Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat x^2 + 5x + 3 = 0, tentukan nilai berikut. a. x1 + x2 b. x1x2. Soal ini seperti teka-teki matematika yang sering bikin penasaran, seolah-olah kita harus mencari si x1 dan x2 dulu baru bisa dijumlah atau dikali.
Padahal, ada jalan pintas yang jauh lebih cepat dan nggak perlu pusing-pusing menghitung akar-akar yang nilainya mungkin pecahan aneh atau bahkan irasional.
Tenang aja, kita punya jurus rahasia bernama rumus Vieta yang bakal mempermudah semuanya. Dengan rumus ini, nilai x1 + x2 dan x1x2 bisa langsung ditemukan hanya dengan melirik sekilas pada koefisien persamaan kuadratnya. Mari kita bedah persamaan x² + 5x + 3 = 0 ini dan temukan jawabannya dengan cara yang simpel dan elegan.
Konsep Dasar Akar Persamaan Kuadrat
Akar-akar persamaan kuadrat adalah nilai-nilai variabel x yang memenuhi persamaan tersebut, atau dengan kata lain, nilai x yang membuat hasil persamaan menjadi nol. Dalam konteks grafik, persamaan kuadrat direpresentasikan sebagai sebuah parabola. Akar-akar persamaan ini merupakan titik-titik di mana parabola tersebut memotong sumbu-x. Jumlah titik potong ini bisa dua, satu (bersinggungan), atau bahkan tidak ada sama sekali, tergantung pada nilai diskriminannya.Persamaan yang kita bahas adalah x² + 5x + 3 =
- Dari bentuk standar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, kita dapat dengan mudah mengidentifikasi setiap koefisiennya. Nilai a, yaitu koefisien dari x², adalah
- Nilai b, koefisien dari x, adalah
- Sementara itu, nilai c, yang merupakan konstanta, adalah
- Ketika kita mensubstitusikan suatu akar, misalnya x1, ke dalam persamaan, maka persamaan tersebut akan benar-benar terpenuhi: (x1)² + 5(x1) + 3 = 0.
Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar, Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat x^2 + 5x + 3 = 0, tentukan nilai berikut. a. x1 + x2 b. x1x2
Tanpa perlu mencari nilai masing-masing akar secara manual, kita dapat langsung menemukan jumlah dan hasil kali dari kedua akar persamaan kuadrat. Rahasia ini diungkap oleh seorang matematikawan Prancis bernama François Viète, sehingga rumus ini dikenal sebagai Rumus Vieta. Rumus ini memberikan hubungan yang elegan antara koefisien persamaan dengan sifat-sifat akarnya.Rumus umumnya sangat sederhana. Untuk suatu persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, jumlah akar-akarnya adalah x1 + x2 = -b/a.
Sedangkan hasil kali dari akar-akarnya adalah x1x2 = c/a. Kekuatan rumus ini terletak pada kemudahannya; kita hanya perlu melihat koefisien a, b, dan c.Untuk persamaan spesifik kita, x² + 5x + 3 = 0, kita sudah mengetahui a = 1, b = 5, dan c = 3. Mari kita bandingkan penerapan rumus umum dengan nilai spesifik ini dalam sebuah tabel.
| Operasi | Rumus Umum (ax² + bx + c = 0) | Penerapan pada x² + 5x + 3 = 0 |
|---|---|---|
| Jumlah Akar (x1 + x2) | -b / a | -(5) / 1 = -5 |
| Hasil Kali Akar (x1 – x2) | c / a | 3 / 1 = 3 |
Sebagai contoh penerapan pada persamaan lain, ambil persamaan 2x²8x + 6 = 0. Berdasarkan Rumus Vieta, jumlah akarnya adalah -(-8)/2 = 4, dan hasil kalinya adalah 6/2 = 3. Jika kita faktorkan menjadi (2x – 2)(x – 3)=0, akarnya adalah x1=1 dan x2=3. Jumlahnya 1+3=4 dan hasil kalinya 1*3=3, yang persis sesuai dengan hasil rumus Vieta.
Penyelesaian Langsung untuk Persamaan x² + 5x + 3 = 0
Meskipun Rumus Vieta sudah memberikan jawaban, penting untuk memahami bagaimana nilai-nilai akar tersebut dihitung secara individual. Hal ini akan memperkuat pemahaman dan memvalidasi kebenaran rumus Vieta. Untuk menemukan akar-akar persamaan kuadrat, kita menggunakan rumus kuadratik atau rumus ABC.Rumus ABC dinyatakan sebagai:
x = [-b ± √(b²
4ac)] / (2a)
Langkah-langkah perhitungan untuk persamaan x² + 5x + 3 = 0 adalah sebagai berikut:
- Identifikasi koefisien: a = 1, b = 5, c = 3.
- Hitung nilai diskriminan (D): D = b²
- 4ac = (5)²
- 4(1)(3) = 25 – 12 = 13.
- Karena D > 0, persamaan memiliki dua akar real yang berbeda.
- Substitusikan nilai a, b, dan D ke dalam rumus ABC:x = [-5 ± √13] / (2 – 1)x = (-5 ± √13) / 2
- Dengan demikian, kita peroleh dua akar:x1 = (-5 + √13)/2×2 = (-5 – √13)/2
Sekarang, mari kita bandingkan nilai x1 + x2 dan x1
x2 dari perhitungan manual ini dengan hasil dari rumus Vieta.
- Jumlah Akar (Manual): x1 + x2 = [(-5 + √13)/2] + [(-5 – √13)/2] = (-5 -5 + √13 – √13)/2 = (-10)/2 = -5.
- Hasil Kali Akar (Manual): x1
– x2 = [(-5 + √13)/2]
– [(-5 – √13)/2] = [(-5)²
-(√13)²] / 4 = (25 – 13)/4 = 12/4 = 3.
Kedua hasil ini sama persis dengan hasil yang kita dapatkan dari rumus Vieta sebelumnya, yaitu -5 dan 3. Ini membuktikan keakuratan dan keefisienan rumus Vieta.
Aplikasi dan Contoh Soal Terkait
Source: z-dn.net
Pemahaman tentang jumlah dan hasil kali akar ini bukan hanya sekadar penghafalan rumus, tetapi sangat aplikatif dalam menyelesaikan berbagai masalah aljabar yang lebih kompleks, seperti membentuk persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan transformasi dari akar persamaan lama.Berikut adalah tiga soal latihan dengan tingkat kesulitan yang berbeda:
- Mudah: Diketahui persamaan kuadrat 3x² + 7x – 6 = 0 dengan akar-akar p dan q. Tentukan nilai dari p + q dan p – q.
- Sedang: Akar-akar persamaan x²(k+2)x + 12 = 0 adalah α dan β. Jika α = 3β, tentukan nilai k dan akar-akarnya.
- Sulit: Persamaan kuadrat x²5x + 7 = 0 mempunyai akar-akar m dan n. Bentuklah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah (m+2) dan (n+2).
Terkadang, persamaan kuadrat disajikan dalam bentuk yang tidak standar, misalnya 2x(x – 4) =
- Langkah pertama yang harus selalu dilakukan adalah mengubahnya ke bentuk standar ax² + bx + c =
- Dalam contoh ini, kita kalikan dan pindahkan semua suku: 2x²
- 8x – 10 = 0. Setelah itu, baru koefisien a, b, dan c dapat diidentifikasi untuk digunakan dalam rumus Vieta.
Sifat-sifat akar sangat erat kaitannya dengan nilai diskriminan. Tabel berikut merangkum hubungan tersebut:
| Nilai Diskriminan (D = b² – 4ac) | Sifat Akar-Akar | Jumlah Titik Potong dengan Sumbu-x |
|---|---|---|
| D > 0 | Akar real dan berbeda | Dua titik |
| D = 0 | Akar real dan kembar | Satu titik (bersinggungan) |
| D < 0 | Akar imajiner/khayal | Tidak ada |
Visualisasi dan Interpretasi Grafik
Grafik dari persamaan kuadrat x² + 5x + 3 = 0 adalah sebuah parabola yang terbuka ke atas karena koefisien a = 1 (positif). Parabola ini memotong sumbu-y di titik (0, 3), yang merupakan nilai konstanta c. Yang lebih penting untuk kita adalah titik potongnya dengan sumbu-x, karena titik-titik inilah yang merepresentasikan akar-akar persamaan kita, x1 dan x2.Berdasarkan perhitungan, kita memiliki dua titik potong dengan sumbu-x, yaitu pada koordinat ( (-5 + √13)/2 , 0 ) dan ( (-5 – √13)/2 , 0 ).
Nilai √13 kira-kira adalah 3.6, sehingga posisi kedua akar ini dapat kita perkirakan: x1 ≈ (-5 + 3.6)/2 ≈ -0.7 dan x2 ≈ (-5 – 3.6)/2 ≈ -4.3. Jika kita jumlahkan kedua nilai perkiraan ini, hasilnya mendekati -5, dan jika kita kalikan, hasilnya mendekati 3, sesuai dengan rumus Vieta.Nilai diskriminan D = 13, yang positif, menjelaskan mengapa grafik memotong sumbu-x di dua titik yang terpisah.
Nah, kalau kamu udah paham cara nemuin nilai x1 + x2 dan x1x2 dari persamaan x² + 5x + 3 = 0, skill itu bisa banget buat diaplikasikan ke soal lain, kayak saat Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat : 2x^2 – 7x + 6 = 0!. Prinsip dasarnya sama aja, jadi pemahamanmu tentang relasi akar-akar tadi bakal sangat membantu untuk menyelesaikan berbagai tipe persamaan kuadrat dengan lebih cepat dan tepat.
Sumbu simetri parabola ini terletak pada x = -b/(2a) = -5/2 = -2.5. Nilai ini tepat berada di tengah-tengah antara kedua akar, karena (x1 + x2)/2 = (-5)/2 = -2.5. Puncak parabola (titik minimum) berada tepat pada garis x = -2.5 ini. Visualisasi grafik ini memperkuat pemahaman aljabar bahwa akar-akar persamaan adalah cerminan dari perilaku geometris grafiknya.
Ringkasan Terakhir: Jika X1 Dan X2 Merupakan Akar-akar Persamaan Kuadrat X^2 + 5x + 3 = 0, Tentukan Nilai Berikut. A. X1 + X2 B. X1x2
Jadi, itulah dia rahasia di balik soal yang terlihat rumit ini. Kita berhasil menemukan bahwa x1 + x2 = -5 dan x1x2 = 3 tanpa harus menyelesaikan akar-akarnya satu per satu. Metode ini bukan hanya sekadar trik, tapi sebuah penghematan waktu yang sangat berarti, apalagi saat ujian yang serba cepat.
Selanjutnya, kalau ketemu soal serupa, langsung saja ingat rumus Vieta. Langsung identifikasi nilai a, b, dan c, lalu selesaikan dalam satu atau dua langkah. Semakin sering dilatih, semakin mudah dan cepat kamu menyelesaikannya. Selamat berlatih dan semoga makin jago matematika!
FAQ Lengkap
Apakah rumus Vieta hanya berlaku untuk persamaan kuadrat yang akar-akarnya real?
Tidak. Rumus Vieta juga berlaku untuk akar-akar yang tidak real (imajiner/kompleks). Selama persamaannya adalah persamaan kuadrat, hubungan antara koefisien dan jumlah serta hasil kali akar akan selalu benar.
Nah, untuk soal x² + 5x + 3 = 0, nilai x1 + x2 dan x1.x2-nya bisa kamu temukan pake rumus jumlah dan hasil kali akar, loh. Prinsip yang sama juga berlaku buat nemuin Akar-akar persamaan kuadrat 6x^2 – 7x – 10 = 0 adalah apa. Jadi, balik lagi ke persamaan awal, x1 + x2 pasti -5 dan x1.x2 = 3, gampang banget, kan?
Bagaimana jika persamaan kuadratnya tidak dalam bentuk standar, misalnya 2x²
-4x + 6 = 0?
Rumus Vieta tetap berlaku. Pastikan persamaan sudah dalam bentuk ax² + bx + c = 0. Untuk 2x²
-4x + 6 = 0, nilai a=2, b=-4, c=6. Maka x1 + x2 = -(-4)/2 = 2 dan x1*x2 = 6/2 = 3.
Apakah kita bisa mencari selisih akar (x1 – x2) dengan rumus Vieta juga?
Tidak langsung. Rumus Vieta baku hanya untuk jumlah dan hasil kali. Namun, nilai (x1 – x2)² bisa dicari dengan mengembangkan (x1 + x2)²
-4x1x2, yang komponennya didapat dari Vieta.
