Persamaan Lingkaran Lewat (2,1) Menyinggung Garis x+2y=8 di (-2,5)

Persamaan Lingkaran Lewat (2,1) Menyinggung Garis x+2y=8 di (-2,5) merupakan sebuah permasalahan geometri analitik yang menarik untuk dipecahkan. Soal ini menggabungkan konsep persamaan lingkaran, garis, dan kondisi singgung dalam satu kerangka kerja yang memerlukan ketelitian dan pemahaman mendalam tentang hubungan antara unsur-unsur geometris tersebut.

Topik ini mengajak untuk mengeksplorasi bagaimana informasi tentang sebuah titik yang dilalui lingkaran dan sebuah titik singgung pada garis tertentu dapat digunakan untuk mengungkap persamaan lingkaran yang unik. Penyelesaiannya melibatkan penerapan rumus jarak titik ke garis, substitusi koordinat, dan penyelesaian sistem persamaan untuk menemukan pusat dan jari-jari lingkaran.

Memahami Masalah dan Konsep Dasar: Persamaan Lingkaran Lewat (2,1) Menyinggung Garis X+2y=8 Di (-2,5)

Source: slidesharecdn.com

Oke, jadi kita punya teka-teki geometri yang seru nih. Bayangin elu lagi disuruh gambar lingkaran di kertas grafik. Lingkaran ini punya syarat khusus: dia harus lewat titik (2,1), terus dia harus nyentuh garis dengan persamaan x+2y=8 tepat di titik (-2,5). Nah, yang kita cari adalah persamaan si lingkaran misterius ini dalam bentuk matematika.

Konsep kuncinya di sini adalah “menyinggung di titik tertentu”. Ini beda sama “menyinggung” biasa. Kalau cuma dikasih tau lingkaran menyinggung suatu garis, berarti jarak dari pusat lingkaran ke garis itu sama dengan panjang jari-jari. Tapi kalau dikasih tau titik singgungnya, kayak (-2,5) ini, itu informasi yang jauh lebih kuat. Titik singgung itu otomatis jadi anggota lingkaran, dan garis yang menghubungkan pusat lingkaran ke titik singgung tersebut akan tegak lurus terhadap garis singgungnya.

Itu hukumnya, gak bisa ngeyel.

Arti Geometris dan Syarat Singgung

Jadi, secara geometris, lingkaran yang menyinggung garis di titik (-2,5) artinya titik (-2,5) itu ada di lingkaran sekaligus ada di garis. Garis dari pusat lingkaran (sebut saja titik O) ke (-2,5) adalah jari-jari, dan jari-jari ini selalu tegak lurus dengan garis singgung. Dari informasi ini, kita bisa langsung cari gradien garis normal (yaitu garis yang melalui pusat dan titik singgung).

Syarat mutlak agar sebuah lingkaran dikatakan menyinggung garis lurus adalah:

• Jarak dari pusat lingkaran ke garis tersebut harus sama persis dengan panjang jari-jari lingkaran.
• Jika titik singgung diketahui, maka titik tersebut harus memenuhi persamaan lingkaran dan garis singgung, serta vektor radius di titik tersebut tegak lurus dengan vektor arah garis singgung.

Pada soal kita, informasi yang sudah jelas adalah: titik yang dilalui (2,1), titik singgung (-2,5), dan persamaan garis singgung x+2y=8. Yang perlu kita cari adalah koordinat pusat lingkaran (a, b) dan panjang jari-jarinya (r), atau langsung persamaan lengkapnya.

Menentukan Bentuk Umum dan Strategi Penyelesaian

Nah, sebelum masuk hitung-hitungan, kita tentuin dulu nih bawaannya mau pake bentuk persamaan lingkaran yang mana. Biar gampang, kita pake bentuk umum aja karena lebih fleksibel buat nyimpen variabel pusat.

Bentuk Umum: (x – a)² + (y – b)² = r²
Dimana (a, b) adalah pusat lingkaran dan r adalah jari-jari.

Strategi penyelesaiannya bakal kita susun berdasarkan informasi kuat yang kita punya. Pertama, karena titik singgung (-2,5) diketahui, kita bisa manfaatkan hubungan tegak lurus antara garis singgung dan jari-jari. Kedua, kita punya titik lain (2,1) yang harus masuk ke persamaan. Dari dua hal ini, kita bisa bikin sistem persamaan.

Langkah Sistematis dan Hubungan Geometris

Rencana mainnya gini nih, step-by-step:

1. Cari gradien (m) dari garis singgung x+2y=8.
2. Karena garis jari-jari (garis dari pusat ke titik singgung) tegak lurus, gradiennya (m_r) adalah -1/m.
3. Gunakan gradien m_r dan titik singgung (-2,5) untuk membentuk persamaan garis yang melalui pusat. Persamaan ini akan menghubungkan koordinat a dan b.
4. Substitusikan titik (-2,5) dan titik (2,1) ke dalam bentuk umum (x – a)² + (y – b)² = r². Ini akan memberikan dua persamaan.
5. Kita punya tiga variabel (a, b, r) tapi sekarang dengan tiga persamaan (satu dari langkah 3, dua dari langkah 4). Sistem ini bisa kita selesaikan untuk mencari a, b, dan r.

Hubungan antara pusat, titik singgung, dan garis adalah tulang punggung solusi. Garis singgung hanya memberikan informasi jarak, tapi titik singgung memberikan informasi arah yang sangat spesifik menuju pusat lingkaran.

Proses Perhitungan dan Penurunan Persamaan

Mari kita eksekusi strategi tadi. Pertama, kita olah dulu garis singgungnya. Garis x + 2y = 8 bisa kita tulis jadi y = -½x + 4. Jadi gradien garis singgung (m) = -½.

Karena jari-jari tegak lurus, gradien jari-jari (m_r) = 2 (karena -1 / (-½) = 2). Garis dengan gradien 2 yang melalui (-2,5) punya persamaan: y – 5 = 2(x + 2) atau y = 2x +
9. Nah, karena pusat lingkaran (a, b) ada di garis ini, maka hubungannya adalah: b = 2a + 9. Ini persamaan pertama kita.

Sekarang substitusi titik ke bentuk umum lingkaran:

• Untuk titik (-2,5): (-2 – a)² + (5 – b)² = r²
• Untuk titik (2,1): (2 – a)² + (1 – b)² = r²

Karena keduanya sama dengan r², kita bisa samakan:
(-2 – a)² + (5 – b)² = (2 – a)² + (1 – b)²

Kita udah punya hubungan b = 2a +
9. Mari kita substitusi dan selesaikan perlahan. Kita sederhanakan persamaan yang disamakan tadi:

(4 + 4a + a²) + (25 – 10b + b²) = (4 – 4a + a²) + (1 – 2b + b²)
4 + 4a + a² + 25 – 10b + b² = 4 – 4a + a² + 1 – 2b + b²

Coret a² dan b² di kedua sisi: 4a + 29 – 10b = -4a + 5 – 2b
Pindahin semua variabel ke kiri: 4a + 4a -10b + 2b = 5 – 29
8a – 8b = -24 -> bagi 8: a – b = -3

Sekarang kita punya sistem sederhana: b = 2a + 9 dan a – b = –
3. Substitusi yang pertama ke kedua: a – (2a + 9) = -3 -> -a – 9 = -3 -> -a = 6 -> a = -6. Maka b = 2*(-6) + 9 = -12 + 9 = -3.

Jadi pusat lingkarannya di O(-6, -3). Untuk cari r², substitusi a dan b ke salah satu titik, misal (2,1): r² = (2 – (-6))² + (1 – (-3))² = (8)² + (4)² = 64 + 16 = 80. Jadi r = √80 = 4√5.

Tabel Perbandingan Nilai Pusat dan Jari-jari, Persamaan Lingkaran Lewat (2,1) Menyinggung Garis x+2y=8 di (-2,5)

Verifikasi Solusi dan Interpretasi Geometris

Gak afdol kalo gak dicek. Pertama, pastiin titik (2,1) masuk: (2+6)²+(1+3)² = 64+16=80 (Bener). Kedua, titik (-2,5): (-2+6)²+(5+3)² = 16+64=80 (Bener). Ketiga, apakah garis x+2y=8 menyinggung di (-2,5)? Hitung jarak pusat (-6,-3) ke garis: |(-6)+2(-3)-8| / √(1²+2²) = |-6-6-8|/√5 = |-20|/√5 = 20/√5 = 4√5.

Ternyata sama dengan r! Dan titik (-2,5) memang ada di garis. Semua cocok.

Deskripsi Posisi dalam Bidang Koordinat

Jadi, lingkaran ini pusatnya ada di kuadran III, di koordinat (-6, -3). Lingkarannya sendiri cukup besar, jari-jarinya sekitar 8.94 satuan. Dia membentang hingga melewati kuadran I (lewat titik (2,1)) dan kuadran II (lewat titik singgung (-2,5)). Garis singgung x+2y=8 itu posisinya miring turun dari kiri atas ke kanan bawah, dan dia menyentuh lingkaran halus di satu titik saja, yaitu di (-2,5) yang ada di kuadran II.

Bayangin sebuah lingkaran besar yang bagian atas kirinya tersentuh sebuah penggaris lurus, sentuhannya pas di satu titik itu aja.

Mengapa hanya ada satu solusi? Karena informasi “titik singgung tertentu” sangat menentukan. Garis normal (yang melalui pusat dan titik singgung) hanya ada satu, yaitu garis tegak lurus yang melalui (-2,5). Pusat lingkaran harus berada di garis tersebut. Kemudian, syarat bahwa lingkaran juga melalui (2,1) memaksa kita untuk memilih satu titik tertentu di garis normal itu sebagai pusat. Hasilnya, hanya ada satu kombinasi pusat dan jari-jari yang memenuhi.

Variasi Soal dan Penerapan Konsep

Konsep ini bisa dikembangkan ke banyak variasi soal. Misalnya, gimana kalau soalnya diubah: “Persamaan lingkaran yang menyinggung garis y=3x di titik (1,3) dan melalui titik (0,2)”. Penyelesaiannya mirip: cari gradien normal dari gradien garis singgung, dapatkan persamaan garis tempat pusat berada, lalu manfaatkan dua titik yang diketahui untuk mencari pusat dan jari-jari.

Jika yang Diketahui Gradien Garis Singgung

Terkadang soal hanya memberi tahu gradien garis singgung (m) di sebuah titik pada lingkaran, bukan persamaan garis lengkap. Cara tetap sama: cari gradien garis normal (-1/m). Gunakan titik singgung dan gradien normal ini untuk membuat persamaan garis yang memuat pusat. Jika ada informasi tambahan lain (misal jari-jari atau titik lain), sistem persamaan bisa diselesaikan.

Aplikasi pada Dua Garis Sejajar

Konsep jarak pusat ke garis (yang sama dengan jari-jari) sangat powerful. Misal untuk mencari lingkaran yang menyinggung dua garis sejajar, misal 3x+4y=10 dan 3x+4y=30. Jarak antara dua garis sejajar itu adalah 2r (diameter). Dengan mencari jarak antara dua garis tersebut, kita langsung dapat diameternya. Pusat lingkaran pasti terletak di garis yang tepat di tengah-tengah antara kedua garis sejajar itu (garis yang sejajar juga dan memiliki konstanta rata-rata).

Dengan informasi tambahan seperti titik yang dilalui, lingkaran bisa ditentukan.

Penerapan nyatanya bisa dalam desain teknis, misal menentukan posisi roda atau gear yang harus bersinggungan dengan dua guide rail yang sejajar, atau dalam grafis komputer untuk membuat kurva melingkar yang smooth antara dua boundary paralel.

Terakhir

Dari pembahasan lengkap mengenai Persamaan Lingkaran Lewat (2,1) Menyinggung Garis x+2y=8 di (-2,5), dapat disimpulkan bahwa hanya terdapat satu lingkaran yang memenuhi seluruh kondisi tersebut. Solusi ini didapatkan melalui pendekatan sistematis yang memanfaatkan sifat geometris garis singgung, di mana garis yang menghubungkan pusat lingkaran dengan titik singgung selalu tegak lurus terhadap garis singgung itu sendiri. Pemahaman terhadap soal ini membuka jalan untuk menyelesaikan berbagai variasi masalah geometri analitik yang lebih kompleks.

Panduan FAQ

Mengapa hanya ada satu solusi lingkaran untuk masalah ini?

Karena kondisi yang diberikan sangat spesifik: lingkaran harus melalui titik tetap (2,1) dan menyinggung garis tertentu di titik yang telah ditentukan (-2,5). Kombinasi ini mengunci posisi dan ukuran lingkaran secara unik.

Apakah titik (-2,5) pasti berada pada garis x+2y=8?

Ya, dalam perumusan masalah, titik (-2,5) diberikan sebagai titik singgung, yang secara implisit berarti titik tersebut terletak pada garis x+2y=8. Substitusi koordinat (-2,5) ke persamaan garis menghasilkan -2 + 2(5) = 8, yang membuktikan kebenarannya.

Bagaimana jika titik yang dilalui lingkaran berada pada garis singgung tersebut?

Jika titik (2,1) juga terletak pada garis x+2y=8, maka masalahnya berubah. Lingkaran akan menyinggung garis di dua titik (atau satu titik jika (2,1) dan (-2,5) berimpit), yang merupakan kasus yang berbeda dan mungkin memiliki tak terhingga banyak solusi atau tidak ada solusi bergantung pada konfigurasinya.

Dapatkah masalah ini diselesaikan dengan menggunakan bentuk persamaan lingkaran standar (x-a)²+(y-b)²=r² saja?

Dapat. Bentuk standar justru sering lebih langsung digunakan. Dengan mensubstitusi titik (2,1) dan (-2,5), serta menggunakan syarat jarak pusat (a,b) ke garis x+2y=8 sama dengan r, akan diperoleh sistem tiga persamaan dengan tiga variabel (a, b, r) yang dapat diselesaikan.