Evaluasi Logaritma: 2log4 + 3log27 – 5log1 – 2log16, ai do hamu naeng pasidinghon tu angka na marsipature hita di bilangan logaritma on. Marhite hata na bisara, logaritma ma songon dia do angka pangkat na, asa boi ma hita manjou angka dasar i aso tubu angka na tinanda i. Sai tubu ma hamu pangantusion tu pangolahan ni angka na marlogika on.
Di portibion, bilangan na marotor do na gabe pokok ni parbinotoan. Logaritma, songon ²log 4 manang ³log 27, ndang na holsohang do, alai ima songon sada dalan na laho patandahon hubungan ni bilangan pangkat dohot basisna. Asa unang hita hea hea, sai hita jalo sian pangantusion i laho manaluhon parjoloan ni angka na adong di hamu.
Pengantar dan Konsep Dasar Logaritma
Sebelum kita menyelam ke dalam perhitungan yang spesifik, mari kita pahami dulu apa itu logaritma dengan cara yang sederhana. Bayangkan logaritma adalah sebuah detektif yang ahli dalam mengungkap eksponen. Jika dalam bentuk eksponen kita punya pertanyaan seperti “2 pangkat berapa hasilnya 8?”, maka logaritma adalah alat untuk menjawabnya secara langsung. Jadi, logaritma adalah kebalikan dari operasi pemangkatan.
Secara formal, jika kita punya a^b = c, maka bentuk logaritmanya adalah alog c = b. Di sini, ‘a’ disebut basis, dan ‘c’ disebut numerus. Ada dua syarat utama yang harus selalu dipenuhi: basis ‘a’ harus bilangan positif dan tidak sama dengan 1 (a > 0, a ≠ 1), dan numerus ‘c’ harus selalu bilangan positif (c > 0).
Memahami hubungan ini adalah kunci untuk membongkar semua soal logaritma.
Membaca Notasi Logaritma, Evaluasi Logaritma: 2log4 + 3log27 – 5log1 – 2log16
Notasi logaritma mungkin terlihat sedikit asing pada awalnya. Misalnya, ²log 4 dibaca “logaritma basis 2 dari 4”. Artinya, kita mencari pangkat berapa yang harus diberikan kepada angka 2 agar menghasilkan 4. Jawabannya adalah 2, karena 2^2 = 4. Begitu pula dengan ³log 27, yang bertanya “3 pangkat berapa hasilnya 27?”.
Jawabannya 3, karena 3^3 = 27. Dengan latihan, membaca notasi ini akan menjadi seperti bahasa kedua bagi kita.
Sifat-Sifat Logaritma yang Relevan
Untuk mengevaluasi ekspresi yang melibatkan beberapa logaritma seperti pada soal kita, kita tidak perlu menghitung satu per satu dengan kembali ke definisi setiap saat. Beberapa sifat logaritma akan sangat mempermudah pekerjaan. Sifat-sifat ini pada dasarnya adalah “aturan main” yang berasal dari sifat-sifat eksponen, yang membuat operasi aljabar pada logaritma menjadi mungkin.
Berikut adalah tabel yang merangkum sifat-sifat paling relevan yang akan kita gunakan:
| Sifat | Rumus | Contoh Numerik | Penjelasan Singkat |
|---|---|---|---|
| Logaritma dari suatu pangkat | alog bn = n × alog b | ²log 16 = ²log 24 = 4 × ²log 2 = 4 | Jika numerus adalah pangkat, eksponennya bisa “turun” menjadi pengali. |
| Logaritma dengan numerus 1 | alog 1 = 0 | ⁵log 1 = 0, ¹⁰⁰log 1 = 0 | Berapapun basisnya (asalkan valid), pangkat 0 selalu hasilnya 1. |
| Penjumlahan Logaritma (basis sama) | alog b + alog c = alog (b×c) | ²log 4 + ²log 8 = ²log (4×8) = ²log 32 | Penjumlahan dua log dengan basis sama setara dengan log dari perkalian numerusnya. |
| Pengurangan Logaritma (basis sama) | alog b – alog c = alog (b÷c) | ²log 32 – ²log 8 = ²log (32÷8) = ²log 4 | Pengurangan dua log dengan basis sama setara dengan log dari pembagian numerusnya. |
Sebagai pemanasan, coba terapkan sifat “logaritma dari suatu pangkat” untuk menghitung ²log 8. Kita tahu 8 = 2^3, sehingga ²log 8 = ²log 2^3 = 3 × ²log 2. Karena ²log 2 = 1, maka hasil akhirnya adalah 3. Pendekatan ini jauh lebih efisien daripada bertanya “2 pangkat berapa yang hasilnya 8?” secara langsung, terutama untuk angka yang lebih besar.
Evaluasi Langkah demi Langkah Ekspresi Logaritma: Evaluasi Logaritma: 2log4 + 3log27 – 5log1 – 2log16
Sekarang, mari kita terapkan pengetahuan kita untuk membongkar ekspresi utama: ²log4 + ³log27 – ⁵log1 – ²log16. Strategi terbaik adalah mengevaluasi setiap suku secara terpisah, mengubahnya menjadi bilangan biasa, baru kemudian melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan aritmatika sederhana.
Berikut adalah proses langkah demi langkahnya:
- Suku Pertama: ²log4
Kita tanyakan: 2 pangkat berapa sama dengan 4? Jawabannya adalah 2, karena 2^2 = 4. Jadi, ²log4 = 2. - Suku Kedua: ³log27
Kita tanyakan: 3 pangkat berapa sama dengan 27? Jawabannya adalah 3, karena 3^3 = 27. Jadi, ³log27 = 3. - Suku Ketiga: ⁵log1
Ini adalah kasus khusus. Berapapun basisnya (selama valid), pangkat 0 selalu menghasilkan 1. Jadi, 5^0 = 1. Dengan demikian, ⁵log1 = 0. - Suku Keempat: ²log16
Kita tanyakan: 2 pangkat berapa sama dengan 16? Jawabannya adalah 4, karena 2^4 = 16. Jadi, ²log16 = 4.
Setelah semua suku dievaluasi, ekspresi awal berubah menjadi: 2 + 3 – 0 –
4. Melakukan operasi aritmatika dari kiri ke kanan: 2 + 3 = 5; 5 – 0 = 5; 5 – 4 = 1. Jadi, hasil akhir dari evaluasi ekspresi logaritma tersebut adalah 1.
Visualisasi Proses Penyelesaian dan Verifikasi
Proses penyelesaiannya dapat divisualisasikan sebagai sebuah jalur linier yang jelas. Bayangkan sebuah garis yang dimulai dari ekspresi logaritma kompleks. Setiap suku dipecah dan ditransformasi menjadi bilangan bulat melalui pertanyaan mendasar tentang hubungan eksponen. Keempat bilangan bulat itu kemudian berkumpul dan dihubungkan oleh operasi aritmatika (+ dan -) yang sudah sangat kita kenal, mengalir hingga ke hasil akhir, yaitu angka 1.
Tips Kritis: Perhatikan baik-baik tanda operasi. Sifat penggabungan logaritma (penjumlahan menjadi perkalian, pengurangan menjadi pembagian) hanya berlaku jika basis logaritmanya sama. Dalam soal kita, basisnya berbeda-beda (2, 3, 5), sehingga kita tidak bisa menggabungkan mereka dengan sifat itu. Evaluasi per suku adalah strategi yang paling aman dan langsung.
Untuk memverifikasi, kita bisa kembali ke definisi. Misalnya, kita ragu dengan ²log16 =
4. Kita verifikasi dengan membalik proses: jika ²log16 = 4, maka seharusnya 2^4 = 16. Hitung 2 × 2 × 2 × 2, dan memang hasilnya 16. Verifikasi seperti ini bisa dilakukan untuk setiap suku, memastikan tidak ada kesalahan konseptual dalam langkah kita.
Aplikasi dan Variasi Soal Serupa
Setelah menguasai bentuk dasar, kita bisa mencoba variasi soal lain untuk mengasah pemahaman. Polanya seringkali serupa: identifikasi suku-suku, evaluasi masing-masing (dengan memanfaatkan sifat atau definisi), lalu lakukan operasi aritmatika sisa. Berikut tiga contoh dengan tingkat kesulitan berbeda.
| Bentuk Soal | Sifat Dominan | Langkah Kunci | Hasil Akhir |
|---|---|---|---|
| ⁴log64 + ⁷log1 – ²log8 | Log dari Pangkat, Log dari 1 | ⁴log64 = ⁴log4³ = 3; ⁷log1 = 0; ²log8 = ²log2³ = 3. | 3 + 0 – 3 = 0 |
| ⁵log100 – ⁵log4 | Pengurangan Log (basis sama) | Gabungkan: ⁵log(100/4) = ⁵log25. Lalu, ⁵log25 = ⁵log5² = 2. | 2 |
| ²log(1/8) + ³log9 + ¹⁰log10 | Log dari Pecahan (pangkat negatif), Log dari bilangan itu sendiri | ²log(2⁻³) = -3; ³log3² = 2; ¹⁰log10 = 1. | -3 + 2 + 1 = 0 |
Pola yang mirip dengan soal utama kita terlihat pada contoh pertama dan ketiga: campuran logaritma dengan basis berbeda yang dievaluasi satu per satu, kemudian dijumlahkan/dikurangi. Contoh kedua menunjukkan efisiensi ketika basisnya sama, kita bisa menggabungkan terlebih dahulu sebelum mengevaluasi.
Kesalahan Umum dan Pemahaman Mendalam
Beberapa jebakan sering menghadang saat mengevaluasi ekspresi logaritma. Salah satunya adalah terburu-buru menggabungkan logaritma dengan basis yang berbeda, misalnya mencoba menjumlahkan ²log4 dengan ³log27 langsung menggunakan sifat. Itu tidak diperbolehkan. Kesalahan lain adalah lupa bahwa pengurangan berlaku dari kiri ke kanan, sehingga urutan operasi sangat penting. Ekspresi 2 + 3 – 0 – 4 tidak sama dengan 2 + 3 – (0 – 4).
Pemahaman mendalam mengapa ⁵log1 = 0 sangat krusial. Ini bukan sekadar hafalan. Ini berasal dari fakta mendasar dalam eksponen: setiap bilangan (kecuali 0) yang dipangkatkan 0 hasilnya adalah
1. Jadi, pertanyaan “5 pangkat berapa hasilnya 1?” hanya memiliki satu jawaban logis: pangkat 0. Hal ini berlaku universal untuk semua basis a > 0 dan a ≠ 1, membuat alog 1 selalu menjadi 0, sebuah titik tetap dalam dunia logaritma.
Urutan operasi dalam ekspresi campuran seperti ini mengikuti aturan aritmatika biasa. Logaritma yang telah dievaluasi menjadi bilangan biasa kehilangan “identitas” logaritmanya dalam langkah selanjutnya. Oleh karena itu, setelah kita mendapatkan 2, 3, 0, dan 4, kita hanya berurusan dengan penjumlahan dan pengurangan bilangan-bilangan tersebut. Memisahkan fase “evaluasi logaritma” dan fase “operasi aritmatika” secara tegas dalam pikiran akan menghindarkan banyak kesalahan.
Terakhir
Jadi ma di ujung ni parbinotoan on, sai mulak ma hita tu hasintongan i. Hasil ni Evaluasi Logaritma: 2log4 + 3log27 – 5log1 – 2log16 ima nol, olo do na mardongan roha. Ndang pola do hita hea mangalului, alai marhite sifat na sintong dohot urutan na denggan, sai togu ma dapotna. Sai gabe parsinabul ni hita ma angka on, na boi do tongtong ta pakke di angka na mangihut di portibion.
Kumpulan FAQ
Apa arti tanda minus di depan logaritma seperti – ²log16?
Tanda minus itu berlaku untuk seluruh nilai logaritma setelahnya. Jadi,
-²log16 berarti kita mengurangkan nilai dari ²log16, bukan bagian dari notasi logaritmanya.
Apakah ⁵log1 selalu sama dengan 0 untuk basis berapapun?
Ya, asalkan basisnya bilangan positif dan tidak sama dengan 1. Ini karena setiap bilangan (kecuali 0) dipangkatkan 0 hasilnya adalah 1, sehingga logaritma dari 1 dengan basis berapa pun yang valid adalah 0.
Bagaimana jika urutan penjumlahan dan pengurangannya diubah?
Hasil akhirnya akan tetap sama karena operasi penjumlahan dan pengurangan bersifat komutatif (dapat ditukar urutannya) selama tanda plus dan minus untuk setiap suku tetap melekat. Contoh: 2 + 3 – 1 – 4 sama dengan 3 + 2 – 4 – 1.
Apakah soal ini bisa diselesaikan tanpa menghitung setiap logaritma terlebih dahulu?
Bisa, dengan menggabungkan suku yang basisnya sama menggunakan sifat penjumlahan/pengurangan logaritma. Misalnya: ²log4 – ²log16 = ²log(4/16) = ²log(1/4) = -2. Lalu ditambah ³log27 (yaitu 3) dan dikurangi ⁵log1 (yaitu 0), hasilnya 1.
