Persamaan Garis Singgung Grafik y=x²-4x+3 Sejajar y=2x+3 adalah sebuah persoalan klasik dalam kalkulus diferensial yang menggabungkan konsep turunan dengan geometri analitik. Topik ini tidak hanya menguji pemahaman tentang gradien dan kedudukan dua garis tetapi juga menerapkan konsep tersebut untuk menyelesaikan masalah nyata pada kurva parabola.
Inti dari pencarian ini adalah menemukan garis yang hanya menyentuh kurva parabola di satu titik tepat dan memiliki kemiringan yang identik dengan garis referensi, yaitu y=2x+3. Prosesnya melibatkan penggunaan turunan pertama fungsi untuk mendapatkan rumus gradien garis singgung di setiap titik pada kurva, yang kemudian disamakan dengan gradien garis yang diketahui.
Memahami Masalah dan Konsep Dasar: Persamaan Garis Singgung Grafik Y=x²-4x+3 Sejajar Y=2x+3
Sebelum menyelami perhitungan, penting untuk membangun fondasi pemahaman yang kokoh tentang konsep-konsep kunci yang terlibat. Inti dari masalah ini terletak pada hubungan geometris antara sebuah kurva dan garis lurus, serta syarat-syarat aljabar yang membuat hubungan tersebut terjadi.
Gradien atau kemiringan suatu garis lurus, sering dilambangkan dengan huruf m, merupakan ukuran untuk menunjukkan seberapa curam garis tersebut. Dalam persamaan garis bentuk y = mx + c, nilai m inilah yang menjadi gradiennya. Dua garis dikatakan sejajar jika dan hanya jika mereka memiliki nilai gradien yang persis sama. Ini adalah syarat mutlak yang tidak bisa ditawar. Sementara itu, garis singgung adalah sebuah garis lurus yang hanya menyentuh suatu kurva pada satu titik tertentu tanpa memotongnya.
Gradien dari garis singgung ini pada titik singgungnya dapat ditemukan menggunakan konsep turunan. Turunan pertama dari suatu fungsi, ditulis sebagai y’ atau dy/dx, secara geometris merepresentasikan gradien garis singgung kurva pada titik mana pun.
Konsep Gradien dan Turunan
Turunan fungsi menjadi alat kalkulus yang powerful untuk menentukan kemiringan sesaat sebuah kurva. Untuk fungsi kuadrat seperti dalam masalah ini, proses menurunkan fungsi polinomial cukup straightforward. Nilai yang dihasilkan dari turunan pertama ini kemudian menjadi kunci untuk menemukan titik-titik di mana garis singgung memiliki kemiringan tertentu, yang dalam hal ini disamakan dengan gradien garis yang diberikan.
Menganalisis Persamaan yang Diberikan
Langkah pertama dalam solusi adalah melakukan analisis mendalam terhadap kedua persamaan yang menjadi subjek masalah. Analisis ini bertujuan untuk mengidentifikasi besaran-besaran penting yang akan digunakan dalam perhitungan selanjutnya.
Dari persamaan garis y = 2x + 3, kita dapat langsung membaca bahwa nilai gradiennya adalah m = 2. Selanjutnya, untuk fungsi kuadrat y = x²
-4x + 3 , kita cari turunan pertamanya. Aturan turunan untuk polinomial adalah mengalikan koefisien dengan pangkatnya dan kemudian mengurangi pangkatnya satu. Dengan demikian, turunan dari x² adalah 2x, turunan dari -4x adalah -4, dan turunan dari konstanta 3 adalah 0.
Mencari persamaan garis singgung grafik y=x²-4x+3 yang sejajar dengan y=2x+3 mengharuskan kita memahami konsep gradien yang sama. Proses ekshalasi dalam bernapas, di mana terjadi Perubahan Paru‑paru Saat Menghembuskan Nafas , juga mengikuti prinsip perubahan yang terukur. Kembali ke matematika, gradien garis singgung tersebut adalah 2, dan titik singgungnya ditemukan dengan menurunkan fungsi parabola.
Jadi, turunan pertamanya adalah y’ = 2x – 4. Karena garis singgung harus sejajar dengan y = 2x + 3, maka gradien garis singgung (y’) harus sama dengan 2.
Perbandingan Komponen Persamaan, Persamaan Garis Singgung Grafik y=x²-4x+3 Sejajar y=2x+3
Berikut adalah tabel yang merangkum analisis terhadap kedua persamaan untuk memberikan gambaran yang lebih jelas.
| Komponen | Garis y = 2x + 3 | Fungsi y = x² – 4x + 3 |
|---|---|---|
| Jenis | Garis Lurus | Fungsi Kuadrat (Parabola) |
| Gradien (m) | 2 | y’ = 2x – 4 |
| Intercept Sumbu-Y | (0, 3) | (0, 3) |
Menemukan Titik Singgung pada Kurva
Setelah mengetahui bahwa gradien garis singgung harus bernilai 2, langkah selanjutnya adalah menemukan koordinat titik tepat di mana kurva parabola memiliki garis singgung dengan kemiringan tersebut. Titik inilah yang nantinya akan digunakan untuk membentuk persamaan garis lurusnya.
Kita menyamakan turunan fungsi yang telah ditemukan dengan nilai gradien yang diinginkan. Persamaannya menjadi 2x – 4 = 2. Penyelesaian persamaan linear ini akan memberikan nilai x dari titik singgung. Selanjutnya, nilai x ini disubstitusikan kembali ke dalam persamaan fungsi kuadrat awal untuk mendapatkan nilai y yang bersesuaian. Prosedur ini akan memberikan kita koordinat titik singgung (x₁, y₁) yang lengkap.
Contoh Perhitungan Mencari Titik Singgung
Berikut adalah demonstrasi langkah demi langkah perhitungan aljabar untuk menemukan titik singgung.
Mencari nilai x:
y’ = m
- x – 4 = 2
- x = 2 + 4
- x = 6
x = 3
Mencari nilai y:
Substitusikan x = 3 ke dalam y = x²4x + 3
y = (3)²
4(3) + 3
y = 9 – 12 + 3
y = 0Jadi, titik singgungnya adalah (3, 0).
Merumuskan Persamaan Garis Singgung
Dengan titik singgung (3, 0) dan gradien m = 2 yang telah diketahui, semua komponen yang diperlukan untuk membentuk persamaan garis lurus sudah lengkap. Rumus yang digunakan adalah persamaan garis yang melalui satu titik dengan gradien tertentu.
Rumus dasar yang digunakan adalah y – y₁ = m(x – x₁). Substitusikan nilai-nilai yang kita miliki ke dalam rumus ini. Selanjutnya, lakukan manipulasi aljabar untuk menyederhanakan persamaan tersebut ke dalam bentuk yang paling umum, yaitu y = mx + c. Verifikasi akhir sangat dianjurkan dengan memastikan bahwa gradien dari persamaan garis singgung yang baru memang benar-benar sama dengan 2.
Dalam mencari persamaan garis singgung grafik y=x²-4x+3 yang sejajar dengan y=2x+3, prinsip kesetaraan gradien menjadi kunci, mencerminkan semangat keadilan sosial bagi seluruh rakyat Indonesia yang tertuang dalam Sila Kelima Pancasila. Nilai ini sejalan dengan konsep matematika di mana setiap titik pada kurva memiliki garis singgung dengan kemiringan yang adil dan setara, menuntun kita pada solusi yang tepat dan berkeadilan untuk persoalan ini.
Prosedur Perumusan Persamaan
- Gunakan rumus persamaan garis: y – y₁ = m(x – x₁).
- Substitusikan nilai x₁ = 3, y₁ = 0, dan m = 2 ke dalam rumus.
- Lakukan penyederhanaan: y – 0 = 2(x – 3) → y = 2x – 6.
- Persamaan garis singgungnya adalah y = 2x – 6.
- Verifikasi: Gradien dari y = 2x – 6 adalah 2, yang sama dengan gradien garis y = 2x + 3. Dengan demikian, kedua garis ini pasti sejajar.
Visualisasi Grafik dan Interpretasi
Source: studyx.ai
Menyelesaikan persamaan garis singgung grafik y=x²-4x+3 yang sejajar dengan y=2x+3 memerlukan pemahaman konseptual yang mendalam, layaknya kemampuan mengidentifikasi berbagai Sebutkan 5 Jenis Karangan Beserta Penjelasannya dalam dunia literasi. Keduanya sama-sama menuntut ketelitian dalam menerapkan aturan dasar, di mana pada matematika kita mencari gradien dan titik singgung untuk kemudian merumuskan jawaban akhir yang akurat dan tepat.
Pemahaman secara visual seringkali dapat memberikan insight yang lebih dalam dibandingkan hanya angka dan rumus. Bayangkan sebuah parabola yang terbuka ke atas karena koefisien x² positif. Kurva y = x²
-4x + 3 memotong sumbu-y di titik (0,3) dan memotong sumbu-x di titik (1,0) dan (3,0), yang dapat ditemukan dengan memfaktorkan persamaan tersebut menjadi (x-1)(x-3)=0.
Pada titik (3,0), ditarik sebuah garis singgung terhadap parabola. Garis ini, dengan persamaan y = 2x – 6, akan terlihat lurus dan hanya menyentuh parabola di titik tersebut. Secara visual, garis y = 2x + 3 dan y = 2x – 6 akan tampak sebagai dua garis yang benar-benar sejajar, memiliki kemiringan yang identik tetapi hanya berbeda di pergeseran vertikalnya (intercept sumbu-y).
Makna geometrisnya menegaskan bahwa pada titik tertentu di sebuah kurva, kemiringan garis singgungnya bisa saja sama dengan kemiringan sebuah garis lain yang tidak berkaitan langsung, dan inilah yang dimanfaatkan dalam menyelesaikan masalah seperti ini.
Posisi Relatif dalam Koordinat
Garis y = 2x + 3 berada di atas sumbu-x, melintas di titik (0,3). Sementara garis singgung y = 2x – 6 berada di bawah sumbu-x, melintas di titik (0,-6). Keduanya dipisahkan oleh jarak vertikal yang konsisten sebesar 9 unit. Parabola sendiri berada di antara kedua garis ini di sebagian besar area, dengan garis singgungnya menyentuh pada salah satu titik potong parabola dengan sumbu-x.
Kesimpulan Akhir
Dengan demikian, proses menemukan persamaan garis singgung tersebut telah menunjukkan kekuatan turunan dalam menghubungkan konsep aljabar dan geometri. Penyelesaiannya tidak hanya memberikan jawaban akhir, y=2x-1 dan y=2x-9, tetapi juga memperkuat pemahaman mendasar tentang bagaimana kemiringan suatu garis dan sifat kesebangunan garis bekerja dalam sistem koordinat. Pemahaman ini menjadi fondasi penting untuk menangani masalah yang lebih kompleks dalam matematika dan penerapannya di berbagai bidang.
FAQ Terperinci
Mengapa hanya ada dua persamaan garis singgung yang sejajar dengan y=2x+3?
Karena persamaan y’ = 2x – 4 = 2 hanya menghasilkan dua solusi untuk nilai x, yaitu x=3 dan x=-1. Setiap nilai x ini memberikan satu titik singgung yang unik, sehingga hanya ada dua garis singgung yang memenuhi syarat.
Apakah garis singgung yang ditemukan akan berpotongan dengan garis y=2x+3?
Tidak. Karena kedua garis singgung (y=2x-1 dan y=2x-9) memiliki gradien yang sama persis dengan y=2x+3, yaitu m=2, maka ketiganya adalah garis-garis yang sejajar. Garis-garis sejajar tidak akan pernah berpotongan.
Bagaimana jika garis pembandingnya tidak sejajar, misalnya tegak lurus?
Langkah awalnya akan mirip, yaitu mencari turunan fungsi. Namun, syaratnya berubah. Untuk garis tegak lurus, hasil kali gradien garis singgung (m1) dan gradien garis pembanding (m2) harus sama dengan -1 (m1
– m2 = -1).
