Matematika Wajib – Program Linier Kelas 11 Semester 11 Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan bukan sekadar kumpulan rumus abstrak, melainkan alat berpikir strategis yang mengubah masalah nyata menjadi bahasa matematika. Topik ini mengajak untuk melihat pola, batasan, dan peluang dalam berbagai situasi, dari mengatur budget hingga merencanakan produksi, dengan logika yang terstruktur dan visual. Penguasaan konsep ini membuka pintu pemahaman tentang optimasi, sebuah prinsip yang tidak hanya relevan di ruang kelas tetapi juga dalam analisis kehidupan sehari-hari.
Inti dari program linear terletak pada kemampuan memodelkan suatu masalah kontekstual ke dalam sistem pertidaksamaan, kemudian menemukan daerah penyelesaian yang layak di bidang koordinat. Proses ini melibatkan identifikasi fungsi tujuan yang ingin dimaksimalkan atau diminimalkan, serta berbagai fungsi kendala yang membatasi pilihan. Melalui visualisasi grafis, daerah yang memenuhi semua syarat tersebut akan terlihat jelas, beserta titik-titik sudutnya yang memegang kunci untuk menemukan solusi optimal dari persoalan yang sedang dihadapi.
Pengantar dan Konsep Dasar Program Linear: Matematika Wajib – Program Linier Kelas 11 Semester 11 Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan
Dalam kurikulum Matematika Wajib kelas 11, program linear muncul sebagai alat matematika yang ampuh untuk menyelesaikan masalah optimasi dengan sumber daya terbatas. Esensinya adalah menemukan nilai terbaik—maksimum atau minimum—dari suatu tujuan, yang dibatasi oleh berbagai kondisi atau kendala. Pendekatan ini tidak hanya abstrak, tetapi sangat aplikatif dalam dunia bisnis, logistik, produksi, dan perencanaan.
Sebuah model program linear dibangun dari tiga komponen inti. Pertama, variabel keputusan, biasanya dilambangkan dengan x dan y, yang merepresentasikan hal yang ingin kita tentukan jumlahnya. Kedua, fungsi tujuan, sebuah persamaan linear (seperti Z = 4x + 5y) yang nilainya ingin kita optimalkan. Ketiga, fungsi kendala, berupa sistem pertidaksamaan linear yang menggambarkan batasan-batasan sumber daya yang ada.
Contoh Kontekstual dan Perbedaan Pemodelan
Source: akupintar.id
Bayangkan seorang pengusaha konveksi yang memproduksi kemeja dan celana. Sumber dayanya terbatas: jumlah kain, jam kerja mesin jahit, dan tenaga kerja. Tujuannya adalah memaksimalkan keuntungan. Jumlah kemeja (x) dan celana (y) yang diproduksi adalah variabel keputusan. Keuntungan per unit membentuk fungsi tujuan.
Sementara itu, batasan kain, waktu mesin, dan tenaga kerja diterjemahkan menjadi pertidaksamaan linear, seperti 2x + 1.5y ≤ 100 (batas kain).
Di sinilah perbedaan mendasar antara persamaan dan pertidaksamaan linear dalam pemodelan muncul. Persamaan linear (misal, 2x + 3y = 12) menggambarkan hubungan yang tepat dan kaku, seperti resep yang harus diikuti persis. Sementara pertidaksamaan linear (2x + 3y ≤ 12) merepresentasikan sebuah wilayah atau kemungkinan, memberikan fleksibilitas karena semua kombinasi x dan y yang memenuhi “kurang dari atau sama dengan” adalah solusi yang valid.
Pemodelan dengan pertidaksamaan lebih realistis karena seringkali kita bekerja dengan batas maksimum atau minimum, bukan jumlah yang harus tepat.
Membentuk Sistem Pertidaksamaan dari Masalah Kontekstual
Mentransformasikan soal cerita menjadi model matematika adalah langkah kritis. Proses ini membutuhkan ketelitian dalam membaca, mengidentifikasi informasi, dan menerjemahkannya ke dalam bahasa matematika yang tepat. Kemampuan ini melatih logika pemodelan, yang merupakan fondasi tidak hanya untuk program linear, tetapi juga untuk berbagai disiplin ilmu terapan.
Langkah sistematisnya dimulai dengan mendefinisikan variabel, biasanya mewakili barang atau jasa yang dicari. Selanjutnya, merumuskan fungsi tujuan berdasarkan apa yang ingin dioptimumkan (laba, pendapatan, biaya). Terakhir, setiap batasan atau kendala dalam soal dirumuskan sebagai pertidaksamaan linear, dengan memperhatikan satuan dan hubungannya (≤ untuk batas maksimum, ≥ untuk batas minimum).
Proses Translasi dalam Tabel dan Contoh
Berikut adalah tabel yang membandingkan informasi soal dengan bentuk matematikanya dalam sebuah contoh.
| Informasi Soal | Variabel | Kendala | Bentuk Pertidaksamaan |
|---|---|---|---|
| Sebuah pabrik memproduksi produk A dan B. | x = jumlah produk A y = jumlah produk B |
– | x ≥ 0, y ≥ 0 |
| Waktu proses di mesin X maksimal 120 jam. | Produk A butuh 2 jam, produk B butuh 3 jam di mesin X. | Total waktu di mesin X ≤ 120 | 2x + 3y ≤ 120 |
| Bahan baku tersedia 90 kg. | Produk A butuh 1 kg, produk B butuh 2 kg. | Total bahan baku ≤ 90 | x + 2y ≤ 90 |
| Permintaan pasar, produk A maksimal 40 unit. | Jumlah produk A | Produk A ≤ 40 | x ≤ 40 |
Sebagai ilustrasi baru, pertimbangkan masalah berikut: Seorang peternak ingin mencampur dua jenis pakan, P dan Q, untuk memenuhi kebutuhan nutrisi minimal ternaknya. Setiap kg pakan P mengandung 3 unit protein dan 2 unit mineral dengan harga Rp 8.000. Setiap kg pakan Q mengandung 1 unit protein dan 4 unit mineral dengan harga Rp 5.000. Kebutuhan harian adalah minimal 12 unit protein dan 16 unit mineral.
Tujuannya adalah meminimumkan biaya pembelian pakan.
Proses translasinya: Variabel: x = kg pakan P, y = kg pakan Q. Fungsi tujuan (biaya): Z = 8000x + 5000y (diminimumkan). Kendala: Protein: 3x + y ≥
12. Mineral: 2x + 4y ≥ 16. Selain itu, x ≥ 0 dan y ≥ 0.
Sistem pertidaksamaan inilah yang akan kita selesaikan secara grafis.
Teknik Menggambar Daerah Penyelesaian
Setelah sistem pertidaksamaan terbentuk, langkah visualisasi dimulai dengan menggambar daerah penyelesaian di bidang kartesius. Daerah ini, sering disebut feasible region, merupakan kumpulan semua titik (x, y) yang memenuhi seluruh kendala sekaligus. Pemahaman grafis ini memberikan intuisi kuat tentang ruang solusi yang mungkin sebelum perhitungan optimasi dilakukan.
Dasar dari semuanya adalah kemampuan menggambar daerah dari satu pertidaksamaan. Misalnya, untuk 2x + 3y ≤ 12. Pertama, kita gambar garis batasnya, yaitu persamaan 2x + 3y = 12. Titik potong dengan sumbu X (y=0) adalah (6,0) dan dengan sumbu Y (x=0) adalah (0,4). Tarik garis lurus melalui kedua titik ini.
Karena pertidaksamaannya menggunakan “≤”, garis digambar penuh (solid), menandakan titik di garis termasuk solusi.
Menentukan Area dengan Uji Titik
Untuk menentukan area mana yang memenuhi 2x + 3y ≤ 12, kita lakukan uji titik. Pilih titik yang mudah, biasanya (0,0) jika tidak dilalui garis. Substitusi ke pertidaksamaan: 2(0) + 3(0) ≤ 12 → 0 ≤ 12 (BENAR). Karena pernyataan benar, daerah yang memuat titik (0,0) adalah daerah penyelesaian. Biasanya, daerah ini diarsir atau diberi bayangan.
Jika salah, maka daerah sebaliknya yang diarsir.
Prosedur berurutan untuk menggambar gabungan daerah dari sistem adalah:
- Gambar garis batas untuk setiap pertidaksamaan dalam sistem pada bidang koordinat yang sama. Perhatikan jenis garis (penuh untuk ≤ atau ≥, putus-putus untuk < atau >).
- Lakukan uji titik untuk setiap pertidaksamaan untuk menentukan daerah yang diarsir untuk masing-masing kendala.
- Daerah penyelesaian sistem adalah irisan dari semua daerah arsiran individual. Ini adalah area yang terkena semua arsiran sekaligus, biasanya berupa poligon tertutup (segi banyak) atau daerah tak terbatas.
Menentukan Daerah Penyelesaian Sistem dan Titik Sudut
Daerah irisan yang terbentuk dari beberapa pertidaksamaan linear umumnya berbentuk sebuah poligon cembung. Titik-titik sudut (titik pojok) dari poligon ini memegang peranan sangat penting dalam teori program linear. Berdasarkan teorema fundamental, jika ada solusi optimum, maka salah satu titik sudut ini akan memberikan nilai optimum tersebut, atau setidaknya ada di antara dua titik sudut pada suatu ruas garis.
Mencari koordinat titik-titik sudut dilakukan dengan menyelesaikan sistem persamaan linear yang merupakan perpotongan dari dua garis batas yang membentuk sudut tersebut. Misalnya, titik sudut bisa merupakan perpotongan garis 2x + 3y = 12 dengan garis x = 0, atau perpotongan antara 2x + 3y = 12 dengan x + 2y = 90.
Tips Kritis: Kesalahan umum sering terjadi saat mencari titik potong dua garis. Selalu verifikasi bahwa titik yang ditemukan memang berada di dalam daerah penyelesaian dengan memastikannya memenuhi semua pertidaksamaan kendala. Selain itu, jangan lupa titik potong dengan sumbu koordinat (seperti (0,4) atau (6,0)) bisa menjadi titik sudut jika memang menjadi batas daerah. Periksa juga apakah semua kendala aktif (relevant) membentuk daerah; terkadang suatu kendala tidak membatasi daerah sama sekali (redundant constraint).
Demonstrasi Penyelesaian Sistem
Mari selesaikan sistem dari contoh pabrik sebelumnya: Kendala I: 2x + 3y ≤ 120, Kendala II: x + 2y ≤ 90, Kendala III: x ≤ 40, dan x ≥ 0, y ≥ 0. Gambar garis 2x+3y=120 (melalui (60,0) dan (0,40)), garis x+2y=90 (melalui (90,0) dan (0,45)), dan garis vertikal x=40. Setelah uji titik (0,0) yang memenuhi semua, daerah penyelesaian adalah sebuah segi lima.
Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dalam Matematika Wajib Kelas 11 memerlukan ketelitian identifikasi pola solusi, mirip dengan logika menentukan Bilangan ke‑100 pada urutan 1‑2‑3‑4 berulang. Kemampuan menganalisis pola berulang tersebut justru mengasah nalar sistematis yang krusial untuk menggambar daerah penyelesaian dan menemukan titik optimal dalam program linear secara akurat.
Titik-titik sudutnya adalah:
- A: Perpotongan sumbu Y dengan kendala I? Sumbu Y berarti x=
0. Substitusi ke 2(0)+3y=120 → y=
40. Jadi A(0,40). Cek kendala II: 0+2(40)=80 ≤ 90 (OK). - B: Perpotongan kendala I dan II. Selesaikan sistem: 2x+3y=120 dan x+2y=
90. Dari persamaan kedua, x = 90 – 2y. Substitusi ke pertama: 2(90-2y)+3y=120 → 180 – 4y + 3y = 120 → y=60. Maka x = 90 – 2(60) = -30.Titik (-30,60) tidak memenuhi x≥0. Ini menunjukkan perpotongan garis terjadi di luar kuadran pertama. Titik sudut B yang sebenarnya adalah perpotongan kendala I dengan x=40? Atau kendala II dengan x=40? Kita cari yang masuk daerah.
- B: Perpotongan x=40 dengan kendala II: 40 + 2y = 90 → 2y=50 → y=
25. Jadi B(40,25). Cek kendala I: 2(40)+3(25)=80+75=155 ≤ 120? (SALAH). Jadi B juga di luar daerah karena melanggar kendala I.Titik sudut yang valid adalah perpotongan kendala I dan III? Atau kendala I dengan sumbu?
- Mari cari secara sistematis. Titik sudut yang jelas: O(0,0), C(40,0) (perpotongan x=40 dengan sumbu X), D(0,40) sudah ada (titik A). Titik E adalah perpotongan garis 2x+3y=120 dan x+2y=90? Sudah kita hitung ternyata di luar. Maka, titik sudut kelima adalah perpotongan antara 2x+3y=120 dan garis horizontal?
Tidak ada. Ternyata daerah segi lima dibentuk oleh titik: O(0,0), C(40,0), F(perpotongan x=40 dengan 2x+3y=120), G(perpotongan 2x+3y=120 dengan x+2y=90? ternyata tidak), dan D(0,40). Kita hitung F: x=40, maka 2(40)+3y=120 → 80+3y=120 → 3y=40 → y=40/3 ≈13.
33.Jadi F(40, 40/3). Titik G adalah perpotongan x+2y=90 dengan sumbu Y? itu D. Ternyata daerahnya adalah segi empat: O(0,0), C(40,0), F(40, 40/3), dan D(0,40). Kendala x+2y≤90 tidak aktif (redundant) karena daerah yang dibatasi oleh kendala I dan III sudah lebih ketat.
Koordinat titik sudut akhir: O(0,0), C(40,0), F(40, 40/3), D(0,40).
Penerapan dalam Menyelesaikan Masalah Optimasi Sederhana
Setelah daerah penyelesaian dan titik-titik sudutnya diketahui, pencarian nilai optimum menjadi langkah terakhir yang bersifat komputasional. Fungsi tujuan (misal Z = 4x + 5y) dievaluasi pada setiap titik sudut. Nilai terbesar dari hasil evaluasi tersebut adalah nilai maksimum, dan nilai terkecil adalah nilai minimum. Proses ini efektif karena, secara grafis, nilai fungsi tujuan meningkat atau menurun secara linear sepanjang bidang, dan ekstremnya selalu terjadi di titik sudut daerah feasible.
Hubungan antara bentuk daerah penyelesaian dan titik optimum dapat diilustrasikan. Jika daerah penyelesaian berbentuk poligon tertutup dan terbatas, maka pasti terdapat nilai maksimum dan minimum. Bayangkan garis-garis selidik dari fungsi tujuan (misal, garis-garis dengan persamaan 4x+5y = k, dimana k berubah-ubah) digeser sejajar. Nilai k akan maksimum ketika garis selidik tersebut menyentuh daerah feasible di titik sudut yang paling jauh searah vektor gradien, dan minimum di titik sudut yang paling dekat.
Perhitungan Nilai Optimum dan Contoh Lengkap, Matematika Wajib – Program Linier Kelas 11 Semester 11 Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan
Misalkan dari contoh pabrik sebelumnya, fungsi tujuannya adalah memaksimalkan keuntungan Z = 300x + 500y. Kita akan evaluasi di titik sudut daerah segi empat O, C, F, D.
| Titik Sudut (x, y) | Fungsi Tujuan Z = 300x + 500y | Nilai Z | Keterangan |
|---|---|---|---|
| O (0, 0) | 300(0) + 500(0) | 0 | Minimum |
| C (40, 0) | 300(40) + 500(0) | 12.000 | – |
| F (40, 40/3) | 300(40) + 500(40/3) = 12.000 + 20.000/3 ≈ 12.000 + 6.666,67 | ≈ 18.666,67 | Maksimum |
| D (0, 40) | 300(0) + 500(40) | 20.000 | – |
Ternyata, setelah dihitung ulang, titik D(0,40) memberikan nilai Z = 20.000, yang lebih besar dari titik F. Ini menunjukkan analisis sebelumnya kurang teliti. Mari kita perbaiki: Daerah penyelesaian sebenarnya adalah segi empat dengan titik O(0,0), C(40,0), F(40, 40/3), dan D(0,40). Evaluasi di D: Z = 500*40 = 20.000. Ini adalah nilai maksimum.
Titik F memberikan ≈18.666,67. Jadi, keuntungan maksimum Rp 20.000 dicapai dengan memproduksi 0 unit produk A dan 40 unit produk B. Contoh ini menunjukkan pentingnya menghitung semua titik sudut dengan cermat.
Sebuah masalah optimasi lengkap selalu dimulai dari pemahaman konteks, dilanjutkan dengan pemodelan matematika (variabel, fungsi tujuan, kendala), kemudian penyelesaian grafis (menggambar daerah dan titik sudut), dan diakhiri dengan evaluasi fungsi tujuan di setiap titik sudut untuk menarik kesimpulan yang bermakna kembali ke konteks awal.
Penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dalam Matematika Wajib kelas 11 mengajarkan kita untuk menemukan solusi optimal dalam batasan yang ada. Proses berpikir sistematis ini mengingatkan kita bahwa kehidupan juga memiliki batasan, dan di tengah kesibukan akademis, penting untuk tetap mengingat nilai spiritual, seperti saat kita ingin mengirimkan doa dengan Niat Khusus Mengirim Doa dan Membaca Al‑Quran untuk Almarhum. Setelah momen refleksi tersebut, kita kembali fokus pada grafik daerah penyelesaian, di mana setiap titik koordinat mewakili jawaban yang valid dari persoalan matematika tersebut.
Ringkasan Penutup
Dengan demikian, menguasai penyelesaian sistem pertidaksamaan dalam program linear berarti membekali diri dengan kerangka kerja yang sistematis untuk mengambil keputusan terbaik di tengah berbagai keterbatasan. Proses dari menerjemahkan soal cerita, menggambar daerah penyelesaian, hingga mengevaluasi titik sudut bukanlah ritual matematika semata, tetapi latihan bernalar yang menajamkan logika dan intuisi spasial. Pada akhirnya, keterampilan ini menegaskan bahwa matematika adalah bahasa universal untuk merancang solusi yang efisien dan efektif dalam dunia yang penuh dengan pilihan dan batasan.
Pertanyaan Umum yang Sering Muncul
Apakah daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan selalu berbentuk poligon tertutup?
Tidak selalu. Daerah penyelesaian bisa berbentuk poligon tertutup (seperti segitiga, segiempat), area tak terbatas (unbounded), atau bahkan bisa saja tidak ada (kosong) jika kendala-kendala yang ada saling bertentangan.
Bagaimana jika fungsi tujuan yang ingin dioptimalkan tidak berupa garis lurus?
Program linear secara spesifik mensyaratkan fungsi tujuan dan kendala bersifat linear. Jika fungsi tujuan bukan garis lurus (misalnya kuadratik), maka masalah tersebut bukan lagi program linear dan memerlukan metode optimasi lain, seperti kalkulus atau program non-linear.
Materi Matematika Wajib – Program Linier Kelas 11 Semester 11 Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan membekali siswa dengan teknik mendasar untuk memetakan daerah solusi. Keterampilan analitis ini ternyata sangat relevan untuk menyelesaikan soal non-linier yang lebih kompleks, seperti yang dibahas dalam artikel Mencari himpunan x real yang memenuhi |x+2| + x² < 4. Dengan demikian, pemahaman mendalam tentang sistem pertidaksamaan menjadi pondasi krusial untuk menguasai beragam bentuk persoalan matematika, termasuk dalam konteks kurikulum kelas 11.
Apakah titik optimum selalu berada di titik sudut daerah penyelesaian?
Ya, dalam program linear dengan daerah penyelesaian tertutup dan terbatas (closed and bounded), nilai maksimum atau minimum fungsi tujuan selalu dicapai pada setidaknya satu titik sudut. Ini adalah teorema fundamental dalam program linear yang menyederhanakan pencarian solusi.
Mengapa kita perlu menguji titik untuk menentukan daerah yang diarsir?
Menguji titik, biasanya titik (0,0) jika tidak dilalui garis batas, adalah cara praktis dan pasti untuk menentukan setengah bidang mana yang memenuhi pertidaksamaan (misalnya, 2x + y ≤ 6). Hasil uji titik ini memandu pengarsiran daerah yang benar.
