Barisan bilangan 1, 3, 9, 27 jika dilanjutkan dengan dua suku berikutnya akan menjadi teka-teki matematika yang mengasyikkan. Ini bukan sekadar urutan angka biasa, tapi sebuah pola yang punya cerita dan logika tersendiri di baliknya, menunggu untuk diungkap siapa pun yang penasaran.
Melihat deret angka ini, mungkin kamu langsung mencoba mencari selisihnya. Tapi, di sinilah kejutan mulai muncul. Ketika cara biasa tidak berhasil, itu artinya kita sedang berhadapan dengan jenis barisan yang berbeda, yang justru lebih powerful dan punya aplikasi luas di kehidupan nyata.
Pengenalan Pola Barisan Bilangan
Dalam dunia matematika, barisan bilangan adalah kumpulan angka yang disusun menurut aturan tertentu. Kemampuan untuk mengenali pola dalam barisan ini bukan sekadar permainan teka-teki, melainkan fondasi untuk memprediksi masa depan, menganalisis tren, dan memecahkan masalah yang kompleks. Ini seperti memiliki kode rahasia yang, ketika berhasil dipecahkan, dapat mengungkap cerita lengkap dari sebuah rangkaian peristiwa.
Mengidentifikasi pola dimulai dengan observasi sederhana. Perhatikan hubungan antara satu angka dengan angka berikutnya. Apakah angkanya bertambah dengan nilai yang sama? Atau justru dikalikan dengan suatu bilangan? Proses ini membutuhkan kecermatan dan sering kali percobaan untuk menemukan rumus yang tepat yang menghubungkan setiap suku dalam barisan.
Jenis-Jenis Pola Barisan Bilangan Sederhana
Source: ruangguru.com
Secara umum, terdapat beberapa pola dasar yang sering muncul. Memahami karakteristik masing-masing pola akan sangat mempercepat proses identifikasi.
| Jenis Barisan | Ciri Khas | Rumus Suku ke-n | Contoh |
|---|---|---|---|
| Aritmatika | Selisih antar suku berurutan selalu sama (disebut beda). | Un = a + (n-1)b | 2, 5, 8, 11, … (beda = 3) |
| Geometri | Rasio antar suku berurutan selalu sama (disebut rasio). | Un = a × r^(n-1) | 3, 6, 12, 24, … (rasio = 2) |
| Lainnya (e.g., Fibonacci) | Pola tidak tetap, mengikuti aturan khusus. | Bergantung pada pola | 1, 1, 2, 3, 5, 8,… (suku ke-n adalah jumlah dua suku sebelumnya) |
Sebagai ilustrasi visual, bayangkan sebuah barisan aritmatika seperti anak tangga. Setiap langkah naik memiliki ketinggian yang persis sama. Sementara barisan geometri digambarkan seperti ledakan bunga api, dimana setiap percikan memicu beberapa percikan baru yang jumlahnya berlipat ganda dari sebelumnya, menunjukkan pertumbuhan yang sangat cepat dan eksponensial.
Analisis Pola pada Barisan 1, 3, 9, 27
Mari kita terapkan ilmu mengenali pola pada barisan yang diberikan: 1, 3, 9, 27. Sekilas, angka-angka ini tidak bertambah dengan nilai yang tetap, sehingga kita curiga ini bukan barisan aritmatika.
Untuk memastikannya, kita bisa menghitung selisih antar sukunya. Selisih antara 3 dan 1 adalah 2, antara 9 dan 3 adalah 6, dan antara 27 dan 9 adalah 18. Karena selisihnya (2, 6, 18) tidak konsisten, kita dapat dengan pasti menyimpulkan bahwa ini bukan barisan aritmatika. Justru, selisihnya sendiri membentuk pola baru yang bertambah secara signifikan.
Langkah-Langkah Sistematis Analisis Pola
Ketika metode selisih biasa gagal, langkah logis berikutnya adalah mencoba mencari hasil bagi atau rasio.
- Ambil suku kedua dan bagi dengan suku pertama: 3 ÷ 1 = 3.
- Lanjutkan dengan suku ketiga dibagi suku kedua: 9 ÷ 3 = 3.
- Terakhir, suku keempat dibagi suku ketiga: 27 ÷ 9 = 3.
Didapati bahwa rasio antara setiap dua suku yang berurutan adalah tetap, yaitu 3. Inilah penanda utama bahwa kita berhadapan dengan barisan geometri. Ketidakefektifan metode selisih justru menjadi petunjuk untuk segera beralih ke metode rasio.
Menemukan Dua Suku Berikutnya
Setelah berhasil mengidentifikasi pola sebagai barisan geometri dengan suku pertama (a) = 1 dan rasio (r) = 3, kita kini memiliki kunci untuk membuka semua suku dalam barisan ini, termasuk yang belum terlihat.
Rumus umum suku ke-n untuk barisan geometri adalah:
Un = a × r^(n-1)
Dengan a = 1 dan r = 3, rumusnya menjadi Un = 1 × 3^(n-1) atau disederhanakan menjadi Un = 3^(n-1).
Dengan rumus ini, perhitungan untuk suku kelima (U5) dan keenam (U6) menjadi sangat lugas:
- U5 = 3^(5-1) = 3^4 = 81
- U6 = 3^(6-1) = 3^5 = 243
Jadi, dua suku berikutnya yang melanjutkan barisan 1, 3, 9, 27 adalah 81 dan 243.
Tabel Nilai Suku ke-n, Barisan bilangan 1, 3, 9, 27 jika dilanjutkan dengan dua suku berikutnya akan menjadi
Berikut adalah tampilan lengkap nilai setiap suku dari pertama hingga keenam berdasarkan perhitungan rumus tersebut.
| Suku ke- | Nilai |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 3 |
| 3 | 9 |
| 4 | 27 |
| 5 | 81 |
| 6 | 243 |
Kekuatan rumus ini terletak pada kemampuannya untuk memprediksi suku berapa pun tanpa harus menghitung semua suku sebelumnya. Untuk mencari suku ke-10 (U10), kita tinggal memasukkan nilai n ke dalam rumus: U10 = 3^(10-1) = 3^9 = 19.683.
Aplikasi dan Contoh Serupa
Pola pertumbuhan eksponensial seperti barisan geometri ini bukanlah sesuatu yang abstrak. Ia adalah model matematika yang sangat powerful untuk merepresentasikan fenomena di dunia nyata. Contoh klasiknya adalah pertumbuhan populasi bakteri dalam sebuah kultur. Satu bakteri membelah menjadi dua, dua menjadi empat, empat menjadi delapan, dan seterusnya, persis seperti barisan kita dengan rasio 2. Dalam dunia keuangan, bunga berbunga juga mengikuti pola ini, dimana uang yang diinvestasikan berkembang secara geometris seiring waktu.
Contoh Soal Latihan
Berikut adalah beberapa contoh soal untuk mengasah kemampuan mengenali dan menerapkan pola barisan geometri.
Mudah: Diketahui barisan geometri 5, 10, 20, 40, … Tentukan suku ketujuh dari barisan tersebut.
Penyelesaian: Rasio (r) = 10/5 = 2. Suku pertama (a) = 5. U7 = a × r^(6) = 5 × 2^6 = 5 × 64 = 320.
Sedang: Suku ketiga dan suku keenam suatu barisan geometri berturut-turut adalah 12 dan 324. Tentukan suku pertama dan rasio dari barisan tersebut.
Penyelesaian: U3 = a × r² = U6 = a × r^5 =
324. Bagi U6 dengan U3
(a × r^5) / (a × r²) = 324 / 12 -> r³ = 27 -> r =
3. Substitusi r=3 ke U3
a × 3² = 12 -> a × 9 = 12 -> a = 12/9 = 4/3.
Deret angka 1, 3, 9, 27 itu punya pola yang seru banget, guys. Polanya adalah dikali 3, jadi dua suku selanjutnya pasti 81 dan 243. Sama kayak memahami pola, dalam matematika kita juga sering nemuin soal seperti Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat x^2 + 5x + 3 = 0, tentukan nilai berikut. a. x1 + x2 b.
x1x2 yang bisa diselesaikan dengan rumus tertentu. Nah, balik lagi ke deret kita, setelah 27 ya pasti lanjut ke 81 dan 243. Gampang kan?
Menantang: Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 14 dan hasil kalinya 64, tentukan ketiga bilangan tersebut.
Penyelesaian: Misal tiga bilangan itu adalah a/r, a, a×r. Hasil kali: (a/r) × a × (a×r) = a³ = 64 -> a =
4. Jumlah
(4/r) + 4 + (4×r) =
14. Kalikan semua suku dengan r
Kalau barisan 1, 3, 9, 27 dilanjutin, dua suku berikutnya adalah 81 dan 243. Pola ini ternyata punya logika yang sama kayak mencari solusi dari suatu persamaan, seperti ketika kita mencari Akar-akar persamaan kuadrat 6x^2 – 7x – 10 = 0 adalah. Nah, balik lagi ke deret tadi, setelah 27, kita langsung tahu angkanya meledak jadi 81 dan 243, kan?
Jadi seru aja lihat polanya yang konsisten.
4 + 4r + 4r² = 14r -> 4r²
10r + 4 = 0 -> bagi 2
2r²5r + 2 = 0 -> (2r-1)(r-2)=0. Jadi r = 1/2 atau r = 2. Maka ketiga bilangan adalah 8, 4, 2 atau 2, 4, 8.
Karakteristik utama barisan geometri adalah pertumbuhan atau penurunannya yang sangat cepat dibandingkan barisan aritmatika. Tips cepat untuk mengenalinya adalah dengan memeriksa apakah hasil bagi dua suku berurutan selalu menghasilkan bilangan yang sama. Jika iya, maka itulah rasionya.
Ringkasan Penutup
Jadi, itulah dia rahasia di balik barisan 1, 3, 9, 27. Dua suku berikutnya adalah 81 dan 243, hasil dari pola perkalian konsisten dengan rasio 3. Konsep ini bukan cuma teori, tapi fondasi untuk memahami hal-hal lain seperti pertumbuhan yang meledak atau peluruhan yang menyusut. Sekarang, coba lihat sekelilingmu, pola perkalian seperti ini mungkin sedang terjadi di depan matamu.
Pertanyaan Populer dan Jawabannya: Barisan Bilangan 1, 3, 9, 27 Jika Dilanjutkan Dengan Dua Suku Berikutnya Akan Menjadi
Apakah barisan ini bisa disebut barisan geometri?
Ya, betul sekali. Barisan ini adalah barisan geometri dengan suku pertama (a) = 1 dan rasio (r) = 3, karena setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan 3.
Bagaimana jika suku pertama diubah, misalnya menjadi 2, dengan rasio yang sama 3?
Maka barisannya akan menjadi 2, 6, 18, 54, 162, 486, dan seterusnya. Rumus suku ke-n-nya berubah menjadi Un = 2 × 3^(n-1).
Apakah ada cara cepat untuk menghitung suku yang sangat besar, seperti suku ke-20?
Tentu! Dengan rumus Un = 1 × 3^(n-1), untuk suku ke-20, hitungannya adalah 3^19. Kamu bisa menggunakan kalkulator ilmiah untuk hasil yang instan tanpa harus mengalikan manual sebanyak 19 kali.
Mengapa disebut geometri? Apa hubungannya dengan bentuk geometris?
Nama “geometri” berasal dari sejarahnya, dimana barisan jenis ini sering muncul dalam perbandingan ukuran-ukuran pada bangun geometris, seperti luas persegi yang sisi-sisinya diperbesar dengan rasio tertentu.
