Tentukan angka satuan dari hasil (1) + (1 x 2) + (1 x 2 x 3) + (1 x 2 x 3 x 4) + + (1 x 2 x 3 x x 21) – Tentukan angka satuan dari hasil (1) + (1 x 2) + (1 x 2 x 3) + (1 x 2 x 3 x 4) + … + (1 x 2 x 3 x … x 21). Soal ini mungkin terlihat seperti monster matematika yang menakutkan, bayangkan harus menghitung 21 faktorial lalu menjumlahkan semuanya! Tapi tenang, kita nggak perlu jadi kalkulator berjalan untuk menyelesaikannya.
Rahasianya ada pada pola angka satuan, dan di situlah letak kecerdikan kita dibutuhkan.
Daripada pusing menghitung angka raksasa, kita akan bermain dengan pola sederhana di balik deret faktorial yang panjang ini. Faktanya, setelah melewati titik tertentu, angka satuan dari setiap suku akan mandek di angka yang sama, dan penjumlahan kita pun akan menemui titik jenuh. Mari kita kupas bersama logika di baliknya, karena jawabannya jauh lebih sederhana daripada yang dibayangkan.
Memahami Permasalahan dan Konsep Dasar: Tentukan Angka Satuan Dari Hasil (1) + (1 X 2) + (1 X 2 X 3) + (1 X 2 X 3 X 4) + + (1 X 2 X 3 X X 21)
Kita punya teka-teki matematika yang menarik: mencari angka satuan dari penjumlahan deret yang cukup panjang. Deretnya adalah 1! + 2! + 3! + 4! + … + 21!. Sebelum terjun ke perhitungan, mari kita sepakati dulu bahasanya. Dalam konteks ini, “angka satuan” merujuk pada digit paling kanan dari sebuah bilangan bulat.
Misalnya, angka satuan dari 147 adalah 7, dan angka satuan dari 3090 adalah 0. Tujuan kita adalah menemukan digit terakhir dari hasil penjumlahan raksasa itu, tanpa perlu menghitung seluruh bilangannya yang pasti sangat besar.
Deret yang diberikan sebenarnya adalah penjumlahan dari faktorial bilangan asli berurutan, dimulai dari 1! hingga 21!. Faktorial, dilambangkan dengan tanda seru (!), adalah perkalian semua bilangan asli dari 1 hingga bilangan itu sendiri. Jadi, 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24. Sifat kunci faktorial yang akan sangat membantu adalah bahwa untuk n yang cukup besar, tepatnya n ≥ 5, hasil faktorialnya selalu memiliki angka satuan nol.
Ini terjadi karena dalam perkalian 1 x 2 x 3 x 4 x 5 sudah terdapat faktor 2 dan 5, yang menghasilkan kelipatan 10.
Pola Angka Satuan pada Faktorial Awal
Source: kompas.com
Untuk melihat pola dengan jelas, mari kita amati angka satuan dari beberapa faktorial pertama. Tabel berikut memberikan gambaran langsung tentang bagaimana angka satuan berperilaku sebelum akhirnya menjadi nol secara permanen.
| n | n! (Nilai) | Angka Satuan n! |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 2 |
| 3 | 6 | 6 |
| 4 | 24 | 4 |
| 5 | 120 | 0 |
| 6 | 720 | 0 |
| 7 | 5040 | 0 |
| 8 | 40320 | 0 |
| 9 | 362880 | 0 |
| 10 | 3628800 | 0 |
Pola dari tabel di atas sangat jelas. Setelah melewati 4!, semua faktorial berikutnya berakhir dengan angka 0. Ini adalah pondasi utama untuk menyelesaikan masalah kita.
Nah, kalau kamu lagi sibuk cari angka satuan dari hasil penjumlahan faktorial 1 sampai 21, jangan bingung. Soal hitung-menghitung kayak gini seru juga, lho, apalagi kalau dikaitin dengan pola pertumbuhan eksponensial kayak Amoeba akan membelah diri menjadi dua setiap 15 menit. Jika mula- mula ada 30 Amoeba, tentukan banyak Amoeba selama 2 jam.. Kembali ke soal awal, kuncinya adalah cari pola angka satuan dari tiap faktorial, karena setelah faktorial 5, angka satuannya sudah pasti nol, jadi fokusnya cuma pada beberapa suku pertama aja.
Menganalisis Pola Angka Satuan Faktorial
Mengapa setelah 4! semua angka satuan menjadi nol? Logikanya sederhana. Angka satuan dari suatu perkalian ditentukan oleh angka satuan dari faktor-faktornya. Namun, ada aturan lebih kuat: jika dalam perkalian terdapat bilangan genap (yang menyumbang faktor 2) dan bilangan kelipatan 5, maka hasilnya pasti kelipatan 10. Pada 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5, kita sudah bertemu dengan pasangan 2 dan 5.
Perkalian ini menghasilkan 10, yang berarti menambahkan satu angka nol di belakang. Semua faktorial di atas 5 pasti mengandung 5! di dalamnya, sehingga pasti memiliki angka nol di satuan, bahkan puluhan atau ratusan.
Daftar Lengkap Angka Satuan hingga 21!
Berdasarkan analisis pola, kita dapat dengan mudah menyusun daftar angka satuan untuk setiap suku dalam deret kita, dari 1! hingga 21!.
- 1! → Angka Satuan: 1
- 2! → Angka Satuan: 2
- 3! → Angka Satuan: 6
- 4! → Angka Satuan: 4
- 5! hingga 21! → Angka Satuan: 0
Fakta ini adalah kunci penyederhanaan masalah. Kita tidak perlu pusing menghitung 15! atau 21! yang jumlah digitnya luar biasa banyak. Yang perlu kita perhatikan hanya empat suku pertama, karena suku kelima dan seterusnya tidak memberikan kontribusi apa pun terhadap angka satuan hasil akhir penjumlahan.
Nah, kalau kamu lagi asyik mikirin angka satuan dari deret faktorial panjang itu, ingat aja, logika matematika sering muncul di soal yang lebih sederhana juga, kayak teka-teki Umur Tito 5 tahun lebih tua daripada umur Dida. Jika jumlah umur mereka 29 tahun, tentukan umur Dida dan Tito masing-masing! yang bikin otak encer. Nah, setelah paham konsep dasar itu, balik lagi ke soal angka satuan deret faktorial tadi, pasti lebih mudah buat kamu temukan polanya dan jawabannya dengan tepat.
Aturan Kunci: Untuk n ≥ 5, angka satuan dari n! selalu 0. Dalam penjumlahan deret faktorial, hanya suku-suku di mana n < 5 yang memberikan pengaruh terhadap angka satuan hasil total.
Menghitung Angka Satuan Penjumlahan Deret
Dengan pemahaman bahwa suku ke-5 hingga ke-21 menyumbang angka satuan 0, pekerjaan kita menjadi jauh lebih ringan. Kita hanya perlu fokus pada penjumlahan angka satuan dari empat suku pertama, yaitu 1!, 2!, 3!, dan 4!. Dalam matematika modular yang sederhana, kita hanya menjumlahkan angka satuannya saja, karena puluhan, ratusan, dan seterusnya dari suku-suku berikutnya tidak akan mengubah digit terakhir dari total.
Prosedur Penghitungan Sederhana, Tentukan angka satuan dari hasil (1) + (1 x 2) + (1 x 2 x 3) + (1 x 2 x 3 x 4) + + (1 x 2 x 3 x x 21)
Mari kita jabarkan prosesnya dalam tabel yang mencatat kontribusi setiap suku. Perhitungan kita berhenti pada suku ke-4, karena setelah itu penambahan angka nol tidak mengubah angka satuan jumlah sementara.
| Suku ke-n (n!) | Angka Satuan n! | Jumlah Sementara Angka Satuan |
|---|---|---|
| 1! | 1 | 1 |
| 2! | 2 | 3 (dari 1+2) |
| 3! | 6 | 9 (dari 3+6) |
| 4! | 4 | 13 (dari 9+4) |
| 5! hingga 21! | 0 | 13 (tetap, karena +0) |
Perhatikan bahwa setelah menambahkan 4!, jumlah sementara angka satuan adalah 13. Angka satuan dari 13 adalah 3. Penambahan suku-suku berikutnya yang bernilai 0 tidak akan mengubah angka satuan ini. Jadi, secara logis, proses pencarian angka satuan sudah “berhenti” atau mencapai titik stabil tepat setelah kita menghitung suku keempat.
Verifikasi dan Penyajian Hasil Akhir
Untuk memastikan tidak ada kesalahan, mari kita lakukan verifikasi dengan menghitung nilai eksak dari empat suku pertama dan melihat angka satuannya.
Perhitungan lengkapnya: 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33. Angka satuan dari 33 adalah 3. Sekarang, bayangkan kita menambahkan 5! = 120, hasilnya menjadi 153. Angka satuannya tetap 3. Menambahkan 6! = 720, hasil menjadi 873.
Angka satuannya masih 3. Pola ini akan terus berlanjut karena setiap penambahan adalah bilangan besar yang berakhiran nol, sehingga hanya digit di depan nol yang berubah, sedangkan digit terakhirnya tetap 3.
Hasil akhir: Angka satuan dari penjumlahan deret (1) + (1×2) + (1x2x3) + … + (21!) adalah 3.
Ilustrasi prosesnya seperti menumpuk batu bata. Empat batu bata pertama (1, 2, 6, 24) membentuk dasar dengan bentuk akhir tertentu. Batu bata berikutnya (120, 720, 5040, dan seterusnya) semuanya berbentuk balok panjang dengan ekor nol. Saat menumpuk balok-balok ini di atas dasar tadi, ekor nol mereka sejajar dan tidak menggeser atau mengubah bentuk batu bata paling bawah yang menentukan “profil akhir” dari tumpukan, yaitu angka satuan 3.
Ringkasan Penutup
Jadi, begitulah ceritanya. Deret sepanjang dan serumit apa pun ternyata bisa ditaklukkan hanya dengan mengamati pola satuan yang berulang. Angka satuan akhir dari penjumlahan megah itu ternyata cuma 3. Pelajaran pentingnya? Dalam matematika, seringkali kita tidak perlu bekerja keras menghitung semua detail, tetapi cukup cerdas melihat pola yang mendasarinya.
Sekarang kamu punya satu trik baru di tas peralatan matematikamu untuk memandang soal-soal besar dengan cara yang lebih sederhana dan elegan.
Panduan FAQ
Apa itu angka satuan dan mengapa hanya itu yang penting?
Angka satuan adalah digit paling kanan dari sebuah bilangan bulat. Dalam penjumlahan panjang, hanya angka satuan dari setiap suku yang mempengaruhi angka satuan hasil akhir, sehingga puluhan, ratusan, dan seterusnya bisa diabaikan untuk tujuan ini.
Mengapa faktorial 5! dan seterusnya angka satuannya selalu 0?
Karena di dalam perkalian pembentuk 5! (1x2x3x4x5) terdapat faktor 2 dan 5, yang bila dikalikan menghasilkan 10. Perkalian dengan 10 selalu menghasilkan bilangan dengan angka satuan 0, dan sifat ini terus berlanjut untuk faktorial yang lebih besar.
Apakah hasilnya akan sama jika deretnya dijumlahkan sampai 100!?
Ya, persis sama. Karena mulai dari 5! angka satuan setiap suku adalah 0, maka penjumlahan angka satuan dari suku ke-5 dan seterusnya tidak akan mengubah angka satuan total. Hasil akhirnya tetap ditentukan hanya oleh penjumlahan angka satuan dari 1! hingga 4!.
Bagaimana jika yang ditanya angka satuan dari perkalian deret faktorial, bukan penjumlahannya?
Itu akan menjadi soal yang sangat berbeda. Untuk perkalian, karena ada faktor dari 5! yang memberikan satuan 0, maka hasil perkalian seluruh deret akan memiliki satuan 0, sebab bilangan apa pun dikali 0 satuannya pasti 0.
