Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan 2/5 adalah salah satu topik menarik dalam aljabar yang sebenarnya bisa kamu kuasai dengan pendekatan yang simpel dan menyenangkan. Bayangkan, dari dua angka yang sudah diketahui, kita bisa meracik sebuah persamaan lengkap dengan koefisien dan konstanta, layaknya seorang koki yang meramu resep dari bahan-bahan yang ada.
Konsep dasarnya berangkat dari bentuk faktorisasi, di mana jika suatu persamaan kuadrat memiliki akar x₁ dan x₂, maka persamaan itu dapat ditulis sebagai (x – x₁)(x – x₂) = 0. Dengan begitu, perjalanan kita kali ini adalah mengolah kedua angka tersebut, 3 dan 0.4, menjadi sebuah persamaan kuadrat dalam bentuk paling elegan dan sederhana.
Konsep Dasar Persamaan Kuadrat dan Akar-Akar
Sebelum kita menyelami cara membuat persamaan dari akar-akarnya, ada baiknya kita sepakati dulu hal-hal mendasar. Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial yang pangkat tertingginya dua. Bentuk umumnya selalu bisa ditulis sebagai ax² + bx + c = 0, di mana a, b, dan c adalah bilangan real dan a tidak boleh sama dengan nol. Nilai a inilah yang membedakannya dari persamaan linear.
Nah, keindahan dari persamaan kuadrat terletak pada hubungannya dengan akar-akarnya. Setiap persamaan kuadrat dapat diuraikan menjadi bentuk faktorisasinya jika akar-akarnya diketahui. Bentuk itu adalah (x – x₁)(x – x₂) = 0. Logikanya sederhana: jika kamu mengganti x dengan x₁ atau x₂, salah satu faktor akan menjadi nol, dan hasil perkaliannya pun nol. Itu artinya persamaan terpenuhi.
Bentuk Faktorisasi dari Akar yang Diketahui
Dengan diketahui akar-akarnya adalah 3 dan 2/5, kita bisa langsung menuliskannya dalam bentuk faktor. Ingat, tandanya selalu berlawanan. Jadi, persamaan faktornya menjadi (x – 3)(x – 2/5) = 0. Dari sini, kita bisa melihat komponen-komponen penyusun persamaan kuadrat bentuk umum.
| Konsep | Bentuk | Nilai untuk Akar 3 dan 2/5 |
|---|---|---|
| Bentuk Umum | ax² + bx + c = 0 | a, b, c akan ditemukan nanti |
| Bentuk Faktor | (x – x₁)(x – x₂) = 0 | (x – 3)(x – 2/5) = 0 |
| Jumlah Akar (x₁ + x₂) | -b/a | 3 + 2/5 = 17/5 |
| Hasil Kali Akar (x₁ – x₂) | c/a | 3 – 2/5 = 6/5 |
Metode Penyusunan Persamaan dari Akar-Akar yang Diketahui
Selain lewat perkalian faktor, ada cara yang lebih cepat dan elegan untuk menyusun persamaan kuadrat, yaitu dengan memanfaatkan rumus jumlah dan hasil kali akar. Metode ini sangat powerful, terutama untuk akar-akar yang berbentuk pecahan atau bilangan rumit, karena kita bisa menghindari perkalian aljabar yang berantakan di awal.
Rumus dasarnya berasal dari penjabaran bentuk faktor. Jika sebuah persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 memiliki akar-akar x₁ dan x₂, maka hubungannya adalah:
x₁ + x₂ = -b/a
Nah, kalau kamu udah jago nemuin persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan 2/5, pasti skill faktormu sudah oke banget. Coba uji pemahamanmu dengan soal lain yang seru nih, Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat : 2x^2 – 7x + 6 = 0!. Latihan kayak gini bakal bikin konsep akar-akar persamaan kuadrat yang kamu pelajari makin kuat dan nempel di kepala!
x₁
– x₂ = c/aNah, buat yang lagi belajar persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan 2/5, intinya sih soal logika hitung-hitungan yang runut, mirip kayak kita ngitung ketinggian pesawat setelah manuver turun dan naik. Proses aljabarnya harus step-by-step, nggak bisa asal tebak. Jadi, fokus dulu ke bentuk umum persamaannya, lalu substitusi nilai akar-akarnya dengan teliti.
Dari hubungan ini, kita bisa menyusun persamaan kuadrat baru langsung dari jumlah dan hasil kali akarnya, yaitu x²
-(x₁ + x₂)x + (x₁
– x₂) = 0 .
Langkah Sistematis Menyusun Persamaan
Mari kita terapkan langkah-langkah ini untuk akar 3 dan 2/5. Prosedurnya straightforward dan bisa diandalkan.
- Hitung Jumlah Akar: x₁ + x₂ = 3 + (2/5) = 15/5 + 2/5 = 17/5.
- Hitung Hasil Kali Akar: x₁
– x₂ = 3
– (2/5) = 6/5. - Susun Persamaan: Masukkan nilai-nilai tersebut ke dalam bentuk x²
-(Jumlah)x + (Hasil Kali) = 0. Sehingga menjadi x²
-(17/5)x + (6/5) = 0.
Kita sekarang punya persamaan, tetapi masih mengandung pecahan. Untuk mendapatkan koefisien bilangan bulat, kalikan seluruh persamaan dengan penyebutnya, dalam hal ini 5.
Penyederhanaan dan Bentuk Standar Persamaan
Baik melalui metode faktorisasi langsung maupun rumus jumlah-hasil kali, kita akan sampai pada persamaan yang masih mengandung pecahan. Tujuan akhirnya adalah menyajikannya dalam bentuk standar ax² + bx + c = 0 dengan a, b, dan c merupakan bilangan bulat, dan a positif.
Proses Aljabar Menuju Bentuk Standar
Mari kita bekerja pada kedua metode untuk menunjukkan bahwa hasil akhirnya sama.
Metode 1: Perkalian Faktor
Kita mulai dari (x – 3)(x – 2/5). Kalikan kedua faktor ini:
(x – 3)(x – 2/5) = x²
-(2/5)x – 3x + (3
– 2/5)
= x²
-(2/5 + 15/5)x + 6/5
= x²
-(17/5)x + 6/5 = 0
Metode 2: Rumus Jumlah-Hasil Kali
Kita telah sampai pada titik yang sama: x²
-(17/5)x + 6/5 = 0.
Langkah penyederhanaan berikutnya identik untuk kedua metode. Untuk menghilangkan pecahan, kalikan setiap suku dalam persamaan dengan angka 5.
5
– [x²
-(17/5)x + 6/5] = 5
– 0
5x²
-17x + 6 = 0
Inilah bentuk standar persamaan kuadrat yang kita cari.
Ringkasan Perjalanan Persamaan:
• Bentuk Faktor: (x – 3)(x – 2/5) = 0
• Setelah Perkalian: x²(17/5)x + 6/5 = 0
• Bentuk Standar Akhir: 5x² – 17x + 6 = 0
Verifikasi dan Penerapan Akar-Akar pada Persamaan
Sebuah persamaan tidak ada artinya jika tidak bisa divalidasi. Kita harus memastikan bahwa nilai x = 3 dan x = 2/5 memang benar-benar memenuhi persamaan akhir 5x²
-17x + 6 = 0. Caranya adalah dengan melakukan substitusi atau memasukkan nilai-nilai tersebut ke dalam persamaan.
Uji Kebenaran untuk Setiap Akar, Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan 2/5 adalah
Mari kita buktikan satu per satu.
Untuk x = 3:
5(3)²
-17(3) + 6 = (5*9)
-51 + 6 = 45 – 51 + 6 = (45 + 6)
-51 = 51 – 51 = 0.
Untuk x = 2/5:
5(2/5)²
-17(2/5) + 6 = 5(4/25)
-(34/5) + 6 = (20/25)
-(34/5) + 6.
Ubah ke penyebut yang sama, yaitu 25: (20/25)
-(170/25) + (150/25) = (20 – 170 + 150)/25 = (0)/25 = 0.
Kedua substitusi menghasilkan nilai 0, membuktikan bahwa 3 dan 2/5 adalah akar-akar yang sah dari persamaan 5x²
-17x + 6 = 0. Persamaan kuadrat dengan akar-akar rasional seperti ini memiliki diskriminan (D = b²
-4ac) yang pasti merupakan bilangan kuadrat sempurna. Dalam kasus ini, D = (-17)²
-4*5*6 = 289 – 120 = 169, yang merupakan 13².
Penerapan dalam Konteks Nyata
Source: kompas.com
Bayangkan sebuah masalah sederhana: Sebuah lahan berbentuk persegi panjang diketahui bahwa jumlah panjang dan lebarnya adalah 17/5 meter, sedangkan luasnya adalah 6/5 meter persegi. Untuk mencari panjang dan lebarnya, kita bisa memodelkan masalah ini dengan persamaan kuadrat. Jika kita misalkan salah satu sisi adalah x, maka sisi lainnya adalah (17/5 – x). Persamaan luasnya adalah x(17/5 – x) = 6/5, yang jika disusun ulang akan menjadi x²
-(17/5)x + 6/5 = 0.
Dan seperti yang telah kita lakukan, persamaan ini setara dengan 5x²
-17x + 6 =
0. Akar-akar persamaan ini, 3 meter dan 2/5 meter, adalah solusi untuk panjang dan lebar lahan tersebut.
Kesimpulan Akhir
Jadi, itulah dia proses menemukan persamaan kuadrat dari akar-akarnya. Hal terpenting yang perlu diingat adalah fondasi dasarnya: jumlah dan hasil kali akar. Kedua rumus ini adalah kunci utama yang akan selalu membawamu pada jawaban yang benar, tidak peduli sekecil atau sebesar apa pun bilangan yang diberikan.
Selanjutnya, cobalah terapkan logika yang sama pada pasangan angka lain. Latihan ini tidak hanya akan memantapkan pemahamanmu tapi juga membuka mata pada pola-pola menarik dalam matematika. Selamat mencoba dan menjelajahi lebih dalam lagi.
Tanya Jawab Umum: Persamaan Kuadrat Yang Akar-akarnya 3 Dan 2/5 Adalah
Mengapa kita harus mengalikan persamaan dengan 5 untuk menghilangkan pecahan?
Pengalian dengan 5 (penyebut dari pecahan 2/5) dilakukan untuk mengubah semua koefisien dalam persamaan menjadi bilangan bulat, sehingga bentuknya lebih sederhana dan mudah untuk ditangani dalam perhitungan selanjutnya.
Apakah hasilnya akan berbeda jika saya menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar langsung?
Tidak, hasil akhirnya akan sama. Metode menggunakan rumus x²
-(jumlah akar)x + (hasil kali akar) = 0 adalah cara yang lebih cepat dan langsung untuk mendapatkan persamaan dalam bentuk standar tanpa harus melalui langkah faktorisasi terlebih dahulu.
Bagaimana jika salah satu akarnya adalah bilangan negatif?
Prinsipnya tetap sama. Misalnya, jika akarnya adalah -3 dan 2/5, maka dalam bentuk faktor menjadi (x + 3)(x – 2/5) = 0. Penjumlahan dan perkalian akar juga akan melibatkan operasi dengan bilangan negatif tersebut.
Bisakah persamaan kuadrat ini diselesaikan dengan memfaktorkan kembali?
Tentu bisa. Persamaan akhir yang didapat, 5x²
-17x + 6 = 0, dapat difaktorkan kembali menjadi (x – 3)(5x – 2) = 0, yang akan menghasilkan akar-akar x = 3 dan x = 2/5, membuktikan bahwa prosesnya konsisten.
