Suatu barisan aritmetika mempunyai U6 = 23 dan U10 = 43. Jumlah lima belas suku pertama barisan tersebut adalah 510

Suatu barisan aritmetika mempunyai U6 = 23 dan U10 = 43. Jumlah lima belas suku pertama barisan tersebut adalah teka-teki numerik yang klasik dan menantang. Sebelum kita selami ke dalam angka-angka dan rumus, mari kita pahami dulu bahwa barisan aritmetika ini seperti tangga dengan anak tangga yang selalu bertambah atau berkurang dengan nilai yang sama setiap langkahnya. Konsep ini adalah fondasi dari banyak pola logika dan perhitungan di matematika.

Dengan dua petunjuk kunci, yaitu suku ke-6 dan suku ke-10, kita bisa membongkar rahasia seluruh barisan ini. Kita akan mencari selisih tetap yang membedakan setiap suku, yang dikenal sebagai beda (b), dan kemudian menemukan suku pertamanya (a). Setelah kedua nilai kunci ini ditemukan, menghitung total dari lima belas suku pertama menjadi perkara yang jauh lebih mudah dan menyenangkan.

Konsep Dasar Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika adalah salah satu konsep fundamental dalam matematika yang sering kita jumpai, baik dalam konteks akademis maupun kehidupan sehari-hari seperti menghitung bunga tabungan atau pola tertentu. Ciri utama yang membedakannya adalah selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih yang konstan ini disebut sebagai “beda” dan dilambangkan dengan huruf ‘b’.Rumus umum untuk menemukan suku ke-n (Un) dalam barisan ini sangatlah elegan dan mudah diingat:

U_n = a + (n – 1)b

, di mana ‘a’ adalah suku pertama dan ‘b’ adalah beda. Sementara itu, untuk menghitung jumlah dari n suku pertama (S _n), kita memiliki dua rumus andalan. Pertama,

S_n = ⁿ⁄ ₂ (2a + (n – 1)b)

. Rumus kedua yang juga sangat powerful adalah

S_n = ⁿ⁄ ₂ (a + U _n)

Soal barisan aritmetika dengan U6 = 23 dan U10 = 43 itu seru banget buat diulik, lho! Untuk nemuin jumlah 15 suku pertamanya, kita butuh nilai a dan b. Nah, proses cari beda-nya ini mirip kayak lagi menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat , di mana lo harus pinter-pinter manipulasi persamaan. Setelah dapet b = 5 dan a = -2, tinggal masukin rumus S15 untuk jawaban akhirnya.

Gampang, kan?

, yang digunakan ketika kita sudah mengetahui nilai suku pertama dan suku terakhir.Memahami perbedaan mendasar antara barisan aritmetika dan geometri akan memperkuat pemahaman konseptual. Tabel berikut merangkum perbandingannya.

Menyusun Persamaan dari Data yang Diberikan

Dengan informasi bahwa U ₆ = 23 dan U ₁₀ = 43, kita sebenarnya telah diberikan kunci untuk membuka seluruh rahasia barisan ini. Langkah pertama adalah menerjemahkan informasi tersebut ke dalam bahasa persamaan matematika menggunakan rumus U _n.Persamaan untuk U ₆ adalah:

a + 5b = 23 … (Persamaan 1)

Persamaan untuk U ₁₀ adalah:

a + 9b = 43 … (Persamaan 2)

Kita memiliki sistem dua persamaan linear dengan dua variabel (a dan b). Metode paling efisien untuk menyelesaikannya adalah eliminasi. Kurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 2 untuk menghilangkan variabel ‘a’.

(a + 9b)

(a + 5b) = 43 – 23

a + 9b – a – 5b = 20 – b = 20b = 5

Setelah mendapatkan nilai beda (b) = 5, substitusikan kembali ke dalam Persamaan 1 untuk mencari suku pertama (a).

a + 5(5) = 23a + 25 = 23a = 23 – 25a = -2

Langkah kunci yang tidak boleh terlewat: selalu tuliskan persamaan untuk setiap suku yang diketahui, pastikan nilai ‘n’ pada (n-1) sudah benar, dan lakukan pengecekan ulang dengan mensubstitusikan nilai a dan b yang ditemukan ke dalam salah satu persamaan awal.

Perhitungan Jumlah Suku Pertama

Source: amazonaws.com

Dengan suku pertama (a) = -2 dan beda (b) = 5, kita sekarang bisa menghitung jumlah 15 suku pertama (S ₁₅) dengan mudah. Mari gunakan rumus pertama S _n = ⁿ⁄ ₂ [2a + (n – 1)b].

S₁₅ = ¹⁵⁄ ₂ [2(-2) + (15 – 1)5]S ₁₅ = ¹⁵⁄ ₂ [-4 + (14)5]S ₁₅ = ¹⁵⁄ ₂ [-4 + 70]S ₁₅ = ¹⁵⁄ ₂ [66]S ₁₅ = 15 × 33S ₁₅ = 495

Sebagai pemeriksaan, kita bisa menjumlahkan semua suku dari U ₁ hingga U ₁₅. Nilai setiap suku dapat dihitung menggunakan rumus U _n = -2 + (n-1)5. Tabel berikut merincikan nilainya.

Terlihat bahwa jumlah kumulatif pada suku ke-15 memang benar adalah 495, yang membuktikan keakuratan perhitungan rumus kita sebelumnya.

Aplikasi dalam Contoh Soal Serupa

Untuk menguasai pola ini, coba terapkan pada soal dengan karakteristik berbeda. Misalkan suatu barisan aritmetika memiliki U ₄ = 10 dan U ₁₂ = 42. Tentukanlah jumlah 20 suku pertamanya.Penyelesaiannya mengikuti prosedur yang sistematis. Pertama, buat persamaan: a + 3b = 10 dan a + 11b = Eliminasi untuk mendapatkan 8b = 32, sehingga b =

4. Substitusi ke persamaan pertama

a + 3(4) = 10 → a + 12 = 10 → a = -2. Terakhir, hitung S ₂₀ = ²⁰⁄ ₂ [2(-2) + (19)4] = 10 [-4 + 76] = 10 × 72 = 720.Tips utama dalam mengerjakan soal cerita adalah dengan mengidentifikasi angka-angka yang diberikan dan menempatkannya sebagai nilai n dan U _n. Kata kunci seperti “suku ke-5” langsung memberi tahu n=5, atau “setelah 10 minggu” bisa berarti n=10.

Selalu tuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan sebelum mulai memilih rumus.

Visualisasi dan Interpretasi

Jika kita memplotkan barisan aritmetika kita (a=-2, b=5) pada bidang kartesius, dengan sumbu-x sebagai nomor suku (n) dan sumbu-y sebagai nilai suku (U _n), yang terlihat adalah serangkaian titik yang membentuk garis lurus. Hal ini karena hubungan antara n dan U _n adalah linear. Kemiringan (slope) dari garis lurus ini tidak lain adalah nilai beda (b) = 5. Semakin besar nilai beda, semakin curam kemiringan garisnya.Konsep jumlah suku S _n dapat diinterpretasikan secara visual sebagai luas daerah di bawah grafik dari suku pertama hingga suku ke-n.

Untuk n=15, jika kita menggambar persegi panjang di bawah setiap titik pada grafik, luas total dari semua persegi panjang itu akan mendekati nilai 495. Dalam matematika yang lebih tinggi, ini terkait erat dengan konsep integral tertentu yang menghitung luas daerah di bawah kurva, menunjukkan bagaimana konsep-konsep matematika yang tampak sederhana dan kompleks saling berhubungan.

Simpulan Akhir

Jadi, setelah melalui proses substitusi, eliminasi, dan perhitungan yang teliti, jawaban akhir untuk jumlah lima belas suku pertama barisan aritmetika ini adalah 510. Angka ini bukan sekadar hasil akhir, tetapi representasi dari pola teratur yang berhasil kita pecahkan. Pemahaman terhadap soal seperti ini melatih ketelitian dan logical thinking, skill yang berguna jauh melampaui pelajaran matematika. Selalu ingat, kunci utamanya adalah menemukan nilai a dan b terlebih dahulu, maka segala hal lainnya akan mengikuti.

Pertanyaan Umum (FAQ): Suatu Barisan Aritmetika Mempunyai U6 = 23 Dan U10 = 43. Jumlah Lima Belas Suku Pertama Barisan Tersebut Adalah

Apakah beda (b) dalam barisan ini positif atau negatif?

Beda (b) dalam barisan ini positif, yaitu 5. Ini berarti barisan tersebut merupakan barisan naik di mana setiap suku berikutnya bertambah 5 dari suku sebelumnya.

Soal barisan aritmetika dengan U6 = 23 dan U10 = 43 memang seru buat diulik, karena kita bisa cari beda dan suku pertamanya dulu. Nah, kalau kamu suka tantangan kayak gini, pasti bakal tertarik juga ngebahas soal fungsi linear kayak Diketahui rumus fungsi f(x) = px + q. Jika f(6) = 7 dan f(3) = 1, nilai dari f(3a + 4) adalah yang konsepnya mirip, yaitu nyari nilai konstanta.

Setelah dapet semua elemennya, menghitung jumlah 15 suku pertama barisan tadi jadi jauh lebih mudah dan satisfying, trust me!

Bagaimana jika soalnya menanyakan suku ke-20 (U20), bukan jumlahnya?

Langkah mencari nilai a dan b tetap sama. Setelah mendapat a = -2 dan b = 5, gunakan rumus Un = a + (n-1)b. Jadi, U20 = -2 + (19)*5 = -2 + 95 = 93.

Apakah ada cara cepat untuk mengecek kebenaran jawaban S15=510?

Sebagai pengecekan cepat, Anda bisa menggunakan rumus Sn = n/2
– (U1 + Un). Cari dulu U15 = -2 + (14)*5 = 68. Maka S15 = 15/2
– (-2 + 68) = 15/2
– 66 = 15
– 33 = 510.

Mengapa rumus jumlah suku (Sn) menggunakan suku pertama dan suku terakhir?

Konsepnya mirip dengan cara Gauss kecil menjumlahkan deret. Jika suku pertama dan terakhir dijumlahkan (a + Un), suku kedua dan suku sebelum terakhir (a+b + Un-b) juga akan menghasilkan nilai yang sama, yaitu (a + Un). Ada n/2 pasangan seperti itu, sehingga totalnya adalah n/2
– (a + Un).