan mengamati barisan yang diberikan: 3, 8, 15, 24,
35. Mata kita mungkin langsung menangkap bahwa angkanya semakin besar dengan selisih yang tidak tetap. Kunci untuk menguasai pola seperti ini adalah dengan melakukan pengamatan sistematis. Langkah pertama yang sering dilakukan adalah melihat selisih antar sukunya. Dari 3 ke 8, selisihnya
5.
Dari 8 ke 15, selisihnya
7. Dari 15 ke 24, selisihnya 9, dan dari 24 ke 35, selisihnya
11. Sekarang, lihatlah deretan selisihnya: 5, 7, 9, 11. Ini adalah deretan bilangan ganjil berurutan yang dimulai dari 5. Pola selisih yang bertambah teratur ini adalah petunjuk kuat bahwa barisan aslinya mungkin berkaitan dengan bentuk kuadrat atau polinomial.
Untuk memvisualisasikan hubungan ini dengan lebih jelas, mari kita susun dalam sebuah tabel. Tabel ini akan membantu kita melihat hubungan langsung antara posisi suku, nilainya, selisih, dan pola kuadrat yang mendasarinya.
| Suku ke-n (n) | Nilai Suku (Un) | Selisih | Pola Kuadrat yang Terkait |
|---|---|---|---|
| 1 | 3 | – | 1 x 3 = 3 |
| 2 | 8 | 5 | 2 x 4 = 8 |
| 3 | 15 | 7 | 3 x 5 = 15 |
| 4 | 24 | 9 | 4 x 6 = 24 |
| 5 | 35 | 11 | 5 x 7 = 35 |
Dari kolom terakhir, sebuah pola yang elegan terungkap. Setiap suku ternyata adalah hasil perkalian dari bilangan bulat n dengan bilangan bulat berikutnya, yaitu ( n+2). Atau, dengan kata lain, setiap suku adalah satu kurang dari bilangan kuadrat sempurna. Perhatikan: 3 = 4 – 1 (4 adalah 2 2), 8 = 9 – 1 (9 adalah 3 2), 15 = 16 – 1 (16 adalah 4 2), dan seterusnya.
Secara umum, pola ini dapat kita ekspresikan sebagai Un = (n+1) 2
-1 . Coba kita uji: untuk n=1, (1+1) 2-1 = 4-1=3. Untuk n=2, (2+1) 2-1=9-1=8. Cocok.
Menurunkan Rumus Umum Suku ke-n, Suku ke-I 0 dari barisan: 3 , 8, 15, 24, 35, adalah
Ada dua jalan utama untuk sampai pada rumus umum yang rapi. Pendekatan pertama adalah melalui pengamatan pola kuadrat seperti yang sudah kita lakukan, yang langsung menghasilkan U n = (n+1) 2
–
1. Pendekatan kedua, yang lebih sistematis untuk pola yang lebih rumit, adalah melalui analisis selisih berjenjang. Karena selisih tingkat pertama (5,7,9,11) masih membentuk barisan linear, maka barisan asal kita adalah barisan kuadrat.
Bentuk umumnya adalah U n = An 2 + Bn + C. Dengan memasukkan nilai n=1,2,3 dan U n=3,8,15, kita akan mendapatkan sistem persamaan yang akhirnya menghasilkan A=1, B=2, C=
0. Jadi, U n = n 2 + 2n. Ternyata, rumus ini setara dengan rumus pertama kita: n 2 + 2n = (n 2 + 2n + 1)
-1 = (n+1) 2
-1.
Contoh perhitungan manual menggunakan rumus Un = n 2 + 2n:
Untuk n=1
1 2 + 2*1 = 1 + 2 = 3.
Untuk n=2
Kalau kita lihat pola barisan 3, 8, 15, 24, 35, suku ke-10-nya bisa kita temukan dengan rumus tertentu. Nah, konsep fungsi lantai atau floor function, kayak yang dijelaskan di Didefinisikan a = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan a. Sebagai contoh, 2 = 2; 3/4 = 0; 5/4 = 1. Jika x = 7, maka nilai , sering banget muncul dalam soal pola bilangan juga.
Jadi, setelah paham konsep itu, kita bisa lebih mudah menelusuri dan menemukan bahwa suku ke-10 dari barisan tadi adalah 120.
2 2 + 2*2 = 4 + 4 = 8.
Untuk n=3
3 2 + 2*3 = 9 + 6 = 15.
Untuk n=4
4 2 + 2*4 = 16 + 8 = 24.
Untuk n=5
5 2 + 2*5 = 25 + 10 = 35.
Ilustrasi visual dari barisan ini bisa dibayangkan sebagai susunan titik yang membentuk persegi panjang. Misalnya, suku ke-3 (15) dapat divisualisasikan sebagai susunan 3 baris dan 5 kolom titik, membentuk persegi panjang berukuran 3 x 5. Atau, bisa juga dibayangkan sebagai sebuah persegi sempurna (misal 4×4 untuk n=3 yang menghasilkan 16) yang kemudian satu titik di sudutnya dihilangkan, sehingga tersisa 15 titik.
Gambaran ini memperkuat pemahaman bahwa pola ini hidup dan nyata dalam struktur geometris.
Menghitung Suku ke-i dan Penerapannya
Setelah rumus umum kita pegang, menghitung suku ke-i, berapa pun nilai i-nya, menjadi pekerjaan yang sangat sederhana. Mari kita ambil contoh konkret: mencari suku ke-10 dari barisan ini. Kita tinggal mengganti variabel n dalam rumus dengan angka 10. Keindahan matematika ada di sini, di mana sebuah pola yang terlihat terbatas bisa kita kembangkan hingga tak terhingga.
Berikut adalah daftar 10 suku pertama barisan ini, yang dihitung menggunakan rumus U n = n(n+2):
- Suku ke-1: 1 × 3 = 3
- Suku ke-2: 2 × 4 = 8
- Suku ke-3: 3 × 5 = 15
- Suku ke-4: 4 × 6 = 24
- Suku ke-5: 5 × 7 = 35
- Suku ke-6: 6 × 8 = 48
- Suku ke-7: 7 × 9 = 63
- Suku ke-8: 8 × 10 = 80
- Suku ke-9: 9 × 11 = 99
- Suku ke-10: 10 × 12 = 120
Verifikasi perhitungan suku ke-10 bisa dilakukan dengan dua cara. Pertama, kita lanjutkan pola selisih dari suku ke-5: 35 (+13)=48, 48(+15)=63, 63(+17)=80, 80(+19)=99, 99(+21)=
120. Benar, selisihnya selalu bertambah
2. Kedua, gunakan rumus alternatif: (10+1) 2
-1 = 121 – 1 =
120. Hasilnya sama.
Kekuatan rumus ini benar-benar terasa ketika kita ingin menghitung suku yang sangat besar, seperti suku ke-
100. Tanpa perlu menulis 100 bilangan, kita langsung hitung: U 100 = 100 × 102 = 10.200, atau (101) 2
-1 = 10.201 – 1 = 10.200.
Aplikasi dan Variasi Pola Serupa
Pola “satu kurang dari kuadrat” atau “perkalian dua bilangan berurutan dengan selisih tetap” ini bukanlah pola yang mengawang-awang. Ia muncul dalam berbagai konteks. Contohnya dalam arsitektur: jumlah balok untuk membentuk susunan berundak. Dalam matematika itu sendiri, barisan ini sangat dekat dengan barisan bilangan persegi panjang (oblong), yaitu n(n+1). Barisan kita adalah n(n+2), yang bisa dilihat sebagai versi “lebih renggang” dari bilangan oblong.
Perbedaannya terletak pada faktor kedua: (n+1) pada oblong dan (n+2) pada barisan kita. Persamaannya, keduanya sama-sama berbentuk polinomial kuadrat dengan selisih berjenjang konstan di tingkat kedua.
Berikut tabel perbandingan beberapa barisan kuadrat sederhana:
| Nama Barisan | Rumus Suku ke-n | Suku Pertama (U1) | Suku Kelima (U5) | Karakteristik Khusus |
|---|---|---|---|---|
| Bilangan Kuadrat | n2 | 1 | 25 | Bentuk persegi sempurna |
| Bilangan Oblong | n(n+1) | 2 | 30 | Bentuk persegi panjang dengan sisi berurutan |
| Barisan Kita | n(n+2) | 3 | 35 | Satu kurang dari kuadrat (n+1)2 |
| Bilangan Ganjil | 2n-1 | 1 | 9 | Selisih tetap 2, merupakan “bahan baku” selisih barisan kita |
Sebuah masalah cerita: Sebuah perusahaan memproduksi meja. Untuk merakit meja ke-1 dibutuhkan 3 baut, meja ke-2 butuh 8 baut, meja ke-3 butuh 15 baut, dan seterusnya mengikuti pola yang sama. Jika pesanan adalah 10 meja, berapa total baut yang dibutuhkan untuk meja ke-1 hingga meja ke-10?Penyelesaian: Kita sudah tahu suku ke-10 adalah Total baut adalah jumlah dari suku ke-1 hingga suku ke-
10. Kita bisa hitung dengan rumus jumlah deret atau dijumlahkan manual
3+8+15+24+35+48+63+80+99+120 = 495 baut.
Mengasah Kemampuan dengan Latihan
Memahami rumus saja belum cukup; kita perlu melatihnya dalam berbagai skenario. Latihan membantu kita untuk tidak hanya mengingat, tetapi juga mengaitkan konsep dan menerapkannya dalam situasi baru. Soal-soal berikut dirancang bertingkat, mulai dari yang langsung menerapkan rumus hingga yang membutuhkan analisis lebih mendalam.
- Level Dasar: Tentukan suku ke-15 dan suku ke-20 dari barisan 3, 8, 15, 24, 35, …
- Level Menengah: Tanpa menghitung semua suku sebelumnya, tentukan suku pertama dalam barisan ini yang nilainya melebihi 500.
- Level Kreatif: Rancanglah barisan baru yang setiap sukunya adalah suku barisan kita ditambah 5. Tentukan rumus umum dan 5 suku pertama barisan baru tersebut.
- Level Analitis: Apakah bilangan 168 merupakan bagian dari barisan ini? Jika iya, pada suku ke berapa? Jika tidak, jelaskan alasannya.
Mari kita bahas prosedur untuk soal level menengah: mencari suku pertama yang >
500. Kita selesaikan pertidaksamaan n(n+2) >
500. n 2 + 2n – 500 >
0. Kita cari akar-akar dari n 2 + 2n – 500 = 0 dengan rumus kuadrat. Hasilnya kira-kira n ≈ 21.9 dan n ≈ -23.9 (abaikan yang negatif).
Karena n bilangan bulat, kita coba n=22: 22*24=528 (lebih dari 500). Coba n=21: 21*23=483 (kurang dari 500). Jadi, suku yang dimaksud adalah suku ke-22 dengan nilai 528.
Untuk merancang variasi, misal barisan baru V n = U n + 5 = n(n+2) + 5 = n 2 + 2n +
5. Lima suku pertamanya: 8, 13, 20, 29, 40. Strategi memeriksa keanggotaan suatu bilangan, misal 168, adalah dengan menyelesaikan persamaan n(n+2) = 168 → n 2+2n-168=0 → (n+14)(n-12)=0. Diperoleh n=12 (dan n=-14). Karena n positif, maka 168 adalah suku ke-12 dari barisan ini.
Jika penyelesaiannya bukan bilangan bulat positif, maka bilangan tersebut bukan anggota barisan.
Kesimpulan
Jadi, setelah mengurai pola dan menurunkan rumus, kita sampai pada kesimpulan yang memuaskan. Barisan ini mengajarkan bahwa matematika seringkali adalah permainan pengamatan yang cermat. Kemampuan untuk melihat pola dalam sekumpulan angka ternyata adalah skill yang berguna, bukan cuma untuk mengerjakan soal tapi juga untuk melatih logika dalam menghadapi masalah sehari-hari. Selamat sudah berhasil memecahkan kodenya!
Panduan Tanya Jawab: Suku Ke-I 0 Dari Barisan: 3 , 8, 15, 24, 35, Adalah
Apakah barisan ini termasuk barisan aritmatika atau geometri?
Bukan. Barisan ini bukan aritmatika (karena selisih antar suku tidak tetap) dan juga bukan geometri (karena rasio antar suku tidak tetap). Ini adalah contoh barisan kuadratik atau barisan polinomial berderajat dua.
Bagaimana cara cepat mengetahui pola barisan hanya dengan melihat?
Coba kurangi setiap suku dengan bilangan kuadrat sempurna yang terdekat. Misal, 3 dekat dengan 4 (2²), 8 dekat dengan 9 (3²), 15 dekat dengan 16 (4²). Ternyata suku-suku itu selalu 1 kurang dari kuadrat bilangan, yaitu 3 = 2²
-1, 8 = 3²
-1, dan seterusnya. Pola ini adalah petunjuk utama.
Nah, barisan 3, 8, 15, 24, 35 itu punya pola keren yang bikin penasaran buat cari suku ke-10-nya. Tapi, sebelum kita serius ngulik rumusnya, coba deh perhatikan soal lain yang seru: menghitung Luas bangun datar yang terbentuk dari titik-titik A(1, 1), B(3, 1), C(2, -2), dan D(-2, -2) yang dihubungkan adalah. Konsep geometri itu nantinya bisa bantu kita melihat pola dengan cara yang berbeda, lho.
Jadi, setelah paham luas bangun datar, kita bisa balik lagi ke barisan tadi dengan perspektif yang lebih fresh untuk nemuin jawabannya.
Apakah rumus yang ditemukan bisa dipakai untuk suku ke-nol atau suku negatif?
Secara matematis, rumus aljabar seperti Un = n(n+2) bisa dihitung untuk n bilangan bulat apa pun, termasuk nol atau negatif. Namun, interpretasi “suku ke-nol” atau “suku negatif” dalam konteks urutan barisan biasanya tidak memiliki makna dalam soal cerita kehidupan nyata.
Adakah aplikasi nyata dari pola barisan seperti ini?
Ada. Pola serupa sering muncul dalam perhitungan jumlah titik dalam pola grid/persegi panjang, penyusunan objek berbentuk L, atau dalam analisis selisih pertumbuhan kuadratik seperti pada proyeksi tertentu di bidang ekonomi dan ilmu komputer.
