Nilai a+b setelah rotasi 90° dan translasi garis y=2x+1 bukan sekadar angka acak, melainkan puncak dari sebuah petualangan matematika yang elegan. Topik ini mengajak kita menyelami dinamika transformasi geometri, di mana sebuah garis dapat diputar dan digeser, menciptakan persamaan baru dengan karakter yang berbeda. Seperti memecahkan teka-teki, proses ini menguji pemahaman kita tentang bagaimana aljabar dan geometri berpadu secara harmonis.
Mari kita telusuri perjalanan garis y=2x+1 yang mengalami rotasi terhadap titik asal, lalu mengalami pergeseran oleh suatu vektor. Setiap langkah transformasi akan mengubah gradien dan posisinya, menghasilkan bentuk akhir yang memuat parameter a dan b. Menjumlahkan kedua nilai tersebut menjadi tujuan akhir, sebuah simpulan numerik dari serangkaian operasi geometris yang sistematis dan penuh makna.
Pemahaman Dasar Transformasi Geometri pada Garis: Nilai A+b Setelah Rotasi 90° Dan Translasi Garis Y=2x+1
Transformasi geometri merupakan alat fundamental dalam matematika untuk memetakan suatu objek, termasuk garis lurus, ke posisi atau orientasi yang baru. Dua transformasi yang sering dijumpai adalah rotasi (perputaran) dan translasi (pergeseran). Memahami bagaimana kedua operasi ini memodifikasi persamaan garis sangat penting untuk menyelesaikan berbagai masalah analitis, termasuk menentukan nilai baru dari koefisien setelah transformasi beruntun diterapkan.
Konsep Rotasi dan Translasi pada Garis
Rotasi 90 derajat terhadap titik asal (0,0) mengubah koordinat setiap titik (x, y) pada garis. Untuk rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam, titik (x, y) akan berpindah ke posisi (-y, x). Sebaliknya, rotasi searah jarum jam memetakan (x, y) ke (y, -x). Perubahan ini berdampak langsung pada gradien garis. Sementara itu, translasi dengan vektor (p, q) adalah pergeseran paralel di mana setiap titik (x, y) bergeser menjadi (x + p, y + q).
Translasi tidak mengubah bentuk atau kemiringan garis, melainkan hanya menggeser posisinya secara utuh, yang termanifestasi sebagai perubahan pada konstanta dalam persamaan garis.
| Sifat Garis | Setelah Rotasi 90° | Setelah Translasi |
|---|---|---|
| Gradien/Kemiringan | Berubah. Garis yang semula miring menjadi tegak, datar, atau miring dengan nilai negatif resiprokal. | Tetap sama persis. |
| Posisi | Berubah, berputar mengelilingi titik pusat rotasi. | Berubah, bergeser sesuai arah dan besar vektor. |
| Bentuk & Panjang | Tetap (kongruen). | Tetap (kongruen). |
| Konstanta dalam Persamaan | Berubah secara signifikan. | Hanya konstanta (pada bentuk y = mx + c) yang berubah. |
Sebagai demonstrasi, ambil contoh garis sederhana y = 3x. Rotasi 90° berlawanan jarum jam terhadap (0,0) dilakukan dengan substitusi: x’ = -y dan y’ = x. Substitusi balik (x = y’ dan y = -x’) ke persamaan awal y = 3x menghasilkan -x’ = 3y’, atau y’ = -(1/3)x’. Jadi, persamaan hasil rotasinya adalah y = -(1/3)x. Translasi dengan vektor (2, -1) pada garis y = 3x dilakukan dengan mensubstitusi x’ = x – 2 dan y’ = y + 1 (karena translasi menggeser seluruh garis).
Persamaan menjadi y’ + 1 = 3(x’
- 2), yang disederhanakan menjadi y’ = 3x’
- 7.
Menentukan Persamaan Garis Hasil Rotasi 90 Derajat
Proses aljabar untuk merotasi garis memberikan kejelasan mekanis dibalik perubahan visual. Mari kita terapkan pada garis y = 2x + 1 dengan pusat rotasi di titik asal. Langkah-langkah ini bersifat sistematis dan dapat diaplikasikan pada persamaan garis linear lainnya.
Prosedur Aljabar Rotasi Garis y=2x+1
Untuk merotasi garis y = 2x + 1 sebesar 90 derajat berlawanan arah jarum jam terhadap (0,0), kita gunakan hubungan transformasi: x’ = -y dan y’ = x. Ini berarti koordinat lama (x, y) memenuhi y = 2x + 1, dan koordinat baru (x’, y’) berasal dari rotasi. Kita nyatakan x dan y dalam x’ dan y’: dari rumus di atas, didapat y = -x’ dan x = y’.
Menentukan nilai a+b setelah rotasi 90° dan translasi pada garis y=2x+1 memerlukan ketelitian operasi matriks, serupa dengan presisi saat Hitung Bruto, Neto, dan Tara Sekardus Air Mineral 48 Gelas yang membedakan berat kotor, bersih, dan kemasan. Keduanya adalah soal penerapan rumus secara akurat. Dalam konteks matematika, setelah melalui transformasi geometri itu, hasil akhir perhitungan a+b pun dapat diperoleh dengan pasti.
Substitusi kedua hubungan ini ke dalam persamaan garis awal: (-x’) = 2(y’) +
1. Persamaan ini kemudian diatur ulang menjadi bentuk eksplisit y’
y’ =
- (1/2)x’
- 1/2. Jadi, persamaan garis setelah rotasi adalah y =
- (1/2)x – 1/2.
- Rotasi 90° Berlawanan Jarum Jam: Dari y = 2x + 1 menjadi y =
-(1/2)x – 1/2. Gradien berubah dari 2 menjadi -1/2. - Rotasi 90° Searah Jarum Jam: Menggunakan hubungan x’ = y dan y’ = -x, hasil substitusi adalah -y’ = 2x’ + 1, atau y’ = -2x’
-1. Persamaannya y = -2x – 1. Gradien berubah dari 2 menjadi -2.
Secara visual, bayangkan garis awal y = 2x + 1 yang naik dengan curam. Setelah rotasi berlawanan jarum jam, garis tersebut akan memiliki kemiringan landai ke bawah, memotong sumbu Y di titik yang sama (-1/2). Rotasi searah jarum jam menghasilkan garis yang turun jauh lebih curam. Kedua garis hasil rotasi selalu tegak lurus secara geometris terhadap garis asal, yang tercermin dari hasil kali gradiennya: 2
(-1/2) = -1 untuk rotasi berlawanan jarum jam.
Menerapkan Translasi pada Garis yang Telah Dirotasi
Source: slidesharecdn.com
Setelah garis dirotasi, langkah selanjutnya adalah menggesernya. Translasi bekerja seperti menggeser seluruh bidang koordinat. Operasi ini bersifat linear dan efeknya terpusat pada modifikasi konstanta dalam persamaan garis, menjaga kemiringannya tetap tidak berubah.
Pengaruh Vektor Translasi terhadap Persamaan, Nilai a+b setelah rotasi 90° dan translasi garis y=2x+1
Misalkan vektor translasi umum adalah (a, b). Untuk menggeser sebuah garis, kita ganti setiap variabel x dengan (x – a) dan y dengan (y – b) dalam persamaan garis. Logikanya, jika seluruh sistem koordinat digeser sehingga titik (a, b) menjadi titik asal yang baru, maka koordinat lama (x, y) dinyatakan sebagai (x’ + a, y’ + b) dalam sistem baru.
Berikut adalah yang menunjukkan contoh penerapannya pada garis hasil rotasi y =(1/2)x – 1/
2.
Perhitungan nilai a+b setelah rotasi 90° dan translasi pada garis y=2x+1 mengungkap pola transformasi geometris yang sistematis. Prinsip keteraturan ini juga tampak dalam analisis biologi, misalnya saat mengamati Perbandingan Genotipe dan Fenotipe F2 pada Epistasis Gen Hitam dan Kuning , di mana interaksi gen menghasilkan rasio fenotipe yang dapat diprediksi. Demikian pula, dari operasi matematika tadi, kita dapat menentukan nilai akhir a+b dengan presisi berdasarkan aturan transformasi yang berlaku.
