Jika sistem persamaan px + qy = 8 3x – qy = 38 memiliki penyelesaian (x, y) = (2, 4), maka nilai p adalah pertanyaan yang sebenarnya punya solusi sangat sistematis. Soal ini bukan untuk ditakuti, melainkan untuk ditaklukkan dengan logika dan langkah-langkah pasti yang bakal bikin kamu bilang, “Oh, gitu doang?”
Kuncinya ada pada informasi bahwa pasangan bilangan (2,4) adalah penyelesaiannya. Artinya, ketika angka 2 kita masukkan ke semua variabel x dan angka 4 ke semua variabel y, kedua persamaan tersebut akan menjadi pernyataan yang benar. Dari situlah kita bisa membongkar nilai-nilai misterius seperti p dan q yang tersembunyi di balik koefisiennya.
Memahami Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Source: amazonaws.com
Sistem persamaan linear dua variabel adalah kumpulan dua persamaan yang melibatkan dua variabel yang tidak diketahui, biasanya dilambangkan dengan x dan y. Solusi dari sistem ini adalah sepasang nilai (x, y) yang memenuhi kedua persamaan secara bersamaan. Artinya, ketika nilai-nilai ini disubstitusikan ke dalam setiap persamaan, hasilnya akan menjadi pernyataan yang benar.
Sebagai ilustrasi, jika sebuah sistem memiliki solusi (3, 1), maka memasukkan x=3 dan y=1 ke dalam persamaan pertama dan kedua akan membuat sisi kiri persamaan sama dengan sisi kanannya. Koefisien seperti p dan q dalam soal ini adalah bilangan yang mengalikan variabel, sementara angka di sebelah kanan tanda sama dengan (seperti 8 dan 38) disebut konstanta.
Konsep Dasar dan Peran Koefisien
Dalam sistem persamaan, setiap variabel memiliki koefisien yang menentukan pengaruhnya terhadap hasil persamaan. Konstanta berperan sebagai target yang harus dicapai oleh kombinasi linear dari variabel dan koefisiennya. Menemukan nilai koefisien yang tepat, seperti p dalam masalah ini, adalah kunci agar titik solusi yang diberikan dapat memenuhi seluruh sistem.
Substitusi Nilai Penyelesaian ke dalam Persamaan
Langkah pertama dan terpenting dalam menyelesaikan masalah ini adalah dengan mengganti variabel x dan y dengan nilai solusi yang sudah diketahui, yaitu (2, 4). Proses ini akan mengubah persamaan yang awalnya mengandung variabel x, y, p, dan q menjadi persamaan yang hanya mengandung variabel p dan q, sehingga lebih mudah untuk dipecahkan.
Proses Substitusi pada Setiap Persamaan
Substitusi dilakukan pada kedua persamaan secara terpisah. Tabel berikut merinci perhitungan untuk setiap persamaan setelah nilai x=2 dan y=4 dimasukkan.
| Persamaan Asli | Setelah Substitusi (x=2, y=4) |
|---|---|
| px + qy = 8 | p(2) + q(4) = 8 → 2p + 4q = 8 |
| 3x – qy = 38 | 3(2)
|
Dari tabel terlihat jelas bahwa sistem persamaan multivariabel yang kompleks telah direduksi menjadi sistem yang lebih sederhana dengan dua variabel yang belum diketahui, yaitu p dan q.
Penyederhanaan Persamaan menjadi Sistem Baru: Jika Sistem Persamaan Px + Qy = 8 3x – Qy = 38 Memiliki Penyelesaian (x, Y) = (2, 4), Maka Nilai P Adalah
Setelah substitusi, kita memperoleh dua persamaan baru: 2p + 4q = 8 dari persamaan pertama dan 6 – 4q = 38 dari persamaan kedua. Kedua persamaan ini membentuk sistem baru yang lebih mudah untuk dianalisis.
Persamaan kedua, 6 – 4q = 38, secara langsung hanya mengandung satu variabel yang tidak diketahui, yaitu q. Ini menjadikannya titik awal yang ideal untuk memecahkan masalah, karena kita dapat langsung menyelesaikan nilai q tanpa melibatkan variabel p terlebih dahulu.
Prosedur Sistematis untuk Menemukan q, Jika sistem persamaan px + qy = 8 3x – qy = 38 memiliki penyelesaian (x, y) = (2, 4), maka nilai p adalah
Langkah logis selanjutnya adalah mengisolasi variabel q dalam persamaan 6 – 4q = 38. Pendekatan ini efisien karena memecah masalah yang memiliki dua variabel menjadi serangkaian masalah satu variabel yang lebih sederhana.
Menemukan Nilai q dari Persamaan Kedua
Persamaan 6 – 4q = 38 adalah persamaan linear satu variabel. Tujuan kita adalah memindahkan semua suku yang mengandung q ke satu sisi dan konstanta ke sisi lainnya untuk menemukan nilai q.
Langkah-langkah Aljabar Penyelesaian
Penyelesaian persamaan dilakukan dengan menerapkan operasi aljabar yang setara pada kedua sisi untuk menjaga keseimbangan persamaan.
– – 4q = 38
Langkah 1: Kurangi kedua sisi dengan 6 untuk memindahkan konstanta.
– 4q – 6 = 38 – 6
– 4q = 32
Langkah 2: Bagi kedua sisi dengan -4 untuk mengisolasi q.
4q / -4 = 32 / -4
q = -8
Operasi pengurangan digunakan untuk menghilangkan angka 6 di sisi kiri, sedangkan pembagian dengan -4 dilakukan untuk membalikan perkalian antara -4 dan q, sehingga menghasilkan nilai q = -8.
Bingung cari nilai p dari sistem persamaan yang punya solusi (2,4)? Tenang, konsep substitusi ini mirip kayak prinsip dalam menentukan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat. Nah, setelah paham hubungan antar variabel di sana, kamu pasti langsung bisa balik dan temukan nilai p dengan substitusi nilai x dan y yang diketahui. Gampang, kan?
Substitusi Nilai q ke dalam Persamaan Pertama
Setelah nilai q = -8 berhasil ditemukan, langkah berikutnya adalah mensubstitusikan nilai ini kembali ke dalam persamaan yang telah disederhanakan dari persamaan pertama, yaitu 2p + 4q = 8. Langkah ini diperlukan karena nilai p masih belum diketahui, dan persamaan pertama adalah satu-satunya tempat di mana p muncul.
Dengan memasukkan q = -8, persamaan 2p + 4q = 8 akan berubah menjadi persamaan yang hanya mengandung satu variabel, p. Ini memungkinkan kita untuk melakukan perhitungan akhir guna menemukan nilai p yang merupakan jawaban dari soal.
Bentuk Persamaan Setelah Substitusi
Substitusi nilai q mengubah persamaan menjadi 2p + 4(-8) = 8. Perkalian 4 dengan -8 harus diselesaikan terlebih dahulu sebelum melanjutkan untuk menyelesaikan nilai p.
Menghitung Nilai p yang Diminta
Dengan disubstitusikannya q = -8, kita kini memiliki persamaan yang lengkap dan siap untuk dihitung guna menemukan nilai p. Proses ini melibatkan operasi aritmatika dasar untuk menyederhanakan dan mengisolasi variabel p.
Perhitungan Akhir untuk Nilai p
Perbandingan persamaan sebelum dan sesudah substitusi nilai q dapat dilihat pada tabel berikut.
| Persamaan | Setelah Substitusi q = -8 |
|---|---|
| 2p + 4q = 8 | 2p + 4(-8) = 8 → 2p – 32 = 8 |
Dari persamaan 2p – 32 = 8, kita selesaikan untuk p:
p – 32 = 8
Langkah 1: Tambahkan 32 ke kedua sisi.
p – 32 + 32 = 8 + 32
– p = 40
Langkah 2: Bagi kedua sisi dengan 2.
– p / 2 = 40 / 2
p = 20
Dengan demikian, nilai p yang memenuhi sistem persamaan sehingga (x, y) = (2, 4) menjadi solusi adalah 20. Ini berarti persamaan pertama yang sebenarnya adalah 20x + (-8)y = 8, yang akan menjadi benar ketika x=2 dan y=4 dimasukkan.
Nah, setelah nemu nilai p dari sistem persamaan itu dengan substitusi (2,4), rasanya lega banget, kan? Tapi jangan berhenti di situ, skill menyelesaikan persamaan kayak gini bakal terus dipake. Cobain tantangan berikut, Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat : 2x^2 – 7x + 6 = 0! , buat mengasah logika matematika lo lebih dalam lagi. Dengan begitu, ngerjain soal kayak nyari nilai p tadi jadi jauh lebih mudah dan menyenangkan!
Visualisasi Alur Penyelesaian Masalah
Penyelesaian masalah ini mengikuti alur logis yang sistematis. Diagram alur tekstual berikut menggambarkan urutan langkah-langkah yang dilakukan dari awal hingga diperolehnya jawaban.
- Mulai dengan sistem persamaan: px + qy = 8 dan 3x – qy = 38, dengan solusi (2,4).
- Substitusi x=2 dan y=4 ke dalam kedua persamaan.
- Peroleh sistem baru: 2p + 4q = 8 dan 6 – 4q = 38.
- Selesaikan persamaan kedua (6 – 4q = 38) untuk menemukan nilai q = -8.
- Substitusi nilai q = -8 ke dalam persamaan pertama (2p + 4q = 8).
- Selesaikan persamaan 2p – 32 = 8 untuk menemukan nilai p = 20.
- Verifikasi bahwa dengan p=20 dan q=-8, titik (2,4) memenuhi kedua persamaan awal.
Setiap tahapan dalam alur ini saling terhubung dan bergantung pada tahapan sebelumnya. Pendekatan sistematis ini, dimulai dari substitusi titik solusi, kemudian menyelesaikan satu variabel pada a time, adalah strategi yang powerful dan dapat diterapkan secara universal untuk menyelesaikan berbagai masalah sistem persamaan linear dua variabel yang melibatkan parameter yang tidak diketahui.
Penerapan pada Masalah Lain
Metode yang digunakan di sini tidak terbatas pada soal ini saja. Untuk setiap sistem persamaan linear dimana sebuah solusi (x,y) diketahui dan beberapa koefisien tidak diketahui, langkah-langkah substitusi dan isolasi variabel dapat diterapkan dengan cara yang serupa untuk mengungkap nilai-nilai parameter yang dicari.
Penutup
Jadi, begitulah ceritanya. Nilai p yang berhasil kita temukan adalah kunci yang membuka kebenaran dari sistem persamaan itu. Proses substitusi nilai x dan y, menyelesaikan persamaan untuk q, lalu memasukkannya kembali untuk mencari p, adalah sebuah tarian logika yang elegan. Ingat, pola pikir seperti ini adalah senjata ampuh untuk menyelesaikan berbagai teka-teki aljabar lainnya. Selamat menaklukkan soal-soal berikutnya!
Pertanyaan Umum (FAQ)
Apakah nilai q harus dicari terlebih dahulu sebelum mencari p?
Ya, dalam kasus ini, nilai q harus ditemukan terlebih dahulu karena ia muncul di kedua persamaan. Setelah q diketahui, barulah kita bisa mensubstitusikannya ke dalam persamaan pertama yang mengandung p untuk menemukan nilai p.
Bagaimana jika titik penyelesaiannya (x,y) berbeda, misalnya (1,5)?
Langkahnya tetap sama! Yang berubah hanyalah nilai yang disubstitusikan. Nilai x=1 dan y=5 akan dimasukkan ke dalam kedua persamaan, lalu kita selesaikan sistem persamaan baru yang terbentuk untuk menemukan nilai p dan q yang sesuai.
Apakah metode ini hanya berlaku untuk dua variabel?
Prinsip dasarnya sama, yaitu substitusi nilai penyelesaian yang diketahui. Namun, untuk sistem dengan lebih dari dua variabel, prosesnya bisa lebih panjang karena mungkin melibatkan eliminasi atau metode lain setelah substitusi awal.
