Tentukan persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya sebagai berikut: x1 = -3 dan x2 = 7. Ini adalah salah satu puzzle matematika yang sebenarnya punya rumus rahasia yang mudah sekali. Kalau sudah tahu kuncinya, kamu bisa menyusun ulang persamaannya bahkan tanpa perlu mikir terlalu keras, seperti merakit balok yang sudah diketahui polanya.
Pada dasarnya, setiap persamaan kuadrat punya hubungan mesra dengan akar-akarnya. Ketika kamu sudah tahu dua angka yang membuat persamaan itu bernilai nol, kamu bisa membalik prosesnya untuk menemukan bentuk aslinya. Caranya adalah dengan memanfaatkan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, yang akan membawamu langsung ke jawaban yang diinginkan.
Konsep Dasar Persamaan Kuadrat dan Akar-Akar
Sebelum kita menyelami cara menyusun persamaan dari akar-akarnya, mari pahami dulu pondasinya. Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berderajat dua. Bentuk umumnya selalu bisa ditulis sebagai ax² + bx + c = 0, di mana a, b, dan c adalah bilangan real dan a ≠ 0. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan ini disebut sebagai akar-akar atau solusi dari persamaan kuadrat.
Nah, hubungan antara akar-akar ini dengan bentuk persamaannya sangatlah erat. Jika diketahui akar-akarnya adalah x₁ dan x₂, maka persamaan kuadrat tersebut dapat ditulis dalam bentuk faktor: a(x – x₁)(x – x₂) = 0. Konstanta ‘a’ di depan adalah koefisien yang sama dengan ‘a’ dalam bentuk umum. Konsep ini adalah kunci utama untuk membangun kembali persamaan dari akar-akarnya yang diketahui.
Bentuk Umum dan Bentuk Faktor Persamaan Kuadrat, Tentukan persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya sebagai berikut: x1 = -3 dan x2 = 7
Memahami perbandingan antara bentuk standar dan bentuk faktor memudahkan kita dalam beralih dari satu bentuk ke bentuk lainnya. Tabel berikut merangkum perbedaan mendasar antara keduanya.
| Aspek | Bentuk Umum (ax² + bx + c = 0) | Bentuk Faktor (a(x – x₁)(x – x₂) = 0) |
|---|---|---|
| Struktur | Ditulis sebagai penjumlahan suku-suku. | Ditulis sebagai hasil kali faktor-faktor linear. |
| Akar-Akar (x₁, x₂) | Tidak langsung terlihat, harus dicari. | Langsung terlihat dari persamaan. |
| Kegunaan Utama | Digunakan untuk analisis lengkungan grafik (parabola). | Digunakan untuk menyusun atau memfaktorkan persamaan jika akar diketahui. |
Menyusun Persamaan dari Akar yang Diketahui
Sekarang, dengan senjata kita, yaitu akar x₁ = -3 dan x₂ = 7, kita akan menyusun persamaan kuadratnya. Prosedurnya sangat sistematis dan mudah diikuti. Langkah pertama adalah menulis persamaan dalam bentuk faktornya. Setelah itu, kita akan mengalikan faktor-faktor tersebut untuk mendapatkan bentuk umum yang lengkap.
Langkah-langkah Penyusunan Persamaan
Source: tripasik.com
Proses membentuk persamaan kuadrat dari akar-akarnya dapat diilustrasikan melalui sebuah bagan alur yang jelas. Bagan ini memandu kita dari data awal hingga ke persamaan akhir.
- Langkah 1: Tulis Bentuk Faktor
Substitusikan nilai akar ke dalam bentuk faktor: a(x – (-3))(x – 7) = 0 → a(x + 3)(x – 7) = 0. Untuk memudahkan, kita sering menggunakan a = 1. - Langkah 2: Kalikan Faktor-Faktor
Kalikan kedua faktor tersebut: (x + 3)(x – 7) = x²
-7x + 3x – 21 = x²
-4x – 21. - Langkah 3: Tulis dalam Bentuk Umum
Hasil perkalian tersebut langsung memberikan kita persamaan kuadratnya: x²
-4x – 21 = 0.
Bagan alur dari proses ini adalah: Akar Diketahui (x₁, x₂) → Bentuk Faktor: a(x – x₁)(x – x₂) → Kalikan Faktor → Bentuk Umum: ax² + bx + c = 0.
Nah, kalau kamu udah jago nemuin persamaan kuadrat dari akar-akarnya kayak x₁ = -3 dan x₂ = 7, pasti penasaran kan gimana cara menyelesaikan persamaan yang sudah jadi? Coba deh intip pembahasan lengkapnya di Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat : 2x^2 – 7x + 6 = 0!. Setelah paham langkah-langkahnya, pasti skill-mu dalam menyusun persamaan dari akar-akarnya makin mantap dan terasah dengan baik.
Verifikasi Solusi dan Aplikasi: Tentukan Persamaan Kuadrat Yang Diketahui Akar-akarnya Sebagai Berikut: X1 = -3 Dan X2 = 7
Sebuah solusi tidak bisa diterima begitu saja tanpa pembuktian. Setelah mendapatkan persamaan x²
-4x – 21 = 0, kita harus memastikan bahwa nilai x = -3 dan x = 7 memang benar-benar menjadi akarnya. Caranya adalah dengan mensubstitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam persamaan.
Nah, kalau mau cari persamaan kuadrat dari akar-akarnya, misalnya x1 = -3 dan x2 = 7, kan tinggal pakai rumus (x – x1)(x – x2) = 0. Gampang ‘kan? Sama kayak lagi ngitung himpunan bagian, seperti soal tentang Diketahui K = himpunan bilangan prima kurang dari 15. Banyaknya himpunan bagian dari K yang mempunyai 4 anggota adalah , butuh logika yang runut.
Jadi, setelah tahu polanya, balik lagi ke persamaan kuadrat tadi, hasilnya pasti lebih mudah ditemukan.
Bukti Kebenaran Akar
Mari kita uji satu per satu. Untuk x = -3: (-3)²
-4(-3)
-21 = 9 + 12 – 21 =
0. Untuk x = 7: (7)²
-4(7)
-21 = 49 – 28 – 21 = 0. Karena kedua hasilnya sama dengan nol, terbuktilah bahwa x = -3 dan x = 7 adalah akar-akar yang valid untuk persamaan yang kita buat.
Pemahaman konsep ini sangat penting, tidak hanya untuk menyusun persamaan tetapi juga untuk memfaktorkan persamaan kuadrat yang rumit. Dengan mengetahui hubungan antara akar dan koefisien, proses pemfaktoran menjadi lebih intuitif.
Rumus Penting: Untuk persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan akar-akar x₁ dan x₂, selalu berlaku:
- Jumlah Akar: x₁ + x₂ = -b/a
- Hasil Kali Akar: x₁
– x₂ = c/a
Variasi Soal dan Penyajian
Dalam dunia nyata, soal tidak selalu memberikan akar yang berupa bilangan bulat yang sederhana. Untuk menguasai topik ini, kita perlu berlatih dengan berbagai variasi soal, mulai dari yang mudah hingga yang menantang.
Contoh Latihan Soal
Berikut adalah tiga latihan soal dengan tingkat kesulitan yang berbeda. Cobalah untuk menyusun persamaan kuadratnya.
- Level Mudah: Akar-akarnya adalah x₁ = 2 dan x₂ =
5. (Solusi: x²
-7x + 10 = 0) - Level Sedang: Akar-akarnya adalah x₁ = 1/2 dan x₂ =
4. (Solusi: Kalikan dengan 2 untuk menghilangkan pecahan: 2x²
-9x + 4 = 0) - Level Menantang: Salah satu akarnya adalah 3 + √2 dan persamaan memiliki koefisien bilangan bulat. (Petunjuk: Akar lainnya adalah 3 – √2, solusi: x²
-6x + 7 = 0)
Perbandingan dengan Metode Lain
Selain menggunakan akar-akar, persamaan kuadrat juga dapat disusun jika diketahui titik puncak dan sebuah titik lain pada parabola. Namun, metode menggunakan akar-akar seringkali lebih langsung dan sederhana untuk kasus-kasus seperti pada contoh kita.
| Metode | Data yang Diperlukan | Tingkat Kesulitan | Kegunaan Terbaik |
|---|---|---|---|
| Menggunakan Akar-Akar | Nilai kedua akar (x₁, x₂) | Mudah | Ketika akar-akar sudah diketahui atau mudah ditemukan. |
| Menggunakan Titik Puncak | Koordinat titik puncak (h,k) dan satu titik lain | Sedang | Ketika analisis grafik (parabola) menjadi fokus. |
| Menggunakan Tiga Titik | Koordinat tiga titik yang dilalui parabola | Rumit | Ketika data yang diberikan adalah titik-titik pada grafik. |
Ringkasan Penutup
Jadi, itulah cara jitu menemukan persamaan kuadrat hanya dari informasi akar-akarnya. Metode ini bukan sekadar hafalan rumus, tapi tentang memahami cerita di balik angka-angka tersebut. Dengan menguasai langkah ini, kamu sebenarnya sedang membuka pintu untuk menyelesaikan berbagai masalah matematika yang lebih kompleks dan menarik. Selamat mencoba dan rasakan betapa menyenangkannya ketika semuanya mulai masuk akal.
Jawaban yang Berguna
Apakah metode ini hanya bekerja untuk akar bilangan bulat?
Tidak, metode yang sama juga berlaku untuk akar berupa pecahan, desimal, atau bahkan bilangan irasional, karena rumus jumlah dan hasil kali akar bersifat universal.
Bagaimana jika kedua akarnya sama, misalnya x1 = x2 = 5?
Prosedurnya tetap sama. Jumlah akarnya adalah 10 dan hasil kalinya 25, sehingga persamaan kuadratnya adalah x²
-10x + 25 = 0.
Apakah hasilnya selalu memiliki koefisien a = 1?
Ya, dengan metode menggunakan jumlah dan hasil kali akar, persamaan yang dihasilkan selalu dalam bentuk dengan koefisien a = 1. Jika diinginkan bentuk lain, seluruh persamaan bisa dikalikan dengan suatu konstanta.
Bisakah persamaan kuadrat memiliki lebih dari dua akar?
Tidak, berdasarkan teorema dasar aljabar, suatu persamaan kuadrat standar (polinomial derajat dua) selalu memiliki tepat dua akar, yang bisa berupa bilangan real atau kompleks, dan bisa berbeda atau sama (akar kembar).
