Nilai x yang memenuhi persamaan (x + 1)^2 – 5(x + 1) + 6 = 0 adalah teka-teki aljabar yang sebenarnya punya trik penyelesaian yang jauh lebih sederhana daripada yang terlihat. Persamaan dengan bentuk seperti ini sering bikin deg-degan, tapi percayalah, setelah tahu kuncinya, semua jadi terasa mudah dan menyenangkan.
Persamaan ini masuk dalam kategori persamaan kuadrat bentuk khusus, di mana ada ekspresi linear yang dikurung dan dioperasikan secara berulang. Daripada langsung menjabarkannya yang bisa berantakan dan penuh risiko salah hitung, ada strategi jitu bernama substitusi variabel yang akan mengubah persamaan rumit ini menjadi soal yang sangat dasar dan mudah dikerjakan.
Soal matematika seperti mencari nilai x yang memenuhi persamaan (x + 1)^2 – 5(x + 1) + 6 = 0 memang memerlukan trik substitusi yang cerdik. Nah, kalau kamu sudah paham konsep operasi aljabar, kamu pasti bisa mengerjakan soal seperti Hasil dari (2/3 + 1/4)/(2/3 – 1/4) adalah dengan mudah. Kemampuan menyederhanakan pecahan dan persamaan itu penting banget untuk menyelesaikan persoalan variabel x tadi, karena intinya sama-sama tentang ketelitian dan logika.
Pengenalan Persamaan Kuadrat Bentuk Khusus
Dalam dunia aljabar, kita sering menemui persamaan kuadrat yang tidak langsung tersaji dalam bentuk baku ax² + bx + c = 0. Salah satu bentuk yang menarik perhatian adalah ketika variabel x muncul dalam suatu ekspresi linear yang dikelompokkan, seperti (x + 1), (2x – 3), atau yang serupa, dan seluruh ekspresi ini dikuadratkan. Karakteristik utama dari persamaan jenis ini adalah adanya “blok” atau “sub-ekspresi” yang berulang, yang jika kita amati, sebenarnya membentuk pola kuadrat yang tersembunyi.
Contoh lain dari persamaan dengan bentuk serupa misalnya (2x – 1)² + 3(2x – 1)
-10 = 0 atau √(x + 5)²
-4√(x + 5) + 3 = 0. Pola umumnya selalu ada sebuah ekspresi, sebut saja P, yang menjadi pusat dari persamaan tersebut. Langkah pertama dan paling intuitif untuk menyederhanakan persamaan jenis ini adalah dengan melakukan substitusi. Kita mengganti ekspresi yang berulang tersebut dengan sebuah variabel baru untuk sementara, yang akan mengungkap bentuk kuadrat sederhana di balik kerumitan yang tampak.
Metode Substitusi untuk Mempermudah Penyelesaian
Kekuatan metode substitusi terletak pada kemampuannya mengubah masalah yang tampak kompleks menjadi sesuatu yang jauh lebih sederhana dan familiar. Mari kita terapkan pada persamaan kita: (x + 1)²
-5(x + 1) + 6 = 0. Langkahnya adalah dengan memisalkan variabel baru y untuk mewakili ekspresi (x + 1). Dengan substitusi ini, persamaan kita yang awalnya terlihat sedikit berantakan langsung berubah menjadi persamaan kuadrat yang sangat bersih.
| Persamaan Awal | Setelah Substitusi y = (x + 1) |
|---|---|
| (x + 1)² – 5(x + 1) + 6 = 0 | y² – 5y + 6 = 0 |
Keuntungan metode ini sangat jelas jika kita bandingkan dengan opsi menjabarkan semua terlebih dahulu. Menjabarkan (x + 1)² akan menghasilkan x² + 2x + 1, dan menjabarkan -5(x + 1) menghasilkan -5x -5. Persamaannya menjadi x² + 2x + 1 -5x -5 + 6 = 0 yang harus disederhanakan lagi menjadi x²
-3x + 2 = 0. Meskipun benar, ini membutuhkan langkah ekstra dan berpotensi pada kesalahan perhitungan aljabar yang sepele, terutama pada persamaan dengan koefisien yang lebih rumit.
Substitusi langsung menuju pada inti permasalahan.
Memfaktorkan Persamaan Kuadrat Hasil Substitusi
Setelah persamaan kita berhasil ditransformasi menjadi y²
-5y + 6 = 0, kita berhadapan dengan persamaan kuadrat sederhana yang dapat diselesaikan dengan mudah melalui teknik memfaktorkan. Memfaktorkan adalah seni mencari dua bilangan yang memenuhi dua kriteria sekaligus: hasil kalinya sama dengan konstanta c (dalam hal ini +6) dan hasil jumlahnya sama dengan koefisien b (dalam hal ini -5).
Langkah-langkah terperincinya adalah dengan menanyakan: dua bilangan apa yang jika dikalikan hasilnya +6 dan jika dijumlahkan hasilnya -5? Setelah mencoba beberapa kombinasi, kita menemukan bahwa bilangan -2 dan -3 memenuhi syarat ini karena (-2) × (-3) = +6 dan (-2) + (-3) = -5. Dengan demikian, faktor-faktor dari persamaan tersebut adalah (y – 2) dan (y – 3).
- Pastikan tanda pada bilangan yang dicari sesuai dengan operasi penjumlahan dan perkalian.
- Jika konstanta c positif, maka kedua bilangan tersebut sama-sama positif atau sama-sama negatif.
- Jika konstanta c negatif, maka kedua bilangan tersebut memiliki tanda yang berlawanan.
Mencari Nilai x dari Solusi Persamaan Substitusi
Proses substitusi kita belum lengkap. Nilai y yang kita temukan hanyalah jembatan untuk sampai pada tujuan akhir, yaitu nilai x. Dari pemisalan awal, kita tahu bahwa y = (x + 1). Sekarang, kita substitusi balik setiap nilai y yang telah kita peroleh untuk menemukan nilai x yang sesungguhnya.
Dari persamaan y²
-5y + 6 = 0, kita mendapatkan dua solusi:
- Jika y – 2 = 0, maka y = 2. Karena y = x + 1, maka x + 1 = 2, sehingga x = 1.
- Jika y – 3 = 0, maka y = 3. Karena y = x + 1, maka x + 1 = 3, sehingga x = 2.
Daftar solusi untuk persamaan awal (x + 1)²
-5(x + 1) + 6 = 0 adalah x = 1 dan x =
2. Penting untuk tidak berhenti sampai di sini. Sebagai langkah validasi, sangat dianjurkan untuk memeriksa setiap solusi dengan mensubstitusikannya kembali ke dalam persamaan asli. Misalnya, untuk x = 1: (1+1)²
-5(1+1) + 6 = 4 – 10 + 6 =
0.
Untuk x = 2: (2+1)²
-5(2+1) + 6 = 9 – 15 + 6 = 0. Keduanya memenuhi, membuktikan bahwa solusi kita benar.
Alternatif Penyelesaian dengan Menjabarkan Persamaan
Sebagai perbandingan, mari kita lihat metode alternatif tanpa substitusi, yaitu dengan menjabarkan seluruh persamaan hingga menjadi bentuk kuadrat baku. Kita mulai dari persamaan awal: (x + 1)²
-5(x + 1) + 6 = 0.
Pertama, jabarkan (x + 1)² menjadi x² + 2x +
1. Kedua, jabarkan -5(x + 1) menjadi -5x –
5. Sekarang, gabungkan semua suku: x² + 2x + 1 – 5x – 5 + 6 =
0. Sederhanakan dengan menggabungkan suku-suku sejenis: x² + (2x – 5x) + (1 – 5 + 6) = x²
-3x + 2 = 0.
Persamaan ini kemudian difaktorkan menjadi (x – 1)(x – 2) = 0, yang memberikan solusi x = 1 dan x = 2.
Meskipun hasilnya sama, potensi kerumitan metode ini lebih besar. Pada persamaan dengan koefisien pecahan atau ekspresi yang lebih rumit (misalnya (3x-2)), risiko melakukan kesalahan dalam penjabaran dan penyederhanaan aljabar menjadi lebih tinggi. Metode substitusi menawarkan jalan yang lebih aman dan terstruktur.
Oke, jadi kalau elo lagi cari nilai x yang memenuhi persamaan (x + 1)² – 5(x + 1) + 6 = 0, jangan bingung dulu. Coba deh lihat konsep himpunan yang mirip kayak soal Diketahui K = himpunan bilangan prima kurang dari 15. Banyaknya himpunan bagian dari K yang mempunyai 4 anggota adalah itu. Pemahaman soal kombinasi dan substitusi variabel di soal himpunan itu sangat membantu buat ngerjain persamaan kuadrat yang kelihatan ribet kayak tadi.
Jadi, setelah paham polanya, nilai x-nya pasti bisa ketemu dengan lebih mudah.
Visualisasi Grafik dari Persamaan dan Solusinya: Nilai X Yang Memenuhi Persamaan (x + 1)^2 – 5(x + 1) + 6 = 0 Adalah
Memahami persamaan kuadrat tidak hanya dari sisi aljabar, tetapi juga secara geometris melalui grafik dapat memberikan pemahaman yang lebih mendalam. Persamaan awal kita, setelah dijabarkan, membentuk fungsi kuadrat f(x) = x²
-3x + 2.
Grafik dari fungsi ini adalah sebuah parabola yang terbuka ke atas (karena koefisien x² positif). Solusi dari persamaan, yaitu x = 1 dan x = 2, tidak lain adalah titik-titik di mana grafik parabola ini memotong sumbu x. Pada titik-titik inilah nilai y atau f(x) sama dengan nol. Visualisasi ini memperkuat pemahaman bahwa akar-akar persamaan adalah titik potong kurva dengan sumbu horizontal.
Aplikasi dan Contoh Soal Serupa untuk Latihan, Nilai x yang memenuhi persamaan (x + 1)^2 – 5(x + 1) + 6 = 0 adalah
Untuk menguasai teknik penyelesaian persamaan bentuk ini, cobalah berlatih dengan soal-soal berikut.
Contoh 1 (Tingkat Dasar): Tentukan himpunan penyelesaian dari (x – 2)²
-3(x – 2)
-4 =
0. Prosedur: Misalkan y = (x – 2). Persamaan menjadi y²
-3y – 4 =
0. Faktorkan menjadi (y – 4)(y + 1)=
0. Jadi, y = 4 atau y = –
1.
Substitusi balik: x – 2 = 4 → x = 6; x – 2 = -1 → x = 1.
Contoh 2 (Tingkat Sedang): Tentukan nilai x yang memenuhi 2(x + 3)² + 5(x + 3)
-12 =
0. Prosedur: Misalkan y = (x + 3). Persamaan menjadi 2y² + 5y – 12 =
0. Faktorkan (atau gunakan rumus ABC) menjadi (2y – 3)(y + 4)=
0. Jadi, y = 3/2 atau y = –
4.
Substitusi balik: x + 3 = 1.5 → x = -1.5; x + 3 = -4 → x = -7.
Tips: Kunci keberhasilan adalah identifikasi ekspresi yang berulang dengan tepat. Selalu lakukan pengecekan akhir dengan substitusi balik nilai x ke persamaan awal untuk memastikan tidak terjadi kesalahan dalam proses.
Akhir Kata
Source: z-dn.net
Jadi, setelah melalui proses substitusi dan memfaktorkan, akhirnya ketahuan kalau nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah x = 1 dan x = 2. Intinya, masalah yang terlihat kompleks sering kali menyimpan jalan pintas yang elegan. Dengan memahami pola dan memilih metode yang tepat, seperti substitusi, kamu bisa menghemat waktu dan tenaga. Selalu ingat untuk mengecek jawabanmu kembali ke persamaan awal, dan jangan takut untuk bereksperimen dengan soal-soal serupa.
Semangat!
Pertanyaan Umum (FAQ)
Apakah metode substitusi selalu bisa digunakan untuk persamaan seperti ini?
Iya, hampir selalu bisa selama ekspresi di dalam kurungnya sama dan berulang. Metode ini dirancang khusus untuk menyederhanakan pola persamaan yang seperti itu.
Bagaimana jika setelah disubstitusi persamaannya tidak bisa difaktorkan?
Kalau tidak bisa difaktorkan, kamu bisa menggunakan rumus kuadrat (abc) untuk menemukan nilai y, lalu lanjutkan proses substitusi balik ke x seperti biasa.
Apakah penting banget mengecek jawaban dengan mensubstitusikannya kembali?
Sangat penting! Ini adalah langkah untuk memvalidasi bahwa nilai x yang kamu dapatkan memang benar-benar memenuhi persamaan awal dan bukan merupakan kesalahan hitung.
Mana yang lebih direkomendasikan, metode substitusi atau menjabarkan langsung?
Metode substitusi umumnya lebih direkomendasikan karena lebih minim kesalahan, lebih sederhana, dan lebih cepat, terutama untuk pemula. Menjabarkan langsung berisiko pada perhitungan yang lebih rumit.
