Akar-akar persamaan kuadrat 6x^2 – 7x – 10 = 0 adalah teka-teki angka yang menantang untuk dipecahkan. Persamaan ini bukan sekadar huruf dan angka yang acak, tapi sebuah puzzle matematika yang punya solusi pasti. Menemukan nilai x yang memenuhi persamaan ini ibarat mencari harta karun yang tersembunyi, di mana petunjuknya adalah rumus dan logika.
Persamaan kuadrat seperti ini memiliki bentuk umum ax² + bx + c = 0, dan untuk menyelesaikannya, kita punya beberapa senjata andalan. Dua metode paling populer adalah pemfaktoran dan menggunakan rumus ABC. Keduanya akan membawa kita pada jawaban yang sama, membuktikan keindahan dan konsistensi dalam matematika.
Pengenalan Persamaan Kuadrat
Sebelum menyelam lebih dalam, mari kita sepakati dulu apa itu persamaan kuadrat. Secara umum, bentuknya ditulis sebagai ax² + bx + c = 0, di mana a, b, dan c adalah bilangan real dan a tidak boleh sama dengan nol. Variabel x adalah yang kita cari nilainya, sementara a, b, dan c adalah koefisien yang menentukan sifat dari persamaan tersebut.
Koefisien a khususnya sangat penting karena dia yang membuat persamaan ini ‘kuadrat’.
Persamaan kuadrat bukan hanya abstraksi matematika. Ia muncul dalam berbagai konteks, seperti menghitung luas tanah, menentukan titik tertinggi lemparan bola, atau bahkan dalam perhitungan keuangan untuk mencari break-even point. Memahami komponen-komponennya adalah langkah pertama untuk menguasai berbagai pemecahan masalah ini. Peran koefisien a, b, dan konstanta c sangat krusial; mereka secara langsung mempengaruhi bentuk grafik (parabola) dan sifat akar-akar persamaannya, apakah akarnya real atau imajiner, berbeda atau sama.
Bentuk Umum dan Komponen Persamaan Kuadrat
Setiap persamaan kuadrat memiliki struktur dasar yang sama. Koefisien a mengontrol seberapa ‘curam’ dan arah bukaan parabola. Jika a positif, parabola terbuka ke atas, dan jika negatif, terbuka ke bawah. Koefisien b memengaruhi posisi sumbu simetri parabola, sedangkan konstanta c menunjukkan titik potong grafik dengan sumbu y. Langkah pertama universal dalam menyelesaikan persamaan kuadrat apapun adalah memastikannya telah dalam bentuk standar ax² + bx + c = 0.
Ini memudahkan kita untuk memilih metode terbaik, apakah itu pemfaktoran, melengkapkan kuadrat, atau menggunakan rumus ABC.
Metode Pemfaktoran untuk 6x²
7x – 10 = 0
7x – 10 = 0
Pemfaktoran adalah metode yang elegan dan sering kali cepat untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, terutama ketika koefisiennya adalah bilangan bulat. Intinya, kita mencari dua binomial yang ketika dikalikan menghasilkan trinomial yang kita miliki. Untuk persamaan kita, 6x²
-7x – 10 = 0, kita perlu mencari dua bilangan yang memenuhi dua kondisi: hasil kalinya sama dengan (a
– c) = 6
– (-10) = -60, dan hasil jumlahnya sama dengan b = -7.
Prosedurnya dimulai dengan mencoba berbagai pasangan faktor dari -60. Proses ini bisa menantang karena banyaknya kemungkinan kombinasi. Kendala umum adalah merasa frustasi ketika pasangan angka yang dicoba belum juga tepat. Solusinya adalah bersabar dan sistematis, mungkin dengan membuat tabel untuk mencatat semua kemungkinan pasangan faktor dan hasil penjumlahannya.
Tabel Perkalian Silang untuk Pemfaktoran
Berikut adalah tabel yang merinci pencarian dua bilangan yang memenuhi kriteria untuk persamaan 6x²
-7x – 10 = 0.
| Faktor 1 | Faktor 2 | Hasil Kali (F1 – F2) | Hasil Jumlah (F1 + F2) |
|---|---|---|---|
| 5 | -12 | -60 | -7 |
| -5 | 12 | -60 | 7 |
| 6 | -10 | -60 | -4 |
| -6 | 10 | -60 | 4 |
| 4 | -15 | -60 | -11 |
| 3 | -20 | -60 | -17 |
Dari tabel tersebut, kita menemukan bahwa pasangan 5 dan -12 memenuhi syarat: 5
– (-12) = -60 dan 5 + (-12) = -7. Selanjutnya, kita memecah suku -7x menjadi 5x dan -12x untuk kemudian difaktorkan secara berkelompok.
(6x² + 5x) + (-12x – 10) = 0
x(6x + 5)2(6x + 5) = 0
(6x + 5)(x – 2) = 0
Bentuk persamaan setelah berhasil difaktorkan adalah (6x + 5)(x – 2) = 0. Dari sini, kita dapat dengan mudah menemukan nilai x yang memenuhi.
Rumus Kuadratik (Rumus ABC)
Ketika pemfaktoran terasa sulit atau tidak mungkin, rumus ABC adalah senjata pamungkas yang selalu bisa diandalkan. Rumus ini langsung memberikan nilai akar-akar persamaan kuadrat tanpa perlu menebak-nebak faktor. Rumusnya adalah x = [-b ± √(b²
-4ac)] / (2a). Bagian di dalam akar kuadrat, yaitu b²
-4ac, disebut diskriminan (D). Nilai diskriminan ini adalah kunci untuk mengetahui sifat akar tanpa harus menghitungnya.
Untuk persamaan 6x²
-7x – 10 = 0, kita identifikasi nilainya: a = 6, b = -7, c = -10. Langkah pertama adalah menghitung nilai diskriminannya. Sebuah diskriminan yang positif menandakan bahwa persamaan memiliki dua akar real yang berbeda. Hal ini akan terlihat pada grafik sebagai parabola yang memotong sumbu x di dua titik yang berbeda.
Perhitungan dan Hasil Rumus ABC, Akar-akar persamaan kuadrat 6x^2 – 7x – 10 = 0 adalah
Mari kita terapkan rumus ABC langkah demi langkah.
Pertama, hitung diskriminan: D = b²
-4ac = (-7)²
-4*(6)*(-10) = 49 + 240 = 289. Karena D = 289 > 0, kita tahu ada dua akar real yang berbeda. Akar kuadrat dari 289 adalah 17.
Kedua, substitusikan semua nilai ke dalam rumus:
x = [7 ± 17] / 12
Ini memberikan kita dua solusi:
x₁ = (7 + 17) / 12 = 24 / 12 = 2
x₂ = (7 – 17) / 12 = (-10) / 12 = -5/6
Berikut adalah tabel ringkasan perhitungannya:
| Koefisien a | Koefisien b | Konstanta c | Diskriminan (D) | Akar (x₁) | Akar (x₂) |
|---|---|---|---|---|---|
| 6 | -7 | -10 | 289 | 2 | -5/6 |
Berdasarkan akar-akar yang ditemukan, yaitu x = 2 dan x ≈ -0.833, ilustrasi grafiknya adalah sebuah parabola yang terbuka ke atas (karena a=6 positif) dan memotong sumbu x di dua titik tersebut. Titik potong dengan sumbu y berada di (0, -10).
Verifikasi Solusi Akar-Akar
Setelah mendapatkan solusi, langkah penting yang tidak boleh dilewatkan adalah verifikasi. Tujuannya adalah memastikan bahwa tidak terjadi kesalahan hitung selama proses. Verifikasi dilakukan dengan mensubstitusikan atau memasukkan kembali nilai x yang kita peroleh ke dalam persamaan kuadrat asli. Jika hasilnya nol, maka solusi tersebut benar.
Baik metode pemfaktoran maupun rumus ABC menghasilkan jawaban yang sama, yaitu x = 2 dan x = -5/6. Ini adalah bukti bahwa kedua metode tersebut valid dan saling mengonfirmasi kebenaran hasilnya. Konsistensi ini memberikan keyakinan bahwa kita telah menyelesaikan persamaan dengan tepat.
Langkah-Langkah Verifikasi
Proses verifikasi ini sederhana namun krusial.
- Ambil salah satu akar, misalnya x = 2.
- Substitusikan ke dalam persamaan awal: 6(2)²
-7(2)
-10. - Hitung hasilnya: 6(4) = 24, lalu 24 – 14 = 10, kemudian 10 – 10 = 0.
- Lakukan hal yang sama untuk akar kedua, x = -5/6: 6(-5/6)²
-7(-5/6)
-10. - Hitung hasilnya: 6(25/36) = 150/36 = 25/6, lalu -7(-5/6) = 35/6, sehingga 25/6 + 35/6 = 60/6 = 10, kemudian 10 – 10 = 0.
Kedua perhitungan menghasilkan nol, mengonfirmasi bahwa kedua nilai x tersebut adalah akar-akar yang benar.
Aplikasi dan Contoh Serupa
Pemahaman tentang persamaan kuadrat menjadi lebih kuat ketika kita melihat penerapannya dalam soal yang mirip dan dalam konteks dunia nyata. Melatih diri dengan contoh soal yang pola koefisiennya serupa membantu kita lebih lihai dalam memilih metode penyelesaian yang paling efisien.
Nilai diskriminan tidak hanya memberi tahu jumlah akar, tetapi juga menggambarkan bagaimana posisi grafik parabola terhadap sumbu x. Diskriminan positif (D > 0) berarti parabola memotong sumbu x di dua titik. Diskriminan nol (D = 0) berarti parabola menyinggung sumbu x di satu titik. Sementara diskriminan negatif (D < 0) berarti parabola tidak memotong maupun menyinggung sumbu x sama sekali (selalu berada di atas atau di bawahnya).
Contoh Soal Latihan
Berikut dua contoh persamaan kuadrat dengan karakteristik koefisien yang mirip untuk dicoba.
- 4x²
-4x – 15 = 0 (Coba faktorkan dan bandingkan dengan rumus ABC) - 10x² + x – 3 = 0 (Perhatikan koefisien a dan c yang lebih besar)
Masalah Kontekstual
Source: rumushitung.com
Seorang pengusaha membuat kerajinan tangan. Dia memperkirakan bahwa total biaya produksi untuk membuat x unit barang dinyatakan dengan persamaan B(x) = 6x²
-7x + 10. Jika dia ingin total biayanya tepat Rp 100.000, kita dapat membentuk persamaan 6x²
-7x + 10 = 100, yang kemudian dapat disederhanakan menjadi 6x²
-7x – 90 = 0. Penyelesaian persamaan kuadrat ini akan memberikan jumlah unit (x) yang harus diproduksi untuk mencapai target biaya tersebut, dengan asumsi x harus bilangan real positif.
Ringkasan Akhir
Jadi, setelah melalui proses pemfaktoran dan rumus ABC, kita sampai pada kesimpulan yang solid. Nilai-nilai x tersebut adalah kunci yang membuka persamaan itu. Pemahaman ini bukan akhir, melainkan pintu gerbang untuk menyelesaikan persoalan matematika yang lebih kompleks dan kontekstual di kehidupan nyata.
Selalu ingat, verifikasi dengan substitusi balik adalah langkah terpenting untuk memastikan tidak ada kesalahan perhitungan. Sekarang, pengetahuan ini ada di genggaman kamu. Coba terapkan pada soal lain dan lihat bagaimana matematika menjadi jauh lebih menarik dan mengasyikkan.
Kumpulan FAQ: Akar-akar Persamaan Kuadrat 6x^2 – 7x – 10 = 0 Adalah
Apakah akar-akar dari persamaan ini bisa berupa bilangan imajiner?
Tidak. Karena nilai diskriminannya (D = 289) positif, akar-akarnya adalah dua bilangan real yang berbeda.
Mengapa metode pemfaktoran terasa lebih sulit untuk persamaan ini?
Karena koefisien a (angka di depan x²) bukan 1, sehingga memerlukan lebih banyak percobaan dalam perkalian silang untuk menemukan pasangan angka yang tepat.
Bisakah persamaan ini diselesaikan dengan melengkapkan kuadrat?
Bisa. Metode melengkapkan kuadrat adalah metode universal yang bisa digunakan untuk menyelesaikan segala bentuk persamaan kuadrat, meskipun untuk persamaan ini, rumus ABC dianggap lebih efisien.
Bagaimana jika tanda pada persamaan dibalik menjadi 6x^2 + 7x – 10 = 0?
Akar-akarnya akan berubah total karena perubahan tanda pada koefisien b mengubah seluruh perhitungan diskriminan dan nilai akar-akarnya.
