Garis Singgung Kurva y=-2x^2+6x+7 Tegak Lurus x-2y+13=0 bukan sekadar deretan angka dan variabel, melainkan sebuah cerita pertemuan elegan antara lengkungan parabola dan garis lurus. Dalam dunia matematika, momen ketika sebuah garis hanya menyentuh kurva di satu titik, apalagi dengan syarat tegak lurus yang ketat, ibarat menemukan keselarasan sempurna antara dua entitas yang berbeda. Persoalan ini mengajak kita menyelami keindahan kalkulus dan geometri analitik, di mana konsep turunan dan gradien berpadu untuk mengungkap koordinat rahasia tersebut.
Melalui analisis terhadap persamaan parabola y = -2x² + 6x + 7 dan garis x – 2y + 13 = 0, kita akan menjabarkan langkah demi langkah untuk menemukan garis singgung yang memenuhi syarat tegak lurus. Prosesnya melibatkan pencarian turunan fungsi, penerapan hubungan gradien garis yang saling tegak lurus, dan pemecahan persamaan untuk mengungkap titik singgung yang tepat. Setiap langkah merupakan petualangan logika yang mempertemukan aljabar dan visualisasi geometris.
Pendahuluan dan Konsep Dasar
Sebelum kita menyelami perhitungan, mari kita pahami dulu dua ide pokok yang menjadi fondasi pemecahan soal ini. Pertama, tentang garis singgung. Garis singgung pada suatu kurva di titik tertentu adalah garis lurus yang hanya menyentuh kurva di titik itu, tanpa memotongnya di sekitar titik tersebut. Sifat pentingnya, gradien atau kemiringan garis singgung ini sama dengan nilai turunan pertama fungsi kurva di titik singgungnya.
Kedua, tentang hubungan tegak lurus. Dua garis dikatakan saling tegak lurus jika hasil kali gradien keduanya sama dengan -1. Jika garis pertama bergradien m1 dan garis kedua bergradien m2, maka syarat tegak lurusnya adalah m1 × m2 = -1. Konsep ini akan menjadi kunci untuk menyelesaikan persoalan kita.
Bentuk Umum Persamaan Garis dan Gradien
Persamaan garis lurus dapat dinyatakan dalam beberapa bentuk, namun yang paling umum adalah y = mx + c, di mana m adalah gradien dan c adalah konstanta yang menunjukkan perpotongan dengan sumbu-y. Gradien menunjukkan tingkat kemiringan garis; semakin besar nilainya, semakin curam garis tersebut. Untuk persamaan garis yang belum dalam bentuk tersebut, kita bisa mengubahnya untuk menemukan m.
Contoh: Cari gradien garis dengan persamaan 3x + 4y =
12. Ubah ke bentuk y = mx + c
4y = -3x + 12 → y = (-3/4)x + 3. Jadi, gradien garis tersebut adalah m = -3/4.
Analisis Persamaan yang Diberikan
Sekarang, mari kita telaah kedua persamaan yang diberikan dalam soal. Kita memiliki sebuah garis lurus dan sebuah kurva parabola. Memahami karakteristik masing-masing akan memudahkan langkah selanjutnya.
Gradien Garis Lurus x – 2y + 13 = 0
Kita perlu mengidentifikasi gradien garis ini, karena garis singgung yang kita cari harus tegak lurus dengannya. Mari kita ubah persamaan ke bentuk y = mx + c.
x – 2y + 13 = 0 dapat ditulis menjadi -2y = -x – 13. Selanjutnya, bagi kedua ruas dengan -2, sehingga diperoleh y = (1/2)x + (13/2). Dari sini terlihat jelas bahwa gradien garis ini, sebut saja m g, adalah 1/2.
Karakteristik Kurva Parabola y = -2x² + 6x + 7
Persamaan y = -2x² + 6x + 7 menggambarkan sebuah parabola. Koefisien x² bernilai negatif (-2), sehingga parabola ini terbuka ke bawah, memiliki titik puncak (maksimum). Untuk mengetahui lebih detail, kita bisa mencari titik puncaknya, namun untuk tujuan mencari garis singgung, konsep turunan akan lebih kita andalkan.
| Unsur | Garis: x – 2y + 13 = 0 | Kurva: y = -2x² + 6x + 7 |
|---|---|---|
| Jenis | Garis Lurus | Parabola (Fungsi Kuadrat) |
| Gradien/Kemiringan | Konstan: m = 1/2 | Berubah di setiap titik (bergantung pada x) |
| Ciri Khas | Lurus tanpa lengkungan | Melengkung, memiliki titik puncak |
| Alat Analisis | Aljabar Linear | Kalkulus (Turunan) |
Menentukan Gradien Garis Singgung
Garis singgung adalah garis lurus, jadi ia pasti memiliki gradien. Pertanyaannya, bagaimana cara menemukan gradien garis yang hanya menyinggung sebuah kurva yang melengkung? Jawabannya terletak pada konsep turunan.
Turunan Pertama sebagai Fungsi Gradien
Turunan pertama dari fungsi y terhadap x (ditulis y’ atau dy/dx) memberikan kita rumus untuk menghitung gradien garis singgung di sembarang titik (x, y) pada kurva. Untuk fungsi parabola kita, y = -2x² + 6x + 7, turunan pertamanya adalah:
y’ = d/dx (-2x² + 6x + 7) = -4x + 6.
Artinya, gradien garis singgung di titik dengan koordinat x tertentu, sebut saja m s(x), adalah m s(x) = -4x + 6. Nilai ini tidak konstan, melainkan bergantung pada posisi x titik singgungnya.
Syarat Tegak Lurus
Source: amazonaws.com
Kita telah mengetahui gradien garis yang diketahui, m g = 1/
2. Garis singgung yang kita cari, dengan gradien m s, harus tegak lurus terhadap garis tersebut. Berdasarkan syarat tegak lurus, kita punya hubungan:
ms × m g = -1
m s × (1/2) = -1
m s = -2
Jadi, gradien garis singgung yang kita cari haruslah bernilai –
2. Ini adalah informasi krusial. Karena m s juga sama dengan -4x + 6, maka kita dapat menyusun persamaan: -4x + 6 = -2.
Mencari Titik Singgung pada Kurva
Dengan menemukan hubungan m s = -2, kita sekarang bisa mencari titik tepat di mana garis dengan gradien -2 itu menyinggung parabola. Titik ini, yang disebut titik singgung, harus memenuhi dua syarat: berada pada kurva dan memiliki gradien singgung -2.
Menghitung Koordinat x Titik Singgung
Kita gabungkan informasi dari turunan dan syarat tegak lurus. Dari persamaan m s = -4x + 6 dan m s = -2, kita peroleh:
-4x + 6 = -2
-4x = -8
x = 2
Nilai x = 2 ini adalah absis dari titik singgung yang kita cari. Artinya, di titik dengan x=2 pada parabola, gradien garis singgungnya adalah -2, yang memang tegak lurus dengan garis yang gradiennya 1/2.
Menghitung Koordinat y Titik Singgung
Setelah mendapatkan x = 2, kita substitusikan nilai ini ke dalam persamaan parabola awal untuk mendapatkan ordinat (y) dari titik singgung.
y = -2(2)² + 6(2) + 7
y = -2(4) + 12 + 7
y = -8 + 12 + 7
y = 11
Dengan demikian, koordinat titik singgungnya adalah (2, 11). Titik inilah yang akan dilalui oleh garis singgung yang kita cari.
Menentukan persamaan garis singgung kurva y = -2x² + 6x + 7 yang tegak lurus dengan garis x – 2y + 13 = 0 memang memerlukan pemahaman mendalam tentang gradien. Konsep ini serupa dengan logika saat kita mencari Persamaan Garis Melalui Titik (-3,6) dan (1,4) , di mana kemiringan garis menjadi kunci utamanya. Dengan menguasai prinsip dasar itu, kita bisa lebih mudah menemukan titik singgung dan merumuskan garis singgung yang dimaksud pada kurva parabola tersebut.
| Langkah | Proses | Hasil |
|---|---|---|
| 1 | Mencari gradien garis diketahui (mg) | mg = 1/2 |
| 2 | Menentukan syarat gradien garis singgung (ms) | ms × (1/2) = -1 → ms = -2 |
| 3 | Menyamakan ms dengan turunan y’ | -4x + 6 = -2 |
| 4 | Menyelesaikan persamaan untuk x | x = 2 |
| 5 | Substitusi x ke persamaan kurva untuk y | y = 11 |
| 6 | Koordinat Titik Singgung | (2, 11) |
Merumuskan Persamaan Garis Singgung
Kita sudah memiliki semua bahan yang diperlukan: sebuah titik (2, 11) dan sebuah gradien (-2). Sekarang, kita tinggal merangkainya menjadi persamaan garis lurus. Rumus yang dapat digunakan adalah y – y 1 = m(x – x 1), di mana (x 1, y 1) adalah titik yang dilalui.
Penerapan Rumus Titik-Gradien, Garis Singgung Kurva y=-2x^2+6x+7 Tegak Lurus x-2y+13=0
Substitusikan nilai yang kita miliki: x 1 = 2, y 1 = 11, dan m = -2.
y – 11 = -2(x – 2)
y – 11 = -2x + 4
y = -2x + 4 + 11
y = -2x + 15
Atau, kita bisa juga menuliskannya dalam bentuk umum: 2x + y – 15 = 0. Inilah persamaan garis singgung yang tegak lurus terhadap garis x – 2y + 13 = 0.
Perbandingan dan Verifikasi Hubungan Tegak Lurus
Mari kita bandingkan kedua persamaan garis untuk memverifikasi bahwa mereka benar-benar tegak lurus. Garis pertama (yang diketahui) memiliki gradien 1/
2. Garis kedua (hasil) memiliki gradien –
2. Hasil kali gradiennya: (1/2) × (-2) = -1. Syarat tegak lurus terpenuhi.
Garis Diketahui: y = (1/2)x + 13/2 (m = 1/2)
Garis Singgung Hasil: y = -2x + 15 (m = -2)
Verifikasi: (1/2) × (-2) = -1 → Terbukti tegak lurus.Menentukan garis singgung kurva y=-2x²+6x+7 yang tegak lurus dengan garis x-2y+13=0 membutuhkan pemahaman konsep gradien yang tepat. Sama halnya dalam memahami agama, ketelitian dibutuhkan untuk membedakan makna penting seperti Perbedaan Imam dan Iman. Kembali ke soal matematika, setelah gradien garis singgung diketahui, langkah selanjutnya adalah mencari titik singgungnya pada kurva untuk menemukan persamaan akhirnya.
Visualisasi dan Interpretasi Geometris
Bayangkan sebuah parabola yang terbuka ke bawah, dengan puncaknya berada di suatu titik di atas sumbu-x. Kurva y = -2x² + 6x + 7 ini akan memotong sumbu-y di titik (0,7). Lalu, ada sebuah garis lurus dengan kemiringan landai ke atas (gradien 1/2) yang mungkin berada di sekitar parabola.
Di sisi lain, garis singgung yang kita temukan, y = -2x + 15, adalah garis dengan kemiringan curam ke bawah (gradien -2). Garis ini akan menyentuh parabola persis di satu titik, yaitu (2, 11), tanpa memotongnya di sekitar titik itu. Jika kita gambarkan, garis singgung ini dan garis x – 2y + 13 = 0 akan berpotongan membentuk sudut siku-siku (90 derajat).
Posisi Titik Singgung pada Parabola
Titik singgung (2, 11) memiliki makna geometris yang menarik. Untuk parabola yang terbuka ke bawah, gradien garis singgung akan berkurang seiring dengan bergerak dari kiri ke kanan menuju puncak. Nilai gradien -2 menunjukkan bahwa titik ini berada di sisi kanan puncak parabola (karena gradiennya sudah negatif). Jika kita hitung, titik puncak parabola ini berada di x = -b/(2a) = -6/(2*-2) = 1.5, dengan y = -2(1.5)² + 6(1.5) + 7 = 11.5.
Jadi, titik singgung (2, 11) memang berada di sebelah kanan dan sedikit di bawah titik puncak (1.5, 11.5).
Pembahasan Variasi Soal Terkait
Konsep yang telah kita pelajari dapat diterapkan dalam berbagai variasi soal. Memahami pola dasarnya memungkinkan kita untuk menyelesaikan masalah-masalah serupa dengan efisien.
Prosedur untuk Syarat Sejajar
Jika soal meminta garis singgung yang sejajar dengan suatu garis tertentu, maka syaratnya menjadi lebih sederhana: gradien garis singgung (m s) harus sama dengan gradien garis yang diketahui (m g). Langkah-langkah selanjutnya tetap sama: samakan m s = m g dengan turunan y’, cari nilai x, lalu cari titik dan persamaan garis singgungnya.
Jumlah Garis Singgung yang Memenuhi Syarat
Pada suatu parabola, untuk sebuah gradien m tertentu yang diberikan dari syarat tegak lurus atau sejajar, biasanya hanya akan ada satu garis singgung yang memenuhi. Hal ini karena persamaan m s = -4x + 6 = [nilai tertentu] adalah persamaan linear dalam x, yang umumnya hanya memiliki satu solusi. Berbeda dengan lingkaran, di mana dari sebuah titik di luar bisa ditarik dua garis singgung.
Penerapan dalam Masalah Optimasi
Konsep garis singgung dengan gradien nol (m=0) sangat erat kaitannya dengan masalah optimasi, yaitu mencari nilai maksimum atau minimum suatu fungsi. Pada parabola kita, titik puncak adalah titik di mana garis singgungnya mendatar (gradien=0). Jika kita diminta mencari luas maksimum suatu area atau keuntungan tertinggi dengan model fungsi kuadrat, pada dasarnya kita sedang mencari titik di mana garis singgungnya mendatar, yaitu dengan menyelesaikan y’ = 0.
Penutupan Akhir: Garis Singgung Kurva Y=-2x^2+6x+7 Tegak Lurus X-2y+13=0
Dari rangkaian analisis yang dilakukan, terlihat betapa konsep turunan berperan sebagai kunci utama dalam memecahkan misteri titik singgung pada kurva. Penemuan persamaan garis singgung yang tegak lurus itu bukan akhir, melainkan sebuah pintu yang membuka pemahaman lebih dalam tentang hubungan dinamis antara bentuk kurva dan garis. Penerapan syarat tegak lurus m1
– m2 = -1 telah membimbing kita pada solusi yang elegan, mengajarkan bahwa dalam matematika, seringkali keteraturan dan ketepatanlah yang menghasilkan keindahan.
Eksplorasi semacam ini tidak hanya mengasah ketrampilan matematis, tetapi juga melatih ketelitian dan pola pikir terstruktur dalam menyelesaikan masalah yang kompleks.
Mencari garis singgung kurva y=-2x²+6x+7 yang tegak lurus dengan garis x-2y+13=0 memerlukan ketelitian dalam menghitung gradien dan titik singgung. Proses perhitungan yang detail ini serupa dengan ketepatan yang dibutuhkan saat Menghitung Luas Kolam Lingkaran dengan Keliling 176 m dan Φ=22/7 , di mana setiap langkah menentukan hasil akhir. Kembali ke soal awal, setelah gradien garis singgung diketahui, langkah selanjutnya adalah mensubstitusikannya ke dalam persamaan kurva untuk menemukan titik singgung yang tepat.
Informasi Penting & FAQ
Apakah selalu ada garis singgung yang tegak lurus terhadap suatu garis tertentu untuk sembarang kurva?
Tidak selalu. Keberadaan solusi bergantung pada bentuk kurva dan gradien garis acuan. Pada parabola, umumnya ada solusi, tetapi untuk kurva lain atau posisi garis tertentu, bisa saja tidak ditemukan titik yang memenuhi syarat.
Bagaimana jika garis yang diberikan sejajar sumbu koordinat, misalnya x = 5?
Jika garis acuan vertikal (x = c), gradiennya tak terdefinisi. Garis singgung yang tegak lurus terhadapnya haruslah garis horizontal dengan gradien 0. Pencarian titik singgung pun akan menggunakan kondisi y’ = 0.
Apakah mungkin ada lebih dari satu garis singgung pada kurva yang tegak lurus terhadap satu garis yang sama?
Ya, sangat mungkin. Banyaknya solusi bergantung pada orde kurva. Pada persamaan kuadrat (parabola), maksimal ada dua garis singgung yang memenuhi. Jumlah titik potong antara kurva y’ (turunan) dengan nilai gradien target akan menentukan banyaknya solusi.
Dapatkah konsep ini diterapkan dalam masalah dunia nyata?
Tentu. Konsep mencari garis singgung dengan gradien tertentu banyak digunakan dalam optimasi, fisika (misalnya mencari sudut tumbukan), dan teknik untuk merancai kemiringan yang diinginkan pada suatu titik di lengkungan jalan atau rel.
