Garis y=-3x+a di (-4,22) menyinggung parabola y=2x^2+x+b, cari a+b. Soal ini bukan sekadar teka-teki aljabar, melainkan sebuah cerita pertemuan elegan antara garis lurus dan kurva parabola. Di balik huruf a dan b yang misterius, tersimpan dialog antara konsep geometri dan kalkulus yang menunggu untuk diungkap. Memahami momen singgung ini ibarat menemukan titik temu sempurna di mana dua entitas matematika berbagi rahasia yang sama: sebuah titik dan sebuah kemiringan.
Persoalan ini mengajak kita untuk menyelami hubungan fundamental antara turunan fungsi dan gradien garis singgung. Dengan titik koordinat (-4,22) sebagai petunjuk awal, perjalanan logis dimulai untuk mengikat nilai konstanta yang belum diketahui. Proses penyelesaiannya menghadirkan penerapan langsung teori kalkulus dalam bentuk yang aplikatif dan memuaskan, menunjukkan bagaimana matematika bekerja secara sistematis untuk menyelesaikan teka-teki yang tampak kompleks menjadi sebuah jawaban yang ringkas dan elegan.
Konsep Dasar Garis Singgung pada Parabola
Dalam geometri analitik, konsep garis singgung pada kurva parabola merupakan fondasi penting untuk memahami interaksi antara garis lurus dan bentuk kuadrat. Garis singgung didefinisikan sebagai garis lurus yang menyentuh kurva parabola di tepat satu titik, tanpa memotong atau menembus parabola di sekitar titik tersebut. Secara geometris, pada titik singgung, garis dan kurva berbagi kemiringan atau gradien yang sama, yang menghasilkan pertemuan yang mulus dan tidak tajam.Hubungan fundamental ini dijelaskan dengan elegan melalui kalkulus, tepatnya turunan pertama.
Turunan pertama dari fungsi parabola, y = 2x² + x + b, yaitu y’ = 4x + 1, secara langsung memberikan rumus untuk menghitung gradien garis singgung di sembarang titik (x, y) pada parabola. Dengan demikian, syarat agar garis y = -3x + a menyinggung parabola adalah gradien garis (-3) harus sama dengan nilai turunan parabola di titik singgung yang belum diketahui.
Bayangkan sebuah parabola yang membuka ke atas, dan sebuah garis lurus yang hanya menempel pada salah satu lengkungannya. Titik sentuhan itu unik; jika garis digeser sedikit, ia akan memotong parabola di dua titik atau tidak menyentuh sama sekali.
Mengurai Permasalahan dan Menyusun Persamaan
Pernyataan “Garis y = -3x + a di (-4,22) menyinggung parabola y = 2x² + x + b” mengandung beberapa informasi kunci yang perlu diurai. Pertama, titik (-4, 22) merupakan titik yang dilalui oleh garis singgung. Kedua, gradien garis singgung tersebut adalah -3. Ketiga, titik yang sama, (-4, 22), juga harus berada pada parabola karena merupakan titik singgung. Dari sini, kita dapat menyusun sistem persamaan untuk menemukan konstanta a dan b.
| Komponen | Nilai/Dari | Keterangan | Persamaan Terkait |
|---|---|---|---|
| Titik pada Garis | (-4, 22) | Diketahui garis melalui titik ini | 22 = -3(-4) + a |
| Gradien Garis | -3 | Diketahui dari persamaan garis | mgaris = -3 |
| Titik pada Parabola | (-4, 22) | Titik singgung juga ada di parabola | 22 = 2(-4)² + (-4) + b |
| Gradien Parabola di x | y’ = 4x + 1 | Turunan pertama parabola | mparabola = 4x + 1 |
| Syarat Singgung | Gradien Sama | Gradien garis = Gradien parabola di titik singgung | -3 = 4x + 1 |
Proses penyusunan sistem persamaan dimulai dari dua kondisi inti: kondisi pertama adalah garis melalui titik yang diberikan, dan kondisi kedua adalah persamaan gradien yang sama antara garis dan parabola di titik singgung yang koordinatnya memenuhi kedua persamaan.
Prosedur Penyelesaian Langkah demi Langkah
Penyelesaian masalah ini mengikuti alur logis yang sistematis. Langkah pertama adalah memanfaatkan informasi bahwa titik (-4, 22) berada pada garis. Substitusi koordinat ini ke dalam persamaan garis y = -3x + a akan memberikan hubungan langsung untuk mencari nilai konstanta a.
Soal garis singgung seperti y=-3x+a di titik (-4,22) pada parabola y=2x²+x+b menguji pemahaman konsep turunan dan sistem persamaan. Prinsip yang sama diterapkan dalam mencari Persamaan Garis Singgung dari (0,0) ke Lingkaran (x‑3)²+(y‑4)²=5 , di mana kedudukan titik terhadap kurva menjadi kunci. Kembali ke soal awal, dengan mensubstitusi koordinat titik singgung dan menyamakan gradien, nilai a dan b dapat ditemukan, lalu dijumlahkan.
- = -3(-4) + a
- = 12 + a
a = 22 – 12a = 10Langkah kedua melibatkan penerapan syarat garis singgung, yaitu kesamaan gradien. Gradien garis sudah diketahui -3. Gradien parabola di sembarang titik x adalah turunannya, y’ = 4x + 1. Karena titik singgungnya juga diberikan yaitu x = -4, kita dapat memastikan kesamaan gradien di titik tersebut.m parabola = 4(-4) + 1 = -16 + 1 = -15.Ternyata, gradien parabola di x = -4 adalah -15, bukan -3.
Ini menunjukkan bahwa titik (-4,22) bukan titik singgung untuk gradien -3. Justru, informasi titik (-4,22) adalah titik yang dilalui garis, dan garis dengan gradien -3 itu yang menyinggung parabola di suatu titik lain. Oleh karena itu, kita perlu mencari titik singgung (x₀, y₀) terlebih dahulu menggunakan syarat gradien.
Dua kondisi fundamental garis singgung y = mx + c pada parabola y = px² + qx + r adalah:
Titik (x₀, y₀) memenuhi kedua persamaan: y₀ = m x₀ + c dan y₀ = p x₀² + q x₀ + r.2. Gradien di titik singgung sama
m = 2p x₀ + q.
Dari syarat gradien: -3 = 4x₀ + 1 → 4x₀ = -4 → x₀ = -Ini adalah absis titik singgung. Untuk mencari ordinatnya (y₀), substitusi x₀ = -1 ke persamaan parabola (masih mengandung b): y₀ = 2(-1)² + (-1) + b = 2 – 1 + b = 1 + b.Titik (-1, 1+b) ini juga harus dilalui oleh garis y = -3x + a.
Substitusikan: 1 + b = -3(-1) + a → 1 + b = 3 + a.Dari langkah pertama kita telah mendapatkan a =
10. Substitusi nilai a ini
1 + b = 3 + 10 → 1 + b = 13 → b = 12.Dengan demikian, diperoleh a = 10 dan b = 12, sehingga a + b = 22.
Menyelesaikan soal matematika seperti mencari nilai a+b dari garis singgung y=-3x+a di titik (-4,22) terhadap parabola y=2x^2+x+b memerlukan ketelitian dan keadilan dalam proses perhitungan. Nilai keadilan ini selaras dengan prinsip Sila Kelima Pancasila yang menekankan keseimbangan hak dan kewajiban. Dengan semangat itu, kita teliti syarat singgung: gradien garis (-3) harus sama dengan turunan parabola di x=-4, sehingga ditemukan b=2 dan a=10, menjadikan a+b=12.
Verifikasi dan Interpretasi Hasil Perhitungan
Setelah memperoleh nilai a dan b, verifikasi diperlukan untuk memastikan kebenaran solusi. Verifikasi dilakukan dengan memeriksa apakah titik singgung yang ditemukan konsisten untuk kedua persamaan. Persamaan garis menjadi y = -3x + 10 dan persamaan parabola menjadi y = 2x² + x + Titik singgung yang kita hitung adalah (-1, y₀). Pada parabola: y = 2(-1)² + (-1) + 12 = 2 – 1 + 12 =
13. Pada garis
y = -3(-1) + 10 = 3 + 10 = 13. Keduanya menghasilkan y = 13, sehingga titik singgungnya adalah (-1, 13). Gradien di x = -1 pada parabola adalah 4(-1)+1=-3, sama dengan gradien garis. Ini membuktikan kebenaran solusi.Dalam konteks geometri, konstanta a = 10 merupakan intercept-y dari garis singgung, menunjukkan titik potong garis dengan sumbu-y. Konstanta b = 12 adalah konstanta pada parabola yang menggeser parabola secara vertikal tanpa mengubah bentuknya.
Menyelesaikan soal garis singgung y=-3x+a di titik (-4,22) pada parabola y=2x²+x+b untuk mencari a+b memang mengasah ketelitian. Logika aljabar dan sistem persamaan serupa juga diterapkan dalam permasalahan matriks yang lebih kompleks, seperti saat Menentukan A⁻¹ + BC untuk Matriks A, B, dan C. Konsep dasar tentang operasi dan invers ini menjadi fondasi penting, yang kemudian dapat kita gunakan kembali untuk memastikan perhitungan nilai a dan b pada soal geometri analitik awal tersebut tepat dan konsisten.
Nilai a + b = 22 secara kebetulan sama dengan ordinat titik yang diberikan dalam soal (-4, 22), namun hal ini adalah konsekuensi dari perhitungan dan bukan suatu kaidah umum.
| Langkah | Hasil Parsial | Persamaan | Verifikasi |
|---|---|---|---|
| Garis melalui (-4,22) | a = 10 | 22 = 12 + a | y = -3x + 10 |
| Syarat Gradien Singgung | x₀ = -1 | -3 = 4x₀ + 1 | m = 4(-1)+1 = -3 ✓ |
| Titik Singgung pada Parabola | y₀ = 1 + b | y₀ = 2(-1)² -1 + b | y₀ = 1 + 12 = 13 |
| Titik Singgung pada Garis | b = 12 | 1+b = 3 + a | 13 = -3(-1)+10 ✓ |
| Hasil Akhir | a + b = 22 | 10 + 12 | Semua kondisi terpenuhi |
Variasi Soal dan Penerapan Konsep: Garis Y=-3x+a Di (-4,22) Menyinggung Parabola Y=2x^2+x+b, Cari A+b
Pemahaman konsep ini dapat diuji dan diperdalam melalui variasi soal yang mengubah parameter. Pola umum penyelesaiannya tetap sama: gunakan kondisi titik yang dilalui (jika ada) untuk mencari satu variabel, lalu gunakan syarat gradien sama untuk menemukan titik singgung, dan terakhir gunakan kondisi titik singgung pada kedua kurva untuk menemukan variabel lainnya.Berikut tiga variasi soal latihan:
- Garis y = 4x + c menyinggung parabola y = x²2x + 5. Tentukan koordinat titik singgung dan nilai c.
- Garis yang melalui titik (1, -2) dengan gradien 2 menyinggung parabola y = 3x² + k. Tentukan titik singgung dan nilai k.
- Garis y = mx – 8 menyinggung parabola y = -x² + 6x + b di titik dengan absis 3. Tentukan nilai m, b, dan ordinat titik singgung.
Perbedaan kunci pada variasi pertama adalah tidak diberikan titik lain selain hubungan singgung, sehingga penyelesaian murni dari syarat diskriminan atau sistem persamaan gradien dan persamaan kurva. Pada variasi kedua, diberikan titik yang dilalui garis tetapi bukan titik singgung, mirip dengan soal utama. Variasi ketiga memberikan absis titik singgung secara langsung, yang menyederhanakan pencarian gradien m. Strategi universal adalah mengidentifikasi dengan tepat informasi apa yang diberikan: titik pada garis, titik singgung, gradien garis, atau bentuk parabola, kemudian menyusun sistem persamaan berdasarkan dua kondisi fundamental garis singgung.
Ulasan Penutup
Dengan demikian, perjalanan untuk menemukan a+b dari persinggungan garis dan parabola tersebut telah tuntas. Nilai akhir, yaitu 1, bukanlah sekadar angka, melainkan buah dari penerapan dua syarat mutlak: garis harus melalui titik yang diberikan dan memiliki gradien yang sama dengan turunan parabola di titik tersebut. Soal seperti ini mengukuhkan pemahaman bahwa konsep turunan bukanlah abstraksi semata, melainkan alat yang ampuh untuk memecahkan masalah geometri yang nyata.
Pencarian ini meninggalkan pesan bahwa keindahan matematika sering kali terletak pada proses deduksi yang ketat yang mengarah pada kesimpulan yang sederhana namun penuh makna.
Informasi FAQ
Mengapa harus menggunakan turunan untuk menyelesaikan soal ini?
Karena turunan pertama dari fungsi parabola (y’=4x+1) memberikan rumus umum untuk gradien garis singgung di titik mana pun pada kurva. Syarat menyinggung adalah gradien garis (-3) harus sama dengan gradien parabola di titik singgung tersebut.
Apakah titik (-4,22) pasti merupakan titik singgung?
Ya, berdasarkan pernyataan soal. Titik (-4,22) diberikan sebagai titik yang dilalui garis dan juga sebagai titik di mana garis tersebut menyentuh (menyinggung) parabola.
Bagaimana jika soal hanya menyebutkan “menyentuh” dan bukan “menyinggung”, apakah penyelesaiannya berbeda?
Untuk parabola dan garis lurus, istilah “menyentuh” umumnya diartikan sama dengan “menyinggung”, yaitu bersinggungan di satu titik. Jika yang dimaksud adalah berpotongan di dua titik, biasanya digunakan istilah “memotong”.
Apakah nilai a dan b bisa ditemukan secara terpisah sebelum dijumlahkan?
Ya, prosedur penyelesaian sistem persamaan akan menghasilkan nilai a dan b secara individual (a=10 dan b=-9), baru kemudian dijumlahkan untuk mendapatkan a+b=1.
