Tentukan gradien dari garis-garis yang melalui titik berikut: (-7, 10) dan (-5, 4). Kalau kamu lagi iseng baca soal matematika kayak gini, jangan langsung kabur dulu! Ini sebenernya kunci buat ngerti banyak hal, dari bikin desain yang estetik sampe ngitung kemiringan tangga biar nggak licin. Anggep aja gradien itu juru bicara garis yang ngasih tahu seberapa curam atau landai dia berjalan di peta koordinat.
Nah, sebelum kita masuk ke angka-angka spesifik tadi, penting banget nangkep dulu konsep dasarnya. Gradien, atau sering disebut kemiringan, itu cuma perbandingan sederhana antara perubahan vertikal dan horizontal. Kalau nilainya positif, garisnya naik penuh semangat. Kalau negatif, dia turun layaknya semangat pas hari Senin. Kita bakal temuin jawaban dari soal itu dengan logika yang simpel dan perhitungan yang jelas.
Pengertian Dasar Gradien Garis Lurus
Bayangkan kamu sedang naik sepeda di jalan yang lurus. Ada jalan yang datar banget, ada yang menanjak pelan, dan ada juga yang turun curam. Nah, dalam matematika, khususnya di koordinat kartesius, konsep kemiringan jalan itu kita sebut dengan gradien atau sering juga disebut slope. Gradien adalah angka yang menunjukkan seberapa curam sebuah garis lurus, sekaligus arahnya—naik atau turun.
Visualisasinya begini. Garis dengan gradien positif itu seperti jalan menanjak dari kiri ke kanan. Semakin besar angka positifnya, semakin curam tanjakannya. Sebaliknya, gradien negatif itu ibarat jalan menurun dari kiri ke kanan; semakin kecil angka negatifnya (misalnya -5 dibanding -2), semakin curam turunannya. Kalau gradiennya nol, itu artinya garisnya benar-benar datar horizontal, seperti jalan lurus tanpa tanjakan atau turunan.
Ada juga kasus khusus, yaitu gradien yang tak terdefinisi. Ini terjadi ketika garisnya vertikal tegak lurus, seperti tebing yang mustahil didaki sepeda. Garis vertikal ini sangat curam hingga kemiringannya tidak bisa diukur dengan angka biasa.
Rumus dan Metode Perhitungan Gradien, Tentukan gradien dari garis-garis yang melalui titik berikut: (-7, 10) dan (-5, 4)
Nah, untuk menghitung kemiringan itu secara matematis, kita punya senjata andalan: rumus gradien dari dua titik. Kalau kamu punya dua titik di sebuah garis, katakanlah titik A dengan koordinat (x 1, y 1) dan titik B (x 2, y 2), maka gradien (biasa disimbolkan ‘m’) dihitung dengan rumus berikut:
m = (y2
- y 1) / (x 2
- x 1)
Intinya, kita hitung selisih nilai sumbu-y, lalu bagi dengan selisih nilai sumbu-x. Urutannya harus konsisten. Misal, y 2 dikurangi y 1, maka x 2 juga harus dikurangi x 1. Mari kita lihat penerapannya dengan contoh yang berbeda sebelum masuk ke soal utama.
Berikut adalah tabel perbandingan perhitungan gradien dari tiga pasang titik yang berbeda. Perhatikan bagaimana proses substitusi dan penyederhanaan pecahan dilakukan.
| Titik (x1, y1) & (x2, y2) | Substitusi ke Rumus | Proses Hitung | Gradien (m) |
|---|---|---|---|
| (2, 3) dan (5, 11) | m = (11 – 3) / (5 – 2) | m = 8 / 3 | 8/3 ≈ 2.67 |
| (0, -4) dan (3, 2) | m = (2 – (-4)) / (3 – 0) | m = (2+4) / 3 = 6/3 | 2 |
| (1, 5) dan (1, -2) | m = (-2 – 5) / (1 – 1) | m = -7 / 0 | Tak Terdefinisi (garis vertikal) |
Penyelesaian Soal Spesifik: Titik (-7,10) dan (-5,4)
Sekarang, kita terapkan ilmu ini ke soal yang diminta: tentukan gradien garis yang melalui titik (-7, 10) dan (-5, 4). Langkahnya sistematis dan jangan terburu-buru. Pertama, tentukan mana yang akan jadi titik pertama dan kedua. Bebas saja, hasilnya akan sama. Mari kita ambil (-7,10) sebagai (x 1, y 1) dan (-5,4) sebagai (x 2, y 2).
Langkah perhitungannya adalah sebagai berikut. Selisih ordinat (y): y 2
-y 1 = 4 – 10 = –
6. Selanjutnya, selisih absis (x): x 2
-x 1 = (-5)
-(-7) = -5 + 7 =
2. Terakhir, bagi selisih y dengan selisih x: -6 dibagi 2. Hasilnya adalah -3.
Gradien (m) = [4 – 10] / [(-5)
Nah, kalau kamu udah paham cara menentukan gradien dari garis yang melalui titik (-7, 10) dan (-5, 4) dengan rumus m = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁), berarti logika matematikamu sudah jalan. Keterampilan itu bakal berguna banget untuk mengurai soal lain yang terlihat kompleks, misalnya saat menghitung Nilai dari akar(8) x akar(4) + 1/2 akar(72) – akar(150) : akar(3) adalah.
Setelah beres dengan operasi akar dan aljabar itu, kamu pasti lebih mantap lagi balik ke konsep dasar seperti mencari gradien tadi, karena semuanya saling terkait dalam membangun pemahaman yang solid.
(-7)] = (-6) / (2) = -3
Jadi, gradien garis yang melalui kedua titik tersebut adalah -3. Apa artinya? Nilai negatif menunjukkan garis tersebut menurun dari kiri ke kanan. Angka 3 (atau 3/1) berarti setiap bergerak 1 satuan ke kanan, garis turun sebanyak 3 satuan. Itu adalah kemiringan yang cukup curam.
Aplikasi dan Contoh Kontekstual Gradien
Konsep gradien ini bukan cuma angka di kertas. Ia hidup dalam keseharian. Insinyur sipil menggunakan gradien untuk merancang kemiringan jalan tol agar aman dan nyaman. Arsitek menghitung gradien atap rumah agar air hujan bisa mengalir dengan lancar. Bahkan, ketika kamu memarkir mobil di jalan yang miring, kamu sedang berinteraksi dengan gradien.
Misalkan, seorang kontraktor akan membangun sebuah jalan akses dari titik A (ketinggian 50 meter) ke titik B (ketinggian 20 meter) dengan jarak horizontal 100 meter. Dia perlu memastikan kemiringannya tidak melebihi 10% untuk keamanan kendaraan. Bagaimana menghitung dan memutuskan?
- Identifikasi Titik: Anggap posisi horizontal titik A adalah 0 dan B adalah 100. Maka koordinatnya adalah A(0, 50) dan B(100, 20).
- Hitung Gradien: m = (20-50)/(100-0) = -30/100 = -0.3.
- Konversi ke Persentase: Kemiringan dalam persen adalah nilai mutlak gradien dikali 100%, jadi 0.3
– 100% = 30%. - Interpretasi dan Keputusan: Kemiringan 30% jauh melebihi batas aman 10%. Kontraktor harus mengambil keputusan: memperpanjang jalan agar jarak horizontal lebih dari 300 meter, atau mengurangi selisih ketinggian dengan teknik galian dan timbunan.
Latihan dan Variasi Soal Terkait: Tentukan Gradien Dari Garis-garis Yang Melalui Titik Berikut: (-7, 10) Dan (-5, 4)
Untuk mengasah pemahaman, coba kerjakan latihan berikut dengan tingkat kesulitan yang berjenjang. Satu hal yang sering jadi jebakan adalah urutan pengurangan yang tidak konsisten antara y dan x, atau kesalahan tanda saat berhadapan dengan koordinat negatif. Hati-hati dengan itu.
Berikut tiga soal latihan beserta kunci jawabannya.
| No. Soal | Titik yang Diketahui | Langkah Penyelesaian Singkat | Hasil Akhir (Gradien m) |
|---|---|---|---|
| 1 (Mudah) | (0, 0) dan (4, 8) | m = (8-0)/(4-0) = 8/4 | 2 |
| 2 (Sedang) | (-2, 5) dan (3, -5) | m = (-5-5)/(3-(-2)) = (-10)/(5) | -2 |
| 3 (Menantang) | (6, -1) dan (6, 4) | m = (4 – (-1))/(6-6) = 5/0 | Tak Terdefinisi |
Terakhir
Jadi, gimana? Ternyata nemuin gradien -3 dari titik (-7,10) dan (-5,4) nggak serumit yang dibayangkan, kan? Angka itu sekarang udah punya cerita: dia adalah kemiringan yang turun, yang konkret. Ilmu hitung gradien ini nggak cuma numpang lewat di buku catatan, tapi bisa jadi alat bantu mikir dalam banyak hal nyata. Mulai sekarang, coba deh lihat kemiringan di sekeliling dengan cara pandang yang baru, karena setiap garis yang kamu hitung, itu adalah bukti bahwa matematika itu hidup dan berguna.
Informasi Penting & FAQ
Apakah urutan pemilihan titik (x1,y1) dan (x2,y2) mempengaruhi hasil gradien?
Tidak. Meskipun kamu menukar titik pertama dan kedua, selama rumus (y2 – y1)/(x2 – x1) diterapkan dengan konsisten, hasil akhirnya akan tetap sama. Yang penting, pengurangan pada pembilang dan penyebut mengikuti urutan titik yang sama.
Nah, buat yang lagi belajar gradien dari garis yang melalui titik (-7, 10) dan (-5, 4), konsep perhitungan ini mirip dengan logika sistematis dalam menyelesaikan soal cerita. Misalnya, kalau kamu penasaran gimana cara mengurai masalah lain yang terlihat kompleks, coba intip soal tentang Keliling sebuah lahan yang berbentuk persegi panjang adalah 180 m. Jika selisih panjang dan lebarnya 14 m, luas lahan tersebut adalah.
Keduanya sama-sama butuh ketelitian dan penerapan rumus dasar matematika. Jadi, setelah paham logika soal lahan itu, kamu pasti lebih mudah memahami cara mencari gradien dari dua titik tadi dengan rumus m = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁).
Bagaimana jika hasil perhitungan gradiennya berupa pecahan desimal?
Itu hal yang wajar. Gradien bisa berupa bilangan bulat, pecahan biasa, atau desimal. Biarkan dalam bentuk pecahan yang paling sederhana seringkali lebih tepat, tapi bentuk desimal juga tidak salah selama dibulatkan dengan tepat jika diperlukan.
Apa artinya jika dalam perhitungan penyebutnya (x2 – x1) hasilnya nol?
Jika penyebutnya nol, berarti tidak ada perubahan horizontal (x1 = x2). Garis tersebut adalah garis vertikal dan gradiennya tidak terdefinisi (infinite). Garis vertikal memiliki kemiringan yang tak terhingga.
Apakah gradien -3 pada soal tersebut bisa diartikan sebagai penurunan 3 meter tiap 1 meter?
Benar! Interpretasi itu sangat tepat. Gradien -3 berarti untuk setiap pergeseran 1 satuan ke kanan, garis tersebut turun sebesar 3 satuan. Dalam konteks nyata, ini seperti jalan atau atap yang cukup curam turunnya.
