Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat 2x^2 – 7x + 6 = 0

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat : 2x^2 – 7x + 6 = 0! Kalau kamu lagi berhadapan sama soal kayak gini, jangan langsung panik dulu. Soal-soal aljabar yang keliatan ribet ini sebenernya punya pola dan cara penyelesaian yang bisa dipelajari, bahkan jadi cukup menyenangkan kalau udah ngerjainnya.

Persamaan kuadrat adalah salah satu fondasi penting dalam matematika. Bentuk umumnya ax² + bx + c = 0 menyimpan nilai-nilai a, b, dan c yang kalo kita olah dengan benar, akan ngasih tau kita nilai x yang memenuhi persamaan tersebut. Nah, himpunan penyelesaian inilah yang jadi kunci dari banyak permasalahan, baik di dunia akademis maupun aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari.

Pengenalan Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah fondasi dalam aljabar yang mewakili hubungan kuadratik antara variabel. Bentuk umumnya selalu ditulis sebagai ax² + bx + c = 0, di mana a, b, dan c adalah koefisien dengan a ≠ 0. Koefisien a menentukan seberapa curam kurva parabola yang terbentuk, b memengaruhi posisi sumbu simetrinya, dan c menunjukkan titik potong kurva dengan sumbu y. Memahami komponen-komponen ini adalah langkah pertama untuk menguasai berbagai metode penyelesaiannya.

Menemukan himpunan penyelesaian, atau akar-akar persamaan, berarti mencari nilai-nilai x yang membuat persamaan tersebut bernilai benar (nol). Proses ini tidak hanya sekadar memecahkan soal matematika, tetapi juga tentang memahami perilaku suatu fungsi kuadrat. Akar-akar ini bisa saja berupa bilangan real yang berbeda, bilangan real yang sama (kembar), atau bahkan bilangan kompleks/imanjer, tergantung pada nilai diskriminannya. Kemampuan mengidentifikasi jenis solusi ini sangat krusial untuk analisis lebih lanjut dalam kalkulus dan pemodelan matematika.

Bentuk Umum dan Komponen

Setiap persamaan kuadrat memiliki struktur standar yang mudah dikenali. Koefisien a adalah angka yang mengiringi x², koefisien b menemani x, dan c adalah konstanta yang berdiri sendiri. Misalnya, dalam persamaan 5x²
-3x + 2 = 0 , nilai a = 5, b = -3, dan c = 2. Syarat mutlaknya adalah a tidak boleh nol karena jika nol, persamaan tersebut berubah menjadi persamaan linear.

Berikut adalah contoh-contoh persamaan kuadrat dalam bentuk standar:

• x² + 4x - 5 = 0 (dengan a=1, b=4, c=-5)
• 3x²
-12 = 0 (dengan a=3, b=0, c=-12)
• -2x² + 5x = 0 (dengan a=-2, b=5, c=0)

Jenis-Jenis Solusi

Jenis akar sebuah persamaan kuadrat sepenuhnya ditentukan oleh nilai diskriminan (D), yang dihitung dari rumus D = b²
-4ac . Diskriminan ini ibarat penentu nasib dari persamaan tersebut.

• Akar Real Berbeda: Terjadi ketika D > 0. Kurva parabola memotong sumbu x di dua titik yang berbeda.
• Akar Real Kembar: Terjadi ketika D = 0. Kurva parabola hanya menyentuh sumbu x di satu titik (titik puncak).
• Akar Imajiner/Kompleks: Terjadi ketika D < 0. Kurva parabola tidak pernah menyentuh atau memotong sumbu x.

Metode Pemfaktoran

Pemfaktoran adalah metode penyelesaian persamaan kuadrat yang paling elegan dan sering kali paling cepat ketika polanya dapat dikenali. Inti dari metode ini adalah menguraikan persamaan kuadrat yang rumit menjadi perkalian dua faktor linear yang lebih sederhana. Prinsip dasarnya adalah mencari dua bilangan yang ketika dikalikan hasilnya sama dengan a × c, dan ketika dijumlahkan hasilnya sama dengan b. Keberhasilan metode ini sangat bergantung pada kejelian melihat pola angka.

Untuk persamaan berbentuk ax² + bx + c = 0, langkah-langkah pemfaktorannya adalah sebagai berikut: pertama, kalikan a dengan c. Kedua, cari dua bilangan yang hasil kalinya a×c dan hasil jumlahnya b. Ketiga, uraikan suku bx menjadi dua suku berdasarkan dua bilangan yang telah ditemukan. Keempat, faktorkan persamaan yang telah diuraikan dengan mengelompokkan suku-sukunya. Metode ini mengubah masalah mencari akar menjadi masalah mencari faktor yang jauh lebih intuitif.

Pola Pemfaktoran

Tidak semua persamaan kuadrat difaktorkan dengan pola yang sama. Beberapa pola umum yang sering muncul dapat dilihat pada tabel berikut. Mengenali pola-pola ini akan mempercepat proses penyelesaian.

Pemfaktoran 2x² - 7x + 6 = 0

Mari kita terapkan langkah-langkah tersebut pada persamaan 2x²
-7x + 6 = 0 . Pertama, kita kalikan a dan c: 2 × 6 = 12. Kita perlu mencari dua bilangan yang hasil kalinya 12 dan hasil jumlahnya -7. Dua bilangan tersebut adalah -3 dan -4, karena (-3) × (-4) = 12 dan (-3) + (-4) = -7.

Kedua, kita uraikan suku -7x menjadi -3x - 4x. sehingga persamaannya menjadi:
2x²
-3x - 4x + 6 = 0

Ketiga, kita kelompokkan dan faktorkan suku-sukunya:
(2x²
-3x) + (-4x + 6) = 0
x(2x - 3) -2(2x - 3) = 0

Keempat, kita dapat melihat bahwa (2x - 3) adalah faktor bersama, sehingga:
(2x - 3)(x - 2) = 0

Dari sini, kita dapatkan dua penyelesaian:
2x - 3 = 0 → x = 3/2
x - 2 = 0 → x = 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 3/2, 2 .

Contoh Soal Latihan Pemfaktoran

Berikut adalah beberapa soal untuk melatih kepekaan dalam mengenali pola pemfaktoran.

Soal 1: Tentukan akar-akar dari x²
-5x + 6 = 0 .
Pembahasan: Cari dua bilangan yang dikali 6 dan dijumlah -
5. Bilangannya adalah -2 dan -
3. Faktor: (x - 2)(x - 3) = 0. Akar-akarnya: x = 2 atau x = 3.

Soal 2: Selesaikan 6x² + x - 2 = 0 dengan pemfaktoran.
Pembahasan: a×c = 6×(-2) = -
12. Cari dua bilangan yang dikali -12 dan dijumlah
1. Bilangannya adalah 4 dan -
3. Uraikan: 6x² + 4x - 3x - 2 = 0.

Kelompokkan: 2x(3x + 2) -1(3x + 2) = 0. Faktor: (3x + 2)(2x - 1) = 0. Akar-akarnya: x = -2/3 atau x = 1/2.

Soal 3: Faktorkan dan temukan akar dari x²
-9 = 0 .
Pembahasan: Ini adalah bentuk selisih kuadrat. Faktor: (x - 3)(x + 3) = 0. Akar-akarnya: x = 3 atau x = -3.

Rumus Kuadratik (Rumus ABC): Tentukan Himpunan Penyelesaian Dari Persamaan Kuadrat : 2x^2 - 7x + 6 = 0!

Jika metode pemfaktoran terasa seperti teka-teki yang membutuhkan kejelian, maka Rumus ABC adalah palu godam yang dapat memecahkan semua jenis persamaan kuadrat, sekalipun yang terlihat rumit. Metode ini bersifat mutlak dan deterministik, memberikan solusi berupa rumus yang hanya membutuhkan substitusi nilai. Rumus ini dinyatakan sebagai: x = [-b ± √(b²
-4ac)] / (2a) . Bagian di bawah akar kuadrat, yaitu b²
-4ac , disebut diskriminan (D), yang telah kita bahas sebelumnya sebagai penentu jenis akar.

Kelebihan utama Rumus ABC adalah kemampuannya menangani persamaan dengan koefisien pecahan, desimal, atau bilangan besar yang sulit difaktorkan secara intuitif. Kelemahannya, perhitungannya bisa lebih panjang dan rawan terjadi kesalahan teknis dalam operasi tanda dan akar. Namun, dari segi universalitas, rumus ini tidak tertandingi.

Diskriminan dan Jenis Akar

Nilai diskriminan memberikan kita informasi penting tentang sifat akar-akar persamaan bahkan sebelum kita menghitung nilai x-nya secara lengkap. Hubungannya dirangkum dalam tabel berikut.

Penerapan Rumus ABC pada 2x² - 7x + 6 = 0

Source: gauthmath.com

Mari kita buktikan bahwa Rumus ABC memberikan hasil yang sama dengan metode pemfaktoran. Dari persamaan 2x²
-7x + 6 = 0 , kita identifikasi nilainya: a = 2, b = -7, c = 6.

Pertama, hitung nilai diskriminannya:
D = b²
-4ac
D = (-7)²
-4(2)(6)
D = 49 - 48
D = 1

Karena D = 1 > 0, kita tahu persamaan ini memiliki dua akar real yang berbeda. Selanjutnya, substitusikan semua nilai ke dalam Rumus ABC:

x = [-(-7) ± √(1)] / (2 × 2)
x = [7 ± 1] / 4

Ini menghasilkan dua solusi:
x₁ = (7 + 1) / 4 = 8 / 4 = 2
x₂ = (7 - 1) / 4 = 6 / 4 = 3/2

Ternyata, hasilnya persis sama: x = 2 atau x = 3/2.

Metode Melengkapkan Kuadrat

Melengkapkan kuadrat adalah metode yang elegan dan powerful, yang tidak hanya untuk mencari akar tetapi juga untuk menemukan bentuk vertex suatu parabola ( y = a(x - h)² + k). Proses ini melibatkan manipulasi aljabar untuk mengubah persamaan kuadrat standar menjadi bentuk kuadrat sempurna. Meskipun terkadang dianggap lebih rumit dibandingkan dua metode sebelumnya, memahami metode ini memberikan insight mendalam tentang bagaimana bentuk kuadrat bekerja dan menjadi dasar untuk menurunkan Rumus ABC itu sendiri.

Langkah-langkahnya sistematis: pertama, pastikan koefisien x² adalah 1. Jika bukan, bagi seluruh persamaan dengan a. Kedua, pindahkan konstanta c ke ruas kanan. Ketiga, tambahkan kuadrat dari setengah koefisien x ke kedua ruas. Ruas kiri sekarang menjadi kuadrat sempurna.

Keempat, faktorkan ruas kiri menjadi kuadrat binomial dan selesaikan dengan menarik akar kuadrat.

Melengkapkan Kuadrat untuk 2x² - 7x + 6 = 0

Mari kita transformasi persamaan kita langkah demi langkah.

Langkah 1: Koefisien x² adalah 2, jadi bagi semua suku dengan 2.
x²
-(7/2)x + 3 = 0

Langkah 2: Pindahkan konstanta ke ruas kanan.
x²
-(7/2)x = -3

Langkah 3: Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien x ke kedua ruas. Koefisien x adalah -7/2, setengahnya adalah -7/4, kuadratnya adalah (-7/4)² = 49/16.
x²
-(7/2)x + 49/16 = -3 + 49/16

Langkah 4: Faktorkan ruas kiri (yang sekarang adalah kuadrat sempurna) dan hitung ruas kanan.
(x - 7/4)² = (-48/16) + (49/16)
(x - 7/4)² = 1/16

Langkah 5: Selesaikan dengan menarik akar kuadrat dari kedua ruas.
x - 7/4 = ± √(1/16)
x - 7/4 = ± 1/4
x = 7/4 ± 1/4

Sehingga diperoleh solusi:
x₁ = 7/4 + 1/4 = 8/4 = 2
x₂ = 7/4 - 1/4 = 6/4 = 3/2

Efektivitas Metode Melengkapkan Kuadrat

Metode ini sangat efektif dalam skenario tertentu. Pertama, ketika koefisien a adalah 1 dan b adalah bilangan genap, perhitungan menjadi sangat cepat. Kedua, metode ini adalah satu-satunya cara langsung untuk mengubah bentuk umum menjadi bentuk vertex, yang sangat berguna dalam menggambar grafik parabola dan menemukan titik puncak (maksimum/minimum) suatu fungsi kuadrat tanpa menggunakan kalkulus. Ketiga, metode ini merupakan landasan teoretis untuk memahami dari mana asal Rumus ABC.

Aplikasi dan Contoh Soal

Persamaan kuadrat bukanlah sekadar abstraksi matematika yang hidup di dalam buku teks. Konsep ini memodelkan berbagai fenomena dalam kehidupan nyata, dari lintatan bola yang dilempar hingga strategi memaksimalkan keuntungan dalam bisnis. Memahami bagaimana menerjemahkan masalah dunia nyata ke dalam bentuk ax² + bx + c = 0 adalah keterampilan yang sangat berharga. Ini melatih pola pikir matematis untuk melihat hubungan kuadratik di sekeliling kita.

Berikut adalah beberapa contoh permasalahan yang dapat dimodelkan dengan persamaan kuadrat:

• Fisika: Menghitung waktu tempuh atau ketinggian maksimum suatu benda yang dilempar.
• Ekonomi: Menganalisis break-even point atau memaksimalkan keuntungan dengan menghitung harga jual optimal.
• Arsitektur: Merancang lengkungan jembatan atau jendela yang berbentuk parabola.
• Elektronika: Menghitung nilai-nilai komponen dalam rangkaian listrik tertentu.

Soal Cerita dan Pembahasan, Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat : 2x^2 - 7x + 6 = 0!

Soal 1: Sebuah tanah berbentuk persegi panjang memiliki luas 60 m². Jika panjangnya 2 meter lebihnya dari lebarnya, tentukan panjang dan lebar tanah tersebut.
Pembahasan: Misalkan lebar = w meter, maka panjang = w + 2 meter. Luas: w(w + 2) = 60. Ini membentuk persamaan kuadrat: w² + 2w - 60 = 0.

Dengan Rumus ABC, diskriminan D=4+240=244. Diperoleh w = (-2 ± √244)/2. Karena lebar tidak mungkin negatif, kita ambil w = (-2 + √244)/2 ≈ (-2 + 15.62)/2 ≈ 6.81 meter. Panjang ≈ 8.81 meter.

Soal 2: Sebuah perusahaan menyatakan bahwa keuntungan hariannya (dalam juta rupiah) dimodelkan oleh persamaan P = -2x² + 7x + 6, dengan x adalah jumlah unit yang terjual. Berapa unit yang harus terjual agar perusahaan tidak untung maupun rugi (break-even)?
Pembahasan: Kondisi break-even terjadi ketika P = 0. Jadi, kita selesaikan -2x² + 7x + 6 = 0 atau 2x²
-7x - 6 = 0 . Dengan pemfaktoran: (2x + 1)(x - 6) = 0.

Diperoleh x = -0.5 (tidak mungkin) atau x = 6. Jadi, harus terjual 6 unit.

Soal 3: Sebuah bola dilempar ke atas dari ketinggian 1 meter dengan kecepatan awal 7 m/s. Persamaan ketinggiannya adalah h = -2t² + 7t + 1. Kapan bola tersebut menyentuh tanah?
Pembahasan: Bola menyentuh tanah ketika h = 0. Jadi, selesaikan -2t² + 7t + 1 = 0 atau 2t²
-7t - 1 = 0 .

Gunakan Rumus ABC: a=2, b=-7, c=-1. D = 49 + 8 = 57. t = [7 ± √57] / 4. Kita ambil nilai positif: t = (7 + √57)/4 ≈ (7+7.55)/4 ≈ 3.64 detik.

Diagram Alur Pemilihan Metode

Memilih metode yang tepat dapat menghemat waktu dan tenaga. Berikut adalah panduan visual sederhana untuk memutuskan:

• Langkah 1: Periksa persamaan. Apakah mudah difaktorkan secara intuitif?
  • Ya → Gunakan Pemfaktoran.
  • Tidak → Lanjut ke Langkah 2.
• Langkah 2: Apakah koefisiennya berupa bilangan bulat dan Anda perlu bentuk vertex?
  • Ya → Gunakan Melengkapkan Kuadrat.
  • Tidak → Lanjut ke Langkah 3.
• Langkah 3: Gunakan Rumus ABC. Ini adalah metode serba bisa yang selalu berhasil untuk semua bentuk persamaan kuadrat.

Tips dan Trik Cepat

Mengenali pola tertentu akan membuat pemfaktoran menjadi seperti refleks. Berikut kiat-kiatnya:

• Jika a = 1, langsung cari dua bilangan yang jumlahnya b dan kalinya c.
• Jika c positif, maka kedua faktor memiliki tanda yang sama dengan b. Jika c negatif, maka kedua faktor memiliki tanda yang berlawanan.
• Perhatikan persamaan yang merupakan selisih kuadrat: x²
-y² selalu difaktorkan menjadi (x-y)(x+y).
• Untuk persamaan dengan a ≠ 1, kalikan a dan c, lalu cari faktor-faktornya. Jika Anda terjebak lebih dari satu menit, beralihlah ke Rumus ABC.

Akhir Kata

Jadi, himpunan penyelesaian untuk 2x²
-7x + 6 = 0 adalah 3/2, 2. Dengan memahami berbagai metode yang ada, dari pemfaktoran yang cepat sampai rumus ABC yang jitu, kamu jadi punya lebih banyak senjata untuk menghadapi berbagai tipe soal persamaan kuadrat. Langkah selanjutnya, coba terapkan pengetahuan ini untuk mengurai soal cerita atau masalah yang lebih kompleks. Selamat berhitung!

Tanya Jawab (Q&A)

Apakah himpunan penyelesaian selalu berupa bilangan bulat?

Tidak selalu. Himpunan penyelesaian bisa berupa bilangan pecahan, irasional, atau bahkan bilangan imajiner/kompleks tergantung nilai diskriminannya.

Metode mana yang paling disarankan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat?

Pemfaktoran adalah yang tercepat jika persamaan mudah difaktorkan. Jika tidak, rumus ABC adalah metode yang paling ampuh dan selalu bisa digunakan untuk segala jenis persamaan kuadrat.

Apa hubungan antara akar persamaan dan grafik fungsi kuadrat?

Akar-akar persamaan kuadrat merupakan titik potong grafik fungsi kuadrat tersebut dengan sumbu x.

Bisakah suatu persamaan kuadrat tidak memiliki solusi?

Dalam bilangan real, ya. Ini terjadi ketika nilai diskriminannya negatif (D < 0), yang berarti akar-akarnya adalah bilangan imajiner.