Menentukan a+b pada fungsi y=(x-20)^2+3b, min 21, potong Y 25 adalah teka-teki matematika yang elegan, menguji pemahaman mendasar tentang sifat-sifat fungsi kuadrat. Soal ini menawarkan lebih dari sekadar perhitungan biasa; ia menyajikan dua petunjuk kunci—nilai minimum dan titik potong sumbu Y—yang harus dirajut menjadi solusi yang utuh dan logis.
Dengan pendekatan yang sistematis, persoalan yang tampaknya kompleks ini dapat diurai menjadi langkah-langkah sederhana. Analisis dimulai dari memahami makna geometris setiap informasi, kemudian menerjemahkannya ke dalam persamaan aljabar, yang akhirnya mengungkap nilai konstanta yang belum diketahui. Proses ini tidak hanya menghasilkan jawaban numerik, tetapi juga memperkuat intuisi tentang bentuk grafik parabola.
Memahami Permasalahan Matematika
Sebuah fungsi kuadrat diberikan dalam bentuk y = (x – 20)² + 3b, dengan dua informasi kunci: nilai minimumnya adalah 21 dan grafiknya memotong sumbu Y di titik (0, 25). Tugas kita adalah menentukan nilai konstanta a dan b yang tersirat dalam permasalahan ini. Meskipun fungsi tertulis tanpa koefisien a di depan bentuk kuadrat, pemahaman bahwa a = 1 adalah hal mendasar yang perlu diverifikasi dari konteks soal.
Pernyataan “nilai minimum fungsi adalah 21” secara langsung mengarah pada konsep titik puncak atau vertex parabola. Untuk fungsi dalam bentuk y = a(x – h)² + k, titik (h, k) merupakan vertex. Jika a > 0, parabola terbuka ke atas dan k adalah nilai minimum. Dengan demikian, informasi ini memberi kita persamaan k = 21. Sementara itu, “titik potong sumbu Y adalah 25” berarti ketika nilai x = 0 disubstitusikan ke dalam fungsi, hasilnya y = 25.
Ini memberikan persamaan linier yang melibatkan konstanta b.
Interpretasi Data dan Langkah Sistematis, Menentukan a+b pada fungsi y=(x-20)^2+3b, min 21, potong Y 25
Dari dua informasi tersebut, kita dapat membangun sistem persamaan. Pertama, bandingkan bentuk umum dengan fungsi yang diberikan: y = a(x – 20)² + 3b. Dari sini terlihat bahwa h = 20 dan k = 3b. Karena nilai minimum adalah 21, maka k = 21, sehingga kita peroleh 3b = 21. Ini adalah persamaan pertama yang sangat sederhana.
Persamaan kedua didapat dari titik potong Y: substitusi x=0 dan y=25 ke fungsi awal, menghasilkan 25 = a(0 – 20)² + 3b.
Berikut adalah tabel yang merangkum proses identifikasi dan penyelesaiannya.
| Informasi Diketahui | Persamaan yang Terbentuk | Variabel Dicari | Langkah Penyelesaian |
|---|---|---|---|
| Nilai minimum = 21 | 3b = 21 | b | Menghubungkan nilai minimum (k) dengan bentuk 3b. |
| Titik potong Y = 25 | 25 = a(0 – 20)² + 3b | a | Substitusi koordinat (0,25) ke persamaan fungsi. |
| Bentuk fungsi y = (x-20)² + 3b | Secara implisit a = 1 | a (verifikasi) | Membandingkan dengan bentuk umum a(x-h)²+k. |
Setelah nilai a dan b ditemukan, penting untuk melakukan pengecekan. Substitusi nilai-nilai tersebut kembali ke fungsi asal. Kemudian, verifikasi bahwa titik puncaknya memang memiliki ordinat 21 dan bahwa untuk x=0 dihasilkan y=25. Proses validasi ini memastikan tidak ada kesalahan aritmatika dalam perhitungan.
Analisis Bentuk dan Sifat Fungsi Kuadrat: Menentukan A+b Pada Fungsi Y=(x-20)^2+3b, Min 21, Potong Y 25
Fungsi kuadrat dapat diekspresikan dalam beberapa bentuk, masing-masing mengungkap informasi grafis yang berbeda. Bentuk yang digunakan dalam soal ini adalah bentuk vertex, y = a(x – h)² + k, yang secara langsung menunjukkan koordinat titik puncak parabola, yaitu (h, k). Dalam fungsi y = (x – 20)² + 3b, kita dapat mengidentifikasi h = 20 dan k = 3b.
Nilai a dalam bentuk ini menentukan arah dan kelebaran parabola. Jika a > 0, parabola terbuka ke atas dan titik puncaknya adalah titik minimum. Jika a < 0, parabola terbuka ke bawah dan titik puncaknya adalah titik maksimum. Besarnya nilai absolut a menentukan seberapa “ramping” parabola; semakin besar | a|, semakin sempit kurvanya.
Rumus Kunci:
Bentuk Vertex: y = a(x – h)² + k, dengan Vertex = (h, k)
Titik Potong Sumbu Y: Diperoleh dengan mensubstitusi x = 0, sehingga y = a(0 – h)² + k.
Visualisasi Grafik Berdasarkan Data
Berdasarkan data yang ada, kita dapat menggambarkan sketsa parabola secara deskriptif. Sumbu simetri grafik ini adalah garis vertikal x = 20. Titik puncaknya terletak di koordinat (20, 21), yang merupakan titik terendah pada grafik karena parabola terbuka ke atas. Grafik memotong sumbu Y di titik (0, 25), yang posisinya lebih tinggi daripada titik puncak, mengindikasikan bahwa kurva turun dari kiri, mencapai titik terendah di x=20, kemudian naik kembali ke kanan.
Dengan informasi titik puncak dan satu titik potong Y, bentuk parabola sudah dapat ditentukan dengan cukup akurat.
Prosedur Penyelesaian Langkah demi Langkah
Mari kita uraikan proses penyelesaian nilai a dan b secara terperinci. Pendekatan sistematis dimulai dengan memanfaatkan informasi yang paling langsung, yaitu nilai minimum, untuk menemukan satu variabel terlebih dahulu.
Langkah pertama adalah mengekstrak informasi dari nilai minimum
21. Dalam fungsi y = (x – 20)² + 3b, bagian 3b bersesuaian dengan nilai k dalam bentuk vertex. Karena nilai minimum adalah 21, maka:
b = 21
b = 21 / 3
b = 7Menentukan nilai a+b pada fungsi kuadrat y=(x-20)²+3b, dengan nilai minimum 21 dan titik potong sumbu Y di 25, memerlukan ketelitian analitis yang presisi. Proses penyelesaiannya, mirip dengan keteguhan dalam menghadapi kompleksitas hidup, mengajarkan kita untuk Jangan Pernah Berpikir Pergi Karena Hati Lelah Memilih jalan keluar yang instan. Dengan demikian, ketekunan dalam mengurai persamaan ini akan mengantarkan pada solusi definitif, yakni a+b yang memenuhi seluruh kondisi yang diberikan.
Setelah nilai b diketahui, langkah kedua adalah menggunakan informasi titik potong Y. Substitusi x = 0, y = 25, dan b = 7 ke dalam persamaan fungsi. Namun, perlu diperhatikan bahwa bentuk fungsi yang diberikan seolah-olah memiliki a = 1. Mari kita verifikasi dengan substitusi lengkap ke bentuk umum y = a(x – 20)² + 3b:
- = a(0 – 20)² + 3(7)
- = a(400) + 21
- – 21 = 400a
- = 400a
a = 4 / 400
a = 1/100 atau 0.01
Hasil ini tampak bertentangan dengan asumsi awal bahwa a = 1 dari penulisan fungsi. Di sinilah letak penafsiran yang harus hati-hati. Soal asli menulis y = (x-20)² + 3b, yang dalam notasi matematika standar berarti koefisien a adalah
1. Jika perhitungan menghasilkan a lain, maka kemungkinan besar soal mengasumsikan a=1 dan informasi “nilai minimum 21” sebenarnya untuk menentukah b, sementara titik potong Y digunakan sebagai verifikasi atau untuk konteks lain.
Untuk konsistensi dengan bentuk tertulis, kita ambil a=1. Dengan a=1 dan titik potong Y=25, kita substitusi untuk mencari b: 25 = (0-20)² + 3b → 25 = 400 + 3b → 3b = -375 → b = -125. Lalu, nilai minimumnya menjadi 3b = -375, bukan 21. Jadi, jelas ada ketidaksesuaian jika kedua informasi dipaksakan dengan a=1.
Menentukan nilai a+b pada fungsi kuadrat y=(x-20)²+3b, dengan titik minimum 21 dan memotong sumbu Y di 25, memerlukan analisis koefisien dan penerapan konsep aljabar yang teliti. Proses perhitungan seperti ini mengingatkan pada logika menyelesaikan masalah perbandingan, misalnya saat menganalisis Berapa Jarak Yuli Jika Susi Lari 9 km dengan Kecepatan 3× , di mana hubungan variabel menjadi kunci. Kembali ke fungsi awal, dari informasi titik potong dan nilai minimum, kita dapat menurunkan persamaan untuk akhirnya menemukan solusi a+b yang definitif.
Oleh karena itu, dalam konteks soal yang lengkap, interpretasi yang benar adalah bahwa fungsi sebenarnya adalah y = a(x-20)² + 3b dengan a tidak harus 1, dan kita mencari a dan b dari dua informasi yang diberikan.
Berikut tabel penyelesaian berdasarkan interpretasi bahwa a adalah variabel yang dicari:
| Urutan Langkah | Proses Matematika | Hasil Sementara | Keterangan |
|---|---|---|---|
| 1 | Dari nilai minimum: k = 3b = 21 | b = 7 | Nilai b ditemukan pertama. |
| 2 | Dari titik potong Y: 25 = a(400) + 3(7) | 25 = 400a + 21 | Substitusi nilai b. |
| 3 | Menyelesaikan persamaan: 4 = 400a | a = 1/100 = 0.01 | Nilai a ditemukan. |
| 4 | Fungsi final: y = 0.01(x-20)² + 21 | a + b = 0.01 + 7 = 7.01 | Jawaban akhir untuk a + b. |
Kesalahan umum yang sering terjadi adalah menganggap koefisien a pasti 1 tanpa memeriksa konsistensi dengan data lain, serta kesalahan tanda saat melakukan substitusi atau pemindahan ruas. Selalu lakukan pengecekan akhir dengan mensubstitusi nilai yang didapat ke kondisi awal untuk memastikan kebenaran solusi.
Aplikasi dan Variasi Soal Serupa
Source: peta-hd.com
Menentukan nilai a+b pada fungsi kuadrat y=(x-20)²+3b, dengan titik minimum 21 dan memotong sumbu Y di 25, memerlukan analisis presisi terhadap koordinat puncak dan intercept. Proses berpikir sistematis ini mengingatkan kita pada pentingnya melacak akar suatu cerita, sebagaimana terungkap dalam Asal Usul Danau Toba: Versi Singkat yang menelusuri genesis sebuah danau purba. Kembali ke persoalan matematika, dari data titik minimum dan potongan sumbu Y tersebut, kita dapat menurunkan persamaan untuk akhirnya menemukan solusi a+b yang definitif.
Konsep menentukan konstanta pada fungsi kuadrat dari informasi titik puncak dan sebuah titik lain adalah fondasi dalam analisis grafik. Soal tipe ini memiliki banyak variasi yang menguji pemahaman yang sama dengan konfigurasi data berbeda.
Sebagai ilustrasi, berikut tiga contoh variasi soal serupa:
- Diketahui fungsi y = a(x + 5)² + k memiliki titik puncak minimum di ( -5, -2 ) dan melalui titik (0, 8 ). Tentukan nilai a dan k.
- Fungsi kuadrat y = 2(x – h)² + 4 memotong sumbu Y di titik (0, 12). Tentukan koordinat titik puncaknya.
- Sebuah parabola dengan persamaan y = x² + bx + c memiliki nilai minimum 3 dan memotong sumbu Y di 7. Tentukan nilai b dan c.
Algoritma Umum Penyelesaian
Prosedur umum untuk menyelesaikan seluruh variasi soal tersebut dapat dirumuskan dalam langkah-langkah berikut. Pertama, identifikasi bentuk fungsi yang diberikan (vertex, umum, atau lainnya) dan tuliskan parameter yang tidak diketahui. Kedua, terjemahkan setiap informasi verbal (titik puncak, titik potong, nilai maks/min) menjadi persamaan matematis dengan mensubstitusi koordinat atau menggunakan rumus. Ketiga, selesaikan sistem persamaan yang terbentuk untuk menemukan parameter yang belum diketahui.
Terakhir, lakukan verifikasi dengan mensubstitusi solusi kembali ke kondisi awal.
Perbedaan pendekatan akan terlihat jika fungsi diberikan dalam bentuk umum y = ax² + bx + c. Informasi titik puncak harus diterjemahkan menggunakan rumus h = -b/(2a) dan k = f(h), yang menghasilkan persamaan yang mungkin lebih kompleks dibandingkan bentuk vertex yang langsung memberikan nilai h dan k. Pendekatan bentuk vertex seringkali lebih efisien untuk soal tipe ini.
Pengaruh Perubahan Konstanta pada Grafik
Pada fungsi spesifik y = (x-20)² + 3b, konstanta b muncul dalam bentuk 3b yang merupakan bagian dari nilai k. Perubahan nilai b akan menyebabkan pergeseran vertikal (vertical shift) seluruh grafik parabola. Setiap penambahan satu satuan pada b akan menaikkan grafik sebesar 3 satuan ke arah sumbu Y positif, dan sebaliknya. Sumbu simetri di x = 20 dan bentuk parabola (karena a=1) tetap tidak berubah.
Dengan demikian, b bertindak sebagai pengontrol ketinggian grafik tanpa mengubah bentuk dasarnya.
Simpulan Akhir
Dengan demikian, perjalanan menyelesaikan soal ini telah menunjukkan kekuatan pendekatan terstruktur dalam matematika. Nilai a=1 dan b=8 yang diperoleh bukanlah akhir, melainkan pintu masuk untuk memvisualisasikan sebuah parabola spesifik dengan puncak di (20,21) dan melewati titik (0,25). Pemahaman ini membekali kita dengan kerangka berpikir untuk menyelesaikan berbagai variasi soal serupa, membuktikan bahwa logika yang runtut dan pemahaman konsep adalah kunci dari setiap penyelesaian masalah yang elegan.
Jawaban yang Berguna
Apakah nilai ‘a’ dalam fungsi ini selalu 1?
Ya, dalam fungsi yang diberikan y=(x-20)²+3b, koefisien dari (x-20)² adalah 1, sehingga nilai a=1. Ini adalah bentuk khusus dari fungsi kuadrat dengan puncak di x=20.
Bagaimana jika titik potong sumbu Y-nya negatif, apakah prosedurnya sama?
Benar, prosedurnya tetap identik. Nilai y pada titik potong Y (25 dalam soal ini) akan disubstitusikan sebagai nilai y saat x=0, terlepas dari apakah nilainya positif, negatif, atau nol. Persamaan yang terbentuk kemudian diselesaikan untuk mencari b.
Mengapa kita bisa langsung tahu titik puncaknya di x=20?
Karena fungsi ditulis dalam bentuk verteks y = a(x-h)² + k, di mana (h,k) adalah titik puncak. Dalam y=(x-20)²+3b, terlihat jelas bahwa h=20. Nilai k (yang adalah nilai minimum) kemudian ditemukan sama dengan 3b.
Bisakah soal ini diselesaikan jika fungsinya dalam bentuk umum y=ax²+bx+c?
Bisa, tetapi langkahnya akan lebih panjang. Kita perlu membentuk sistem persamaan menggunakan informasi titik potong Y dan koordinat titik puncak (dihitung dengan rumus -b/2a dan nilai diskriminan). Bentuk verteks seperti pada soal mempermudah karena koordinat puncak langsung terbaca.
