Menyelesaikan Persamaan (5x-15)(2x+6)=0 untuk x merupakan penerapan langsung dari prinsip perkalian nol dalam aljabar, yang menawarkan jalur penyelesaian yang elegan dan sistematis. Persamaan dalam bentuk faktor seperti ini sering dijumpai sebagai titik awal atau hasil akhir dalam berbagai analisis matematika, mulai dari pencarian akar fungsi kuadrat hingga pemecahan masalah kontekstual. Keberadaannya menyederhanakan proses yang mungkin kompleks menjadi prosedur yang terstruktur dan mudah diikuti.
Topik ini mengulas proses penyelesaian persamaan kuadrat yang telah difaktorkan, dengan fokus pada identifikasi faktor linear, penerapan sifat hasil kali nol, dan interpretasi solusi. Pembahasan akan mengarah pada pemahaman mendasar tentang bagaimana bentuk faktor mempengaruhi akar-akar persamaan serta visualisasinya pada garis bilangan, memberikan fondasi yang kuat untuk menangani variasi soal serupa dengan koefisien yang berbeda.
Pengenalan Persamaan Kuadrat Bentuk Faktor
Bayangin kamu lagi merapikan gudang, terus nemu dua kotak yang disegel rapi. Kotak pertama cuma bisa dibuka kalau kuncinya angka tertentu, kotak kedua juga punya kunci angkanya sendiri. Nah, persamaan kayak (5x-15)(2x+6)=0 itu ibarat dua kotak misterius yang dikalikan, dan hasil perkaliannya adalah nol. Keadaan ini spesial banget karena ada satu hukum alam matematika yang saklek: kalau hasil kali dua hal itu nol, maka paling nggak salah satu dari hal itu pasti nilainya nol.
Namanya Zero Product Property.
Intinya, persamaan kuadrat bentuk faktor itu sudah dipecah-pecah jadi faktor-faktor linearnya yang lebih sederhana. Kita nggak perlu lagi pusing-pusing mau memfaktorkan atau pakai rumus abc. Soalnya sudah terurai. Contoh lain yang mirip misalnya (3x+9)(x-7)=0 atau (4x)(x+5)=
0. Prinsipnya sama: cari nilai x yang bikin salah satu faktor itu bernilai nol, karena perkalian dengan nol otomatis hasil akhirnya nol.
Prinsip Dasar Perkalian Nol
Prinsip ini adalah jantung dari penyelesaian semua persamaan bentuk faktor. Dia bilang gini: jika a dikali b sama dengan nol, maka solusinya adalah a = 0 ATAU b = 0 (atau bisa keduanya). Tidak ada kemungkinan lain. Dua bilangan bukan nol kalau dikalikan, mustahil hasilnya nol. Jadi, tugas kita cuma mengurai “kotak” yang ada, yaitu (5x-15) dan (2x+6), lalu cari tau kapan masing-masing kotak itu bernilai nol.
Jika (Faktor A) × (Faktor B) = 0, maka Faktor A = 0 atau Faktor B = 0.
Identifikasi dan Penyederhanaan Faktor
Sebelum terburu-buru menerapkan prinsip perkalian nol, ada baiknya kita periksa dulu isi setiap faktornya. Seringkali, faktor-faktor itu bisa disederhanakan agar perhitungan kita jadi lebih bersih dan minim kesalahan. Di persamaan (5x-15)(2x+6)=0, kita punya dua faktor linear: (5x-15) dan (2x+6). Kalau diperhatikan, kedua faktor ini punya bilangan yang bisa dibagi oleh suatu angka tertentu.
Menyederhanakan Faktor Linear
Faktor pertama, 5x-15, sama-sama bisa dibagi 5. Kalau kita keluarin angka 5-nya, jadi 5(x – 3). Faktor kedua, 2x+6, sama-sama bisa dibagi 2, sehingga menjadi 2(x + 3). Persamaan awalnya bisa ditulis ulang menjadi [5(x-3)]
– [2(x+3)] =
0. Angka 5 dan 2 ini adalah konstanta yang nggak mempengaruhi nilai x penyebab nol, karena mereka bukan variabel.
Yang penting adalah bagian di dalam kurung: (x-3) dan (x+3).
Berikut adalah perbandingan faktor sebelum dan sesudah disederhanakan, serta nilai x yang membuatnya nol.
| Faktor Asli | Faktor Tersederhana | Bentuk Paling Inti (yang di-nol-kan) | Nilai x yang Membuat = 0 |
|---|---|---|---|
| 5x – 15 | 5(x – 3) | x – 3 | x = 3 |
| 2x + 6 | 2(x + 3) | x + 3 | x = -3 |
Prosedur Penyelesaian Langkah demi Langkah: Menyelesaikan Persamaan (5x-15)(2x+6)=0 Untuk X
Setelah memahami bahan bakarnya, sekarang kita masak. Prosedurnya sangat sistematis dan jitu. Kita akan menuntaskan persamaan (5x-15)(2x+6)=0 dengan cara yang rapi, langkah demi langkah, untuk memastikan tidak ada solusi yang terlewat.
Langkah Penyelesaian Sistematis
Pertama, terapkan prinsip perkalian nol. Karena hasil kalinya nol, kita bagi masalah ini menjadi dua kemungkinan kecil yang lebih mudah.
Kemungkinan 1: 5x – 15 = 0
Kita selesaikan untuk x. Tambahkan 15 ke kedua sisi, lalu bagi dengan 5.
5x = 15 → x = 15/5 → x = 3
Kemungkinan pertama selesai, kita dapat satu calon solusi: x = 3.
Kemungkinan 2: 2x + 6 = 0
Sekarang selesaikan untuk x. Kurangi 6 dari kedua sisi, lalu bagi dengan 2.
2x = -6 → x = -6/2 → x = -3
Kemungkinan kedua memberikan calon solusi lain: x = -3.
Pemeriksaan Solusi
Source: z-dn.net
Langkah terakhir yang krusial adalah memeriksa. Kita masukkan kembali kedua nilai x yang kita dapat ke dalam persamaan awal untuk memastikan tidak ada kesalahan hitung. Untuk x = 3: (5*3 -15) menjadi (15-15)=0, dikalikan dengan apapun (2*3+6=12) hasilnya tetap
0. Untuk x = -3: (5*(-3)-15) menjadi (-15-15)= -30, lalu (2*(-3)+6) menjadi (-6+6)=0. Hasil kali -30 dengan 0 juga sama dengan 0.
Keduanya valid. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah -3, 3 .
Visualisasi Akar-Akar Persamaan pada Garis Bilangan
Solusi x = -3 dan x = 3 bukan cuma angka di kertas. Mereka punya posisi spesifik di garis bilangan yang membantu kita memvisualisasikan perilaku persamaan kuadrat aslinya, yaitu f(x) = (5x-15)(2x+6).
Posisi Akar pada Garis Bilangan
Bayangkan sebuah garis bilangan horizontal. Kita tandai titik di angka -3 dan titik di angka 3. Dua titik ini adalah lokasi di mana grafik fungsi kuadrat tersebut akan memotong atau menyentuh sumbu-x. Setiap akar berasal dari satu faktor. Akar x = 3 adalah titik di mana faktor (x-3) bernilai nol, dan akar x = -3 adalah titik di mana faktor (x+3) bernilai nol.
Grafik fungsi kuadratnya akan berbentuk parabola yang terbuka ke atas (karena koefisien x² setelah dikalikan pasti positif) dan ia akan turun, menyentuh sumbu-x di x=-3, naik lagi, lalu turun dan menyentuh sumbu-x lagi di x=3.
Aplikasi dan Contoh Variasi Soal
Supaya makin mahir, kita coba latihan dengan pola yang sama tapi angka-angkanya berbeda. Inti prosesnya tetap identik: terapkan zero product property, selesaikan tiap persamaan linear kecil, dan periksa.
Contoh Soal Variasi
Contoh pertama: Selesaikan (4x + 12)(3x – 9) =
0. Faktor pertama: 4x+12=0 → x = –
3. Faktor kedua: 3x-9=0 → x =
3. Solusi: x = -3 atau x = 3. Perhatikan, meski persamaannya berbeda dengan contoh utama, akar-akarnya bisa saja sama.
Contoh kedua: Selesaikan (6x)(x – 5) =
0. Faktor pertama: 6x=0 → x =
0. Faktor kedua: x-5=0 → x =
5. Solusi: x = 0 atau x = 5.
Perbandingan Penyelesaian dengan dan tanpa Penyederhanaan, Menyelesaikan Persamaan (5x-15)(2x+6)=0 untuk x
Menyelesaikan (5x-15)(2x+6)=0 tanpa menyederhanakan faktor terlebih dahulu tetap akan menghasilkan solusi yang sama, yaitu x=3 dan x=-3. Namun, langkah penyederhanaan membuat angka yang kita hadapi lebih kecil dan sederhana, mengurangi risiko kesalahan aritmatika. Misalnya, di faktor 2x+6=0, membagi semua dengan 2 menjadi x+3=0 langsung memberi jawaban x=-3, lebih cepat daripada menghitung 2x = -6 lalu x = -6/2.
Kesalahan Umum yang Perlu Dihindari
Beberapa jebakan sering muncul saat mengerjakan soal jenis ini. Berikut daftarnya:
- Menyamakan kedua faktor dengan nol secara bersamaan: Ingat, prinsipnya adalah ATAU, bukan DAN. Kita selesaikan satu per satu, bukan sistem persamaan.
- Melupakan solusi dari faktor yang konstan: Pada bentuk seperti 7(x-4)=0, yang di-nol-kan adalah (x-4), bukan 7. Jangan sampai membuat 7=0.
- Tidak memeriksa solusi: Terutama pada persamaan yang lebih kompleks, memastikan solusi tidak menyebabkan pembagian dengan nol atau akar negatif (jika di luar domain) adalah hal penting.
- Terburu-buru membuka kurung: Jika persamaan sudah dalam bentuk faktor, langsung gunakan zero product property. Jangan didistribusikan dulu ke dalam bentuk ax²+bx+c=0 karena itu justru mempersulit diri sendiri.
Simpulan Akhir
Proses penyelesaian persamaan (5x-15)(2x+6)=0 secara komprehensif mendemonstrasikan efisiensi sifat hasil kali nol ketika berhadapan dengan bentuk faktor. Penyederhanaan faktor sebelum penyelesaian, meskipun menghasilkan akar yang sama, sering kali memperjelas nilai-nilai kritis dan meminimalisasi kesalahan perhitungan. Analisis ini menguatkan pemahaman bahwa akar-akar persamaan, yaitu x=3 dan x=-3, merupakan titik-titik di mana grafik fungsi kuadrat yang bersesuaian memotong sumbu-x, menegaskan hubungan mendasar antara bentuk aljabar dan representasi geometrisnya.
Jawaban untuk Pertanyaan Umum
Apakah penyelesaian akan berbeda jika faktor tidak disederhanakan terlebih dahulu?
Tidak, solusi akhirnya akan tetap sama. Namun, menyederhanakan faktor (seperti 5x-15 menjadi 5(x-3)) dapat mempermudah perhitungan dan mengurangi risiko kesalahan aritmetika, terutama pada persamaan yang lebih kompleks.
Mengapa persamaan ini disebut persamaan kuadrat padahal bentuknya sudah difaktorkan?
Karena jika faktor-faktor linear tersebut dikalikan, akan menghasilkan bentuk polinomial berderajat dua (kuadrat), yaitu 10x²
-60. Bentuk faktor (5x-15)(2x+6)=0 adalah representasi lain dari persamaan kuadrat 10x²
-60 = 0.
Bagaimana jika hasil kali beberapa faktor sama dengan bilangan selain nol, misalnya (5x-15)(2x+6)=5?
Prinsip perkalian nol tidak berlaku. Persamaan seperti itu harus diselesaikan dengan cara lain, seperti mengalikan semua faktor, memindahkan semua suku ke satu ruas hingga sama dengan nol, kemudian memfaktorkan kembali atau menggunakan rumus kuadrat.
Apakah urutan penulisan solusi x=3 dan x=-3 berpengaruh?
Tidak berpengaruh secara matematis. Solusi himpunan biasanya ditulis sebagai x = -3, 3, yang menunjukkan bahwa kedua nilai tersebut adalah anggota himpunan penyelesaian, tanpa memedulikan urutan.
