Keliling 42 cm, Luas 108 cm²: Cari Perbandingan Panjang–Lebar. Soal matematika yang tampak sederhana ini ternyata menyimpan teka-teki menarik tentang hubungan fundamental dalam geometri. Di balik dua angka yang diberikan, tersembunyi cerita tentang bentuk sebuah persegi panjang yang spesifik, menantang kita untuk mengungkap rahasia proporsi sisi-sisinya.
Persoalan ini bukan sekadar mencari angka, melainkan memahami bagaimana keliling dan luas saling terkait untuk mendefinisikan sebuah bangun datar. Dengan pendekatan sistematis melalui sistem persamaan, kita akan membedah data yang ada untuk menemukan nilai panjang dan lebar, yang pada akhirnya mengarah pada penemuan perbandingan atau rasio yang elegan antara kedua sisi tersebut.
Memahami Masalah Dasar
Dalam geometri, keliling dan luas adalah dua besaran fundamental yang mendeskripsikan sebuah bangun datar. Keliling mengukur panjang garis batas luar, sementara luas mengukur daerah dua dimensi yang tercakup di dalamnya. Untuk persegi panjang, kedua besaran ini memiliki hubungan yang unik: sepasang nilai keliling dan luas tertentu dapat mengarah pada lebih dari satu kemungkinan ukuran sisi, atau bahkan tidak mungkin sama sekali jika nilainya tidak konsisten secara matematis.
Soal dengan keliling 42 cm dan luas 108 cm² adalah contoh klasik di mana kita harus mencari dua bilangan yang jika dijumlahkan dan dikalikan menghasilkan nilai tertentu.
Rumus inti yang menjadi fondasi penyelesaian adalah rumus keliling dan luas persegi panjang. Dengan memahami karakteristik masing-masing rumus, kita dapat menyusun strategi untuk menemukan ukuran panjang dan lebarnya.
Rumus Keliling dan Luas Persegi Panjang
Dua persamaan sederhana ini adalah kunci untuk membuka masalah. Keliling (K) adalah dua kali jumlah panjang (p) dan lebar (l), sedangkan luas (L) adalah hasil kali keduanya. Dari sini, kita dapat membangun sistem persamaan untuk diselesaikan.
| Karakteristik | Rumus Keliling | Rumus Luas |
|---|---|---|
| Definisi | Panjang total semua sisi. | Daerah yang ditempati bangun. |
| Persamaan | K = 2 × (p + l) | L = p × l |
| Satuan | Satuan panjang (cm, m). | Satuan persegi (cm², m²). |
| Fungsi dalam Soal | Memberikan informasi tentang jumlah p dan l. | Memberikan informasi tentang hasil kali p dan l. |
Menyusun Persamaan Matematika: Keliling 42 cm, Luas 108 cm²: Cari Perbandingan Panjang–Lebar
Dengan data numerik yang diberikan, langkah selanjutnya adalah menerjemahkan informasi tersebut ke dalam bahasa matematika yang presisi. Proses ini mengubah soal cerita menjadi model aljabar yang siap diolah.
Menyelesaikan perbandingan panjang–lebar dari persegi panjang dengan keliling 42 cm dan luas 108 cm² memerlukan penerapan konsep aljabar dasar. Prinsip perhitungan sistematis ini juga fundamental dalam menganalisis gerak melingkar, seperti saat menentukan Kecepatan Rotasi Roda Berdasarkan Kecepatan Titik pada Tali , di mana hubungan antar variabel menjadi kunci. Kembali ke persoalan awal, dari dua persamaan yang terbentuk, kita akan temukan bahwa perbandingan sisi-sisinya mengungkap dimensi yang spesifik dan elegan.
Formulasi Sistem Persamaan
Berdasarkan rumus yang telah diketahui, kita substitusi nilai keliling (K=42) dan luas (L=108). Hasilnya adalah sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel. Sistem ini menarik karena meskipun salah satu persamaan berbentuk kuadrat, penyusunannya akan membentuk persamaan kuadrat yang dapat difaktorkan.
K = 2(p + l) = 42 → p + l = 21
L = p × l = 108
Dari penyederhanaan pertama, kita mendapatkan informasi krusial: jumlah panjang dan lebar adalah 21 cm. Sementara itu, hasil kalinya adalah 108 cm². Kita sekarang mencari dua bilangan yang jumlahnya 21 dan hasil kalinya 108.
Mencari Solusi Numerik
Pencarian dua bilangan dengan kriteria tertentu dapat diselesaikan dengan metode substitusi. Kita akan mengubah sistem persamaan menjadi sebuah persamaan kuadrat dalam satu variabel, yang solusinya dapat ditemukan melalui pemfaktoran atau rumus kuadrat.
Langkah Penyelesaian Aljabar
Misalkan kita menyatakan lebar (l) dalam bentuk panjang (p). Dari persamaan p + l = 21, kita peroleh l = 21 – p. Ekspresi ini kemudian kita substitusikan ke dalam persamaan luas.
- Substitusi l ke persamaan luas: p × (21 – p) = 108.
- Kembangkan menjadi persamaan kuadrat: 21p – p² = 108 → p²
-21p + 108 = 0. - Faktorkan persamaan kuadrat tersebut: (p – 9)(p – 12) = 0.
- Akar-akar persamaan adalah p = 9 atau p = 12.
Dua Kemungkinan Solusi
Hasil perhitungan memberikan dua nilai untuk panjang. Ini sepenuhnya konsisten dengan sifat simetris persamaan. Jika p = 12 cm, maka l = 21 – 12 = 9 cm. Sebaliknya, jika p = 9 cm, maka l = 21 – 9 = 12 cm. Kedua solusi ini sebenarnya merepresentasikan pasangan sisi yang sama, hanya pertukaran label antara “panjang” dan “lebar”.
Dalam konvensi umum, panjang adalah sisi yang lebih panjang, sehingga kita akan menyebut panjang = 12 cm dan lebar = 9 cm.
Menyelesaikan soal matematika seperti mencari perbandingan panjang dan lebar dari keliling 42 cm dan luas 108 cm² memerlukan ketelitian dan logika yang sistematis. Prinsip dasar dalam menyelesaikan persoalan ini sama pentingnya dengan memahami momen bersejarah Kapan Pancasila Disahkan Sebagai Dasar Negara Indonesia , yang menjadi fondasi kokoh bagi bangsa. Keduanya mengajarkan kita untuk menemukan hubungan yang proporsional dan harmonis, sebagaimana dalam perhitungan matematika tersebut, di mana kita akan menemukan perbandingan 3:2 setelah melalui proses analisis yang tepat.
Menentukan dan Menganalisis Perbandingan
Setelah menemukan ukuran absolut, kita dapat menganalisis hubungan proporsional antara kedua sisi. Perbandingan sisi memberikan wawasan tentang bentuk persegi panjang tersebut, terlepas dari ukuran aktualnya.
Rasio Panjang terhadap Lebar
Dengan panjang 12 cm dan lebar 9 cm, perbandingan panjang terhadap lebar adalah 12 : 9. Rasio ini dapat disederhanakan dengan membagi kedua bilangan dengan faktor persekutuan terbesar, yaitu 3.
12 : 9 = (12 ÷ 3) : (9 ÷ 3) = 4 : 3
Jadi, perbandingan panjang terhadap lebar persegi panjang tersebut adalah 4 : 3. Rasio ini bersifat tetap dan mendeskripsikan proporsi bentuknya.
Signifikansi Perbandingan dalam Geometri
Perbandingan sisi dalam sebuah persegi panjang adalah invariant yang menentukan bentuk dasarnya. Dua persegi panjang dengan rasio sisi yang sama adalah sebangun, meskipun ukurannya berbeda. Rasio 4:3 merupakan rasio aspek klasik yang banyak ditemui, dari kertas ukuran A-series hingga layar monitor lama. Dalam konteks soal, rasio ini adalah intisari jawaban yang lebih mendalam daripada sekadar angka panjang dan lebar, karena ia menangkap esensi proporsional dari bangun tersebut.
Verifikasi dan Aplikasi Hasil
Sebagai langkah penting dalam penalaran matematika, verifikasi memastikan bahwa solusi yang ditemukan tidak mengandung kesalahan hitung dan memang memenuhi semua kondisi awal.
Pemeriksaan Kebenaran Solusi
Mari kita uji pasangan (p=12, l=9). Keliling = 2 × (12 + 9) = 2 × 21 = 42 cm. Luas = 12 × 9 = 108 cm². Hasil ini persis sesuai dengan data soal. Verifikasi yang sama juga berlaku untuk pasangan (9, 12).
Proses ini mengonfirmasi keakuratan solusi.
Karakteristik Persegi Panjang 4:3
Source: co.id
Persegi panjang dengan rasio sisi 4:3 tidak terlalu memanjang dibandingkan dengan, misalnya, rasio 16:
9. Bentuknya masih terasa cukup “gemuk” dan mendekati persegi, namun sudah memiliki orientasi yang jelas. Untuk keliling yang sama (42 cm), bentuk yang lebih mendekati persegi (misalnya 11 cm dan 10 cm, rasio 11:10) akan memiliki luas yang lebih besar (110 cm²). Fakta ini mengilustrasikan prinsip bahwa untuk keliling tetap, luas maksimum dicapai oleh bentuk persegi.
| Karakteristik | Solusi (p=12, l=9) | Solusi (p=9, l=12) |
|---|---|---|
| Label Konvensional | Sesuai (panjang > lebar) | Tidak sesuai (panjang < lebar) |
| Nilai Numerik Sisi | 12 cm dan 9 cm | 9 cm dan 12 cm |
| Perbandingan (p:l) | 4 : 3 | 3 : 4 |
| Kesesuaian dengan Soal | Valid secara matematis | Valid secara matematis |
Eksplorasi Visual Konseptual
Memvisualisasikan hasil numerik membantu memahami implikasi geometrisnya. Bayangkan sebuah persegi panjang dengan panjang 12 satuan dan lebar 9 satuan. Bentuknya akan tampak seperti sebuah bingkai foto atau selembar kertas yang agak memanjang secara horizontal.
Deskripsi Bentuk dan Perbandingan
Jika digambarkan, persegi panjang ini memiliki sisi horizontal yang jelas lebih panjang daripada sisi vertikalnya, dengan selisih 3 cm. Proporsi 4:3 memberinya kesan yang stabil dan seimbang, tidak terlalu ekstrem. Sebagai perbandingan, sebuah persegi panjang dengan keliling sama (42 cm) tetapi lebih mendekati persegi, misalnya berukuran 11 cm x 10 cm, akan terlihat lebih “padat” dan mengisi area lebih besar (luas 110 cm²).
Di sisi lain, persegi panjang dengan luas yang sama (108 cm²) tetapi keliling berbeda, misalnya 18 cm x 6 cm (rasio 3:1), akan terlihat sangat memanjang dan kurus dengan keliling yang lebih besar, yaitu 48 cm.
Ilustrasi Naratif Pengaruh Perbandingan, Keliling 42 cm, Luas 108 cm²: Cari Perbandingan Panjang–Lebar
Bayangkan seutas tali dengan panjang tetap 42 cm yang dibentuk menjadi berbagai persegi panjang. Ketika bentuknya mendekati persegi, ia mengurung bidang seluas mungkin. Saat Anda mulai menarik dua sisi yang berlawanan, membuatnya lebih panjang dan lebih kurus, luas daerah di dalam tali akan menyusut, meskipun kelilingnya tetap. Persegi panjang kita dengan ukuran 12 cm x 9 cm berada di suatu tempat di tengah spektrum ini—tidak terlalu efisien dalam memaksimalkan luas, tetapi juga tidak terlalu ekstrem.
Perubahan perbandingan panjang-lebar secara dramatis mengubah “kebulatan” dan efisiensi area dari suatu bangun untuk keliling yang diberikan, yang merupakan konsep mendasar dalam desain dan optimasi.
Simpulan Akhir
Dengan demikian, perjalanan dari dua data numerik menuju sebuah perbandingan yang sederhana telah tuntas. Persegi panjang dengan keliling 42 cm dan luas 108 cm² secara unik memiliki perbandingan panjang terhadap lebar sebesar 3:2 atau 2:3, bergantung pada penamaan sisi. Temuan ini menggarisbawahi prinsip penting dalam geometri: ukuran mutlak (keliling dan luas) dapat mengunci proporsi relatif (rasio sisi) suatu bangun. Rasio 3:2 ini bukanlah angka biasa; ia sering muncul dalam berbagai konteks, mulai dari kertas seri A hingga aspek rasio layar, menunjukkan keanggunan matematika dalam kehidupan sehari-hari.
Perhitungan rasio panjang dan lebar dari persegi panjang dengan keliling 42 cm dan luas 108 cm² mengungkap hubungan proporsional yang krusial, layaknya cara kerja Hormon Indikator pada Tes Kehamilan yang memberikan sinyal pasti. Dalam matematika, penentuan perbandingan 3:2 ini menuntut ketelitian analitis, serupa dengan presisi yang dibutuhkan dalam membaca hasil tes tersebut, sebelum akhirnya kita kembali memaknai angka-angka tadi sebagai fondasi pemahaman geometri yang solid.
FAQ Terperinci
Apakah hanya ada satu jawaban untuk panjang dan lebar persegi panjangnya?
Tidak. Secara matematis, terdapat dua pasangan solusi: (12 cm, 9 cm) dan (9 cm, 12 cm). Keduanya valid dan hanya berbeda dalam penamaan mana yang disebut panjang dan mana yang disebut lebar, sehingga perbandingannya tetap sama.
Bisakah soal ini diselesaikan tanpa menggunakan sistem persamaan aljabar?
Bisa, dengan metode coba-coba sistematis atau pendekatan grafis, namun penggunaan sistem persamaan linear adalah metode yang paling langsung, akurat, dan terstruktur untuk memastikan semua solusi ditemukan.
Mengapa perbandingan yang didapat berbentuk bilangan bulat sederhana (3:2)?
Ini terjadi karena angka keliling (42) dan luas (108) memiliki hubungan khusus yang menghasilkan akar-akar bilangan bulat pada persamaan kuadrat yang terbentuk. Tidak semua kombinasi keliling dan luas akan menghasilkan rasio sisi yang sederhana.
Bagaimana jika soalnya dibalik, diketahui perbandingan dan salah satu dari keliling atau luas?
Maka penyelesaiannya akan lebih mudah. Misal, diketahui perbandingan panjang:lebar = 3:2 dan keliling 42 cm. Kita dapat memisalkan panjang = 3x dan lebar = 2x, lalu menyelesaikan persamaan keliling 2*(3x+2x)=42 untuk mencari nilai x, kemudian menghitung luasnya.
