Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 1/3 dan 4 langkah mudah

Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 1/3 dan 4—ini mungkin terdengar seperti teka-teki aljabar yang bikin pusing, tapi percayalah, sebenarnya ini lebih sederhana dari yang kamu kira. Kita cuma perlu main dengan dua konsep kunci: jumlah dan hasil kali akar. Bayangkan kedua akar itu sebagai karakter utama dalam sebuah cerita, dan tugas kita adalah merekonstruksi alur cerita (persamaannya) dari akhir yang sudah diketahui.

Bikin persamaan kuadrat dari akar 1/3 dan 4 itu gampang, tinggal pakai rumus jumlah dan hasil kali akar. Nah, soal-soal manipulasi akar seperti ini sering muncul, contohnya kayak di soal Akar-akar persamaan x^2 – 3x + 6 = 0 adalah x1 dan x2. Tentukan nilai dari: a. x1^2 + x2^2 b. x1^3 + x2^3 c.

x1x2^2 +x1^2 x2 d. 1/x1^2 + 1/x22 yang bikin logika matematikamu makin terasah. Setelah paham konsep itu, baru deh kita olah akar 1/3 dan 4 jadi persamaan kuadrat yang elegan, yaitu 3x² – 13x + 4 = 0.

Seru, kan? Mari kita buktikan bahwa matematika bisa jadi teman yang asyik, bukan monster menyeramkan.

Pada dasarnya, setiap persamaan kuadrat punya hubungan mesra dengan akar-akarnya. Jika kita tahu dua angka yang menjadi solusinya, kita bisa menyusun ulang persamaan asalnya dengan rapi. Untuk akar 1/3 dan 4, kita akan hitung dulu berapa jumlah keduanya dan berapa hasil kalinya. Dari sana, rumus ajaib x² – (jumlah akar)x + (hasil kali akar) = 0 akan langsung membawa kita ke jawabannya.

Tenang, kita akan jalani proses ini step-by-step, termasuk mengusir si pecahan 1/3 agar dapat koefisien bilangan bulat yang lebih bersih.

Mengenal Hubungan Akar dan Persamaan Kuadrat

Bayangkan persamaan kuadrat itu seperti sebuah resep rahasia untuk membuat kue. Akar-akarnya adalah rasa utama yang kita inginkan, misalnya cokelat dan keju. Nah, tugas kita adalah merekonstruksi resepnya hanya berdasarkan tahu bahwa rasa akhirnya adalah cokelat dan keju. Dalam matematika, jika kita tahu akar-akarnya adalah x₁ dan x₂, maka kita bisa langsung menulis persamaan dalam bentuk faktor: (x – x₁)(x – x₂) = 0.

Ini adalah kunci utamanya. Ketika kita menjabarkan bentuk faktor tersebut, kita akan sampai ke bentuk umum persamaan kuadrat, yaitu ax² + bx + c = 0, di mana a, b, dan c adalah konstanta.

Dari hubungan ini, muncul dua rumus sakti yang sangat memudahkan kita: rumus jumlah dan hasil kali akar. Untuk persamaan ax² + bx + c = 0 dengan a ≠ 0, jumlah akar-akarnya (x₁ + x₂) sama dengan -b/a, sedangkan hasil kalinya (x₁
– x₂) sama dengan c/a. Dua rumus ini adalah senjata ampuh untuk menyusun ulang persamaan kuadrat ketika kita hanya dikasih tahu tentang akar-akarnya, tanpa perlu repot-repot menjabarkan bentuk faktor secara manual.

Kita cukup hitung jumlah dan hasil kalinya, lalu susun persamaannya.

Prinsip Penyusunan Persamaan dari Akar yang Diketahui

Proses menyusun persamaan dari akar yang diketahui sebenarnya sangat sistematis. Misalnya, kita punya dua angka yang merupakan akar. Langkah pertama adalah menghitung jumlah dan hasil kali kedua angka tersebut. Angka-angka hasil perhitungan ini nantinya akan menjadi “jiwa” dari persamaan kuadrat kita. Setelah itu, kita masukkan ke dalam template persamaan berbasis jumlah dan hasil kali akar, yaitu x²
-(jumlah akar)x + (hasil kali akar) = 0.

Template ini berasal dari bentuk umum dengan a = 1, yang selalu bisa kita usahakan. Jika hasil perhitungan kita melibatkan pecahan, kita tinggal mengalikan seluruh persamaan dengan penyebutnya untuk mendapatkan koefisien bilangan bulat yang lebih rapi.

Menyusun Persamaan Kuadrat untuk Akar 1/3 dan 4

Sekarang, mari kita praktekkan ilmu tadi dengan kasus konkret: menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah 1/3 dan 4. Kedua angka ini, satu pecahan dan satu bilangan bulat, mewakili tipe soal yang sering muncul. Kita akan mengerjakannya dengan dua cara berbeda untuk menunjukkan bahwa jalannya bisa beda, tapi finish line-nya sama. Cara pertama adalah menggunakan metode faktor langsung, sementara cara kedua memanfaatkan kemudahan rumus jumlah dan hasil kali akar.

Perbandingan ini akan memberi kita pemahaman yang lebih lentur dalam menyelesaikan soal.

Langkah Penyusunan dan Perbandingan Metode

Berikut adalah tabel yang membandingkan langkah-langkah dari tiga sudut pandang penyelesaian. Perhatikan bagaimana setiap metode bermuara pada persamaan yang sama.

Prosedur penyederhanaan dari bentuk pecahan ke bilangan bulat adalah langkah final yang penting. Setelah mendapatkan x²
-(13/3)x + (4/3) = 0, kita mengalikan setiap suku dengan penyebut terbesar, yaitu
3. Perkalian ini dilakukan untuk menghilangkan pecahan sehingga persamaan terlihat lebih bersih dan koefisiennya menjadi bilangan bulat: 3x²
-13x + 4 = 0.

Perkalian dengan bilangan bukan nol tidak mengubah akar-akar persamaan.

Memastikan Kebenaran Persamaan yang Telah Dibuat

Setelah mendapatkan persamaan 3x²
-13x + 4 = 0, kita tidak boleh langsung percaya diri. Dalam matematika, verifikasi adalah ritual wajib. Kita harus memastikan bahwa ketika angka 1/3 dan 4 kita masukkan (substitusi) ke dalam persamaan tersebut, hasilnya benar-benar nol. Proses ini seperti mencicipi kue yang sudah jadi, apakah rasa cokelat dan kejunya sudah pas sesuai yang kita rencanakan di resep.

Verifikasi yang teliti akan mengungkap kesalahan hitung kecil yang mungkin luput.

Prosedur Verifikasi Sistematis

Source: co.id

Berikut adalah langkah-langkah terstruktur untuk mengecek kebenaran persamaan kita:

• Ambil persamaan akhir dalam bentuk koefisien bilangan bulat: 3x²
  -13x + 4 = 0.
• Lakukan substitusi untuk akar pertama, x = 1/3. Hitung nilai 3*(1/3)²
  -13*(1/3) + 4. Jika hasilnya 0, maka akar pertama terverifikasi.
• Lakukan substitusi untuk akar kedua, x = 4. Hitung nilai 3*(4)²
  -13*(4) + 4. Jika hasilnya juga 0, maka akar kedua terverifikasi.
• Jika kedua substitusi menghasilkan nol, persamaan yang disusun adalah benar.

Perlu diingat bahwa persamaan kuadrat yang kita dapatkan, 3x²
-13x + 4 = 0, bukanlah satu-satunya bentuk yang valid. Setiap persamaan yang merupakan kelipatan dari persamaan ini memiliki akar yang sama. Misalnya, 6x²
-26x + 8 = 0 (dikalikan 2) atau 0.3x²
-1.3x + 0.4 = 0 (dikalikan 0.1). Namun, bentuk dengan koefisien bilangan bulat dan paling sederhana (FPB koefisien = 1) biasanya yang dianggap sebagai bentuk standar.

Memperluas Wawasan dengan Berbagai Tipe Akar

Dunia persamaan kuadrat tidak hanya dihuni oleh akar-akar pecahan sederhana dan bilangan bulat. Ada juga akar irasional seperti √2, akar imajiner seperti 2i, atau pecahan campuran. Kemampuan menyusun persamaan dari berbagai jenis akar ini menguji pemahaman konseptual kita. Prinsipnya tetap sama: hitung jumlah dan hasil kali, lalu susun. Hanya saja, kita perlu lebih hati-hati dalam manipulasi aljabar, terutama ketika berhadapan dengan bentuk akar atau bilangan kompleks.

Menyusun persamaan kuadrat dari akar 1/3 dan 4 itu seru, karena kita main-main dengan operasi jumlah dan hasil kali akar. Nah, sebelum ke sana, pastikan dulu skill aljabar dasarmu oke, kayak saat Sederhanakan bentuk perkalian bilangan berpangkat berikut: a. 7^3 x 7^2 b. (1/3)^6 x (1/9)^4 c. t x t^(-1).

Setelah paham menyederhanakan pangkat, balik lagi ke persamaan kuadrat, kamu akan lebih mudah mengolah bentuk-bentuk seperti (x – 1/3)(x – 4)=0 dan menyederhanakannya jadi persamaan yang elegan.

Contoh Soal Latihan dengan Variasi Akar, Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 1/3 dan 4

Berikut tiga contoh untuk mengasah keterampilan:

1. Akar Irasional: Susun persamaan kuadrat yang akar-akarnya 1+√3 dan 1-√

   3.
   Penyelesaian

   Jumlah akar = (1+√3)+(1-√3) = Hasil kali akar = (1+√3)(1-√3) = 1 – 3 = –

   • 2. Persamaannya

     x²

   • 2x – 2 = 0.
2. Akar Imajiner/Kompleks: Susun persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2i dan -2i.
   Penyelesaian: Jumlah akar = 2i + (-2i) = Hasil kali akar = (2i)*(-2i) = -4i² = -4*(-1) =

   • 4. Persamaannya

     x²

   • 0x + 4 = 0 → x² + 4 = 0.
3. Akar Pecahan Campuran: Susun persamaan kuadrat yang akar-akarnya 1½ (atau 3/2) dan -⅔.
   Penyelesaian: Jumlah akar = 3/2 + (-2/3) = 9/6 – 4/6 = 5/Hasil kali akar = (3/2)*(-2/3) = –

   • 1. Persamaannya

     x²

   • (5/6)x – 1 =

   0. Kalikan 6

   6x²

   • 5x – 6 = 0.

Tips Penting untuk Akar Pecahan: Saat menghitung jumlah akar yang melibatkan pecahan dengan penyebut berbeda, selalu cari KPK penyebutnya terlebih dahulu. Setelah mendapatkan persamaan dalam bentuk pecahan, kalikan dengan penyebut yang sesuai untuk membersihkan pecahan tersebut. Hasil akhir dengan koefisien bilangan bulat biasanya lebih disukai.

Ilustrasi grafis untuk persamaan 3x²
-13x + 4 = 0 menggambarkan sebuah parabola yang terbuka ke atas (karena koefisien x² positif). Kurva ini akan memotong sumbu X di dua titik, yaitu pada x = 1/3 (sekitar 0.33) dan x = 4. Bayangkan sumbu X sebagai sebuah garis horisontal. Titik 1/3 berada sangat dekat dengan nol di sisi positif, sedangkan titik 4 berada jauh di sebelah kanannya.

Parabola akan turun dari kiri, menyentuh titik minimum di suatu tempat antara kedua akar, lalu naik lagi ke kanan, membentuk lengkungan yang jelas memotong sumbu di dua lokasi tersebut.

Mengurai Metode dan Menghindari Jebakan Umum

Memilih antara metode faktor langsung dan metode rumus jumlah-hasil kali seringkali menjadi preferensi pribadi. Metode faktor seperti (x – 1/3)(x – 4) = 0 terasa lebih intuitif karena langsung terhubung dengan definisi akar. Namun, ketika akarnya berupa pecahan atau bentuk tidak sederhana, penjabarannya bisa sedikit lebih berantakan karena melibatkan operasi pada pecahan. Di sisi lain, metode rumus jumlah-hasil kali mungkin terlihat lebih “rumus”, tetapi seringkali lebih rapi secara komputasi karena kita bekerja dengan angka-angka hasil jumlah dan hasil kali secara terpisah sebelum menyusunnya.

Penjabaran Aljabar Lengkap dari Awal hingga Akhir

Mari kita runut proses aljabar untuk akar 1/3 dan 4 secara detail:

1. Identifikasi Akar: x₁ = 1/3, x₂ =
4.
2. Hitung Jumlah Akar: S = x₁ + x₂ = 1/3 + 4 = 1/3 + 12/3 = 13/
3.
3.

Hitung Hasil Kali Akar: P = x₁
– x₂ = (1/3)
– 4 = 4/
3.
4. Susun Persamaan Dasar: x²
-Sx + P = 0 → x²
-(13/3)x + (4/3) =
0.
5. Eliminasi Pecahan: Kalikan seluruh persamaan dengan 3 (penyebut terbesar): 3
– x²
-3*(13/3)x + 3*(4/3) = 3*0 → 3x²
-13x + 4 = 0.

Proses ini sistematis dan minim kesalahan jika dilakukan step-by-step.

Kesalahan Umum dan Strategi Pencegahannya

Beberapa kesalahan yang sering terjadi antara lain:

– Salah Tanda: Lupa bahwa rumusnya adalah x²
-(Jumlah Akar)x + (Hasil Kali Akar) = 0. Tanda minus di depan suku tengah sering terlewat. Ingat, itu adalah minus dari jumlah akar.

– Kesalahan Operasi Pecahan: Saat menjumlahkan akar seperti 1/3 dan 4, tidak menyamakan penyebut terlebih dahulu. Selalu ubah bilangan bulat menjadi pecahan dengan penyebut yang sama.

– Lupa Menyederhanakan: Berhenti pada bentuk yang masih mengandung pecahan seperti x²
-(13/3)x + (4/3) = 0 dan menganggapnya sebagai jawaban final. Meski secara matematis benar, bentuk dengan koefisien bilangan bulat (3x²
-13x + 4 = 0) lebih disarankan.

Cara menghindarinya adalah dengan bekerja secara rapi, menuliskan semua langkah perhitungan (terutama penyebut), dan selalu melakukan verifikasi substitusi di akhir pekerjaan.

Simpulan Akhir

Jadi, itulah tadi petualangan kecil kita menyusun persamaan dari akar 1/3 dan 4. Dari awal yang terlihat rumit, kita berhasil dapatkan bentuk akhir 3x² – 13x + 4 = 0. Proses ini menunjukkan bahwa matematika itu seperti puzzle; begitu tahu polanya, semuanya akan klik. Jangan lupa untuk selalu verifikasi dengan mensubstitusi akar-akar tadi ke persamaan hasilnya, biar benar-benar yakin tidak ada yang salah hitung.

Selamat, kamu sudah menguasai satu trik aljabar yang powerful!

Panduan FAQ: Susunlah Persamaan Kuadrat Yang Akar-akarnya 1/3 Dan 4

Apakah persamaan kuadrat yang akarnya 1/3 dan 4 hanya satu bentuk saja?

Tidak. Bentuk 3x² – 13x + 4 = 0 adalah bentuk sederhana dengan koefisien bilangan bulat. Persamaan lain seperti 6x² – 26x + 8 = 0 atau (3x-1)(x-4)=0 sebenarnya ekuivalen, hanya dikali dengan konstanta tertentu.

Bagaimana jika akar-akarnya pecahan kedua-duanya, misalnya 1/2 dan 2/3?

Metodenya sama: hitung jumlah dan hasil kali akar (perhatikan penyebut KPK). Untuk menghindari pecahan dalam persamaan akhir, kalikan seluruh persamaan dengan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari penyebut.

Bisakah langsung pakai rumus (x – x₁)(x – x₂) = 0 untuk akar pecahan?

Bisa, tapi akan melibatkan operasi pecahan. Misal, (x – 1/3)(x – 4)=0. Untuk menyederhanakan, kalikan kedua suku dengan 3 menjadi (3x – 1)(x – 4)=0, lalu jabarkan. Hasilnya akan sama dengan metode jumlah-hasil kali.

Apa arti grafis dari persamaan dengan akar 1/3 dan 4?

Grafik persamaan kuadratnya akan berbentuk parabola yang memotong sumbu-X di dua titik, yaitu di x = 1/3 (sekitar 0.33) dan x = 4. Karena koefisien x² positif (3), parabola tersebut terbuka ke atas.