Relasi antara dua himpunan M dan N dinyatakan dengan himpunan berurutan pasangan {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7), (5, 8)}. a. Tulislah himpunan M dan – Relasi antara dua himpunan M dan N dinyatakan dengan himpunan berurutan pasangan (1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7), (5, 8). a. Tulislah himpunan M dan mari kita kupas tuntas bersama. Ini bukan sekadar perintah soal, tapi gerbang untuk memahami bagaimana matematika mengaitkan satu hal dengan hal lain secara elegan. Bayangkan ini seperti memetakan kode rahasia: setiap angka pertama adalah kunci dari himpunan M, dan setiap angka kedua adalah petunjuk menuju himpunan N.
Dari sederetan pasangan angka yang terlihat rapi itu, kita bisa menguak banyak hal. Mulai dari anggota himpunan asal dan tujuan, hingga sifat-sifat khusus dari hubungan di antara mereka. Proses ini mirip seperti membaca pola dalam kehidupan sehari-hari, misalnya menghubungkan nomor meja dengan pesanan pelanggan di sebuah kafe. Mari kita mulai petualangan kecil ini dengan langkah paling dasar: mengumpulkan semua kunci yang ada.
Pemahaman Dasar Himpunan dan Pasangan Berurutan
Sebelum kita menyelami relasi spesifik dari soal, mari kita sepakati dulu bahasanya. Dalam matematika, himpunan adalah kumpulan objek yang terdefinisi dengan jelas. Objek-objek ini disebut anggota atau elemen. Biasanya, himpunan ditulis dengan huruf kapital dan anggotanya didaftar di dalam kurung kurawal, misalnya A = 1, 2, 3. Nah, ketika kita ingin menunjukkan hubungan antara anggota dari dua himpunan berbeda, kita menggunakan konsep pasangan berurutan.
Pasangan berurutan ditulis dalam bentuk (x, y), di mana x berasal dari himpunan pertama dan y dari himpunan kedua. Kumpulan dari pasangan berurutan inilah yang kita sebut relasi.
Relasi itu seperti aturan atau koneksi yang mempertemukan anggota dari dua kelompok. Dari soal, kita punya relasi R = (1,4), (2,5), (3,6), (4,7), (5,8). Ini berarti himpunan pertama (sering disebut domain) dan himpunan kedua (kodomain) saling terkait dengan pola yang cukup rapi. Untuk membandingkan kedua himpunan ini, kita bisa lihat karakteristik dasarnya.
| Karakteristik | Himpunan M (Domain) | Himpunan N (Kodomain) |
|---|---|---|
| Sumber Input | Anggota pertama setiap pasangan. | Anggota kedua setiap pasangan. |
| Berdasarkan Relasi R | M = 1, 2, 3, 4, 5 | N = 4, 5, 6, 7, 8 |
| Peran | Setiap anggotanya dipasangkan dengan tepat satu anggota N. | Menerima pasangan dari anggota M. |
Contoh relasi lain dalam kehidupan sehari-hari bisa sangat sederhana. Misalnya, himpunan A adalah Andi, Budi, Cici dan himpunan B adalah Apel, Jeruk. Relasi “menyukai buah” bisa dinyatakan sebagai (Andi, Jeruk), (Budi, Apel), (Cici, Apel). Sudah terbayang, kan?
Identifikasi Elemen Himpunan dari Relasi Tertentu
Sekarang, kita ekstrak informasi dari relasi yang diberikan. Dengan membaca setiap pasangan berurutan, kita bisa dengan mudah menyusun daftar anggota untuk masing-masing himpunan. Proses ini adalah langkah fundamental untuk analisis lebih lanjut, karena kita perlu tahu dengan pasti siapa saja yang terlibat dalam relasi ini.
Anggota himpunan M adalah semua nilai yang menempati posisi pertama dalam setiap pasangan. Sementara anggota himpunan N adalah semua nilai di posisi kedua. Mari kita tuliskan dengan jelas.
Anggota Himpunan M dan N
- Himpunan M (Domain): 1, 2, 3, 4, 5
- Himpunan N (Kodomain): 4, 5, 6, 7, 8
Jika diperhatikan, dalam relasi ini setiap angka baik di himpunan M maupun N hanya muncul satu kali saja dalam perannya masing-masing. Tidak ada anggota M yang muncul sebagai input lebih dari satu kali, dan semua anggota N yang muncul sebagai output juga unik dalam daftar pasangan ini. Ini adalah ciri yang menarik untuk kita analisis sifat relasinya nanti.
Analisis Sifat dan Jenis Relasi
Setelah himpunan teridentifikasi, pertanyaan besarnya adalah: relasi ini termasuk fungsi atau bukan? Dalam matematika, sebuah relasi disebut fungsi jika setiap anggota domain (M) dipasangkan dengan tepat satu anggota kodomain (N). Dalam kasus kita, periksa satu per satu: 1 hanya ke 4, 2 hanya ke 5, 3 hanya ke 6, 4 hanya ke 7, dan 5 hanya ke 8. Tidak ada anggota M yang “berselingkuh” memiliki dua pasangan di N.
Jadi, relasi ini adalah sebuah fungsi.
Lebih jauh lagi, fungsi ini memiliki sifat yang spesial. Karena setiap anggota N yang menjadi pasangan (yaitu 4,5,6,7,8) juga hanya dipasangkan dengan satu anggota M, maka fungsi ini bersifat satu-satu atau injektif. Selain itu, karena semua anggota N pada relasi ini habis dipakai oleh pasangan dari M, fungsi ini juga bersifat pada atau surjektif. Gabungan dari kedua sifat ini membuat fungsi kita menjadi fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu.
| Pasangan (x, y) | Anggota M (x) | Anggota N (y) | Kategori Fungsi |
|---|---|---|---|
| (1, 4) | 1 | 4 | Injektif (y unik) |
| (2, 5) | 2 | 5 | Injektif (y unik) |
| (3, 6) | 3 | 6 | Injektif (y unik) |
| (4, 7) | 4 | 7 | Injektif (y unik) |
| (5, 8) | 5 | 8 | Injektif (y unik) |
Sebagai pembanding, bayangkan relasi dari himpunan orang ke hobi: (Andi, Musik), (Budi, Musik), (Cici, Lukis). Ini adalah fungsi (setiap orang punya satu hobi yang disebutkan), tapi tidak injektif karena “Musik” dipasangkan ke dua orang. Contoh relasi yang bukan fungsi adalah (1,4), (1,5), (2,6). Anggota domain “1” punya dua output (4 dan 5), melanggar aturan fungsi.
Nah, kalau kita lihat relasi himpunan M dan N dari pasangan berurut (1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7), (5, 8), himpunan M-nya tuh 1, 2, 3, 4, 5. Sama kayak saat kita mau cari akar-akar persamaan, perlu metode yang tepat. Biar makin paham, coba intip cara Tentukan penyelesaian dari persamaan kuadrat x^2 + 7x + 12 = 0 dengan menggunakan rumus.
yang sistematis itu. Kembali ke soal himpunan, pemahaman relasi ini jadi kunci untuk menentukan domain dan range dengan benar.
Visualisasi dan Representasi Relasi: Relasi Antara Dua Himpunan M Dan N Dinyatakan Dengan Himpunan Berurutan Pasangan {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7), (5, 8)}. A. Tulislah Himpunan M Dan
Matematika itu bukan hanya angka dan kurung kurawal. Kita bisa “melihat” relasi. Cara paling intuitif adalah dengan diagram panah. Bayangkan dua lingkaran atau elips yang terpisah. Di lingkaran kiri, tulis angka 1, 2, 3, 4, 5 berjajar.
Itu himpunan M. Di lingkaran kanan, tulis angka 4, 5, 6, 7,
8. Itu himpunan N. Sekarang, tarik panah dari setiap angka di kiri ke pasangannya di kanan: dari 1 ke 4, dari 2 ke 5, dari 3 ke 6, dari 4 ke 7, dan dari 5 ke 8. Hasilnya adalah lima panah yang rapi, tidak ada yang bercabang atau bertumpuk, menunjukkan hubungan satu-satu yang sempurna.
Selain diagram panah, kita bisa menggunakan grafik Kartesius. Gambarlah sumbu horizontal (sumbu-x) untuk himpunan M dan sumbu vertikal (sumbu-y) untuk himpunan N. Plot titik-titik koordinat sesuai pasangan berurutan: (1,4), (2,5), (3,6), (4,7), (5,8). Kamu akan mendapati lima titik yang terletak sempurna pada sebuah garis lurus dengan kemiringan naik, membentuk pola yang sangat teratur.
Langkah-langkah menggambar representasi visual relasi:
- Tentukan dan tuliskan semua anggota himpunan domain dan kodomain secara terpisah.
- Untuk diagram panah: buat dua wilayah, tempatkan anggota domain di kiri dan kodomain di kanan. Gambar panah dari setiap anggota domain ke pasangannya di kodomain.
- Untuk grafik Kartesius: buat sistem sumbu koordinat. Tandai sumbu-x dengan domain dan sumbu-y dengan kodomain. Tempatkan titik (plot) pada koordinat (x, y) untuk setiap pasangan berurutan dalam relasi.
- Periksa kembali agar tidak ada pasangan yang terlewat.
Pengembangan dan Aplikasi Konsep
Source: amazonaws.com
Untuk menguasai konsep ini, coba latihan dengan variasi soal. Mulai dari yang langsung hingga yang butuh analisis lebih.
Contoh Soal Latihan, Relasi antara dua himpunan M dan N dinyatakan dengan himpunan berurutan pasangan {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7), (5, 8)}. a. Tulislah himpunan M dan
- Mudah: Diberikan relasi (a,1), (b,2), (c,3). Tuliskan himpunan domain dan kodomainnya.
- Sedang: Dari relasi (2,4), (3,9), (4,16), (2,8), tentukan apakah ini merupakan fungsi. Jelaskan alasanmu.
- Menantang: Jika himpunan P = x | 1 ≤ x ≤ 5, x bilangan bulat dan Q = y | y = x + 2, x ∈ P, nyatakan relasi dari P ke Q dalam bentuk pasangan berurutan dan selidiki sifat-sifat fungsinya (injektif/surjektif/bijektif).
Mari kita bahas soal nomor
2. Relasinya adalah (2,4), (3,9), (4,16), (2,8). Langkah penyelesaiannya: pertama, identifikasi domain: 2, 3,
4. Kodomain dari pasangan yang ada adalah 4, 9, 16,
8. Sekarang, perhatikan anggota domain “2”.
Ia muncul dalam dua pasangan berbeda: (2,4) dan (2,8). Ini berarti satu input (2) menghasilkan dua output yang berbeda (4 dan 8). Karena ada anggota domain yang dipasangkan ke lebih dari satu anggota kodomain, maka relasi ini bukan merupakan fungsi.
Bayangkan jika kita perluas himpunan N menjadi 4,5,6,7,8,9. Relasi awal kita tetap fungsi injektif, tetapi tidak lagi surjektif karena ada anggota N (yaitu 9) yang tidak punya pasangan dari M. Sebaliknya, jika kita perluas M, sifat injektif bisa hilang jika kita memaksa pemasangan yang baru ke anggota N yang sudah dipakai. Perubahan kecil pada himpunan bisa mengubah sifat relasi secara signifikan.
Konsep relasi dan fungsi ini jauh dari abstrak. Dalam pemrograman, ini adalah dasar struktur data “dictionary” atau “map” (kunci-nilai). Dalam kehidupan, ini seperti nomor induk karyawan yang terkait unik dengan satu orang, atau satu nomor telepon yang seharusnya terhubung ke satu pelanggan. Memahami pola hubungan satu-satu yang rapi ini membantu kita mengorganisir informasi di sekitar kita dengan lebih sistematis.
Oke, kita lihat relasi himpunan M dan N yang dinyatakan pasangan berurut itu. Nah, sebelum kita tuliskan anggota himpunan M, coba kita refresh logika matematika dasar dulu. Misal, hitungan seperti 4^4 + 4^4 + 4^4 + 4^4 = itu penting biar nalar kita tajam. Setelah itu, baru kita fokus lagi ke soal: dari pasangan (1,4), (2,5), dan seterusnya, himpunan M jelas berisi angka pertama tiap pasangan, yaitu 1, 2, 3, 4, 5.
Penutupan
Jadi, setelah menelusuri relasi dari himpunan pasangan berurutan itu, kita tak hanya berhasil menuliskan himpunan M = 1, 2, 3, 4, 5 dan N = 4, 5, 6, 7, 8. Lebih dari itu, kita telah melihat bagaimana sebuah pola sederhana bisa punya karakter yang kuat—dalam hal ini sebagai fungsi yang satu-satu. Pemahaman ini adalah fondasi untuk menjelajahi konsep matematika yang lebih kompleks.
Coba terapkan logika yang sama pada hal di sekitarmu, dan lihat betapa banyak “relasi” menarik yang bisa ditemukan. Selamat berpikir!
Pertanyaan dan Jawaban
Apakah himpunan M dan N boleh memiliki anggota yang sama?
Boleh sekali. Dalam relasi, domain (M) dan kodomain (N) bisa saja memiliki anggota yang sama atau bahkan merupakan himpunan yang identik. Yang penting setiap pasangan berurutannya terdefinisi dengan baik.
Bagaimana jika ada angka yang diulang dalam pasangan, misalnya ada (1,4) dan lagi (1,5)?
Jika itu terjadi, relasi tersebut tetap sah sebagai relasi. Namun, ia tidak akan disebut sebagai fungsi, karena dalam fungsi, satu anggota domain hanya boleh berpasangan dengan tepat satu anggota kodomain.
Apakah relasi ini bisa digambar sebagai grafik di koordinat kartesius?
Tentu! Karena anggotanya bilangan, kita bisa memplot titik-titik (1,4), (2,5), (3,6), (4,7), dan (5,8) pada bidang XY. Hasilnya akan berupa sederetan titik yang membentuk pola garis lurus.
Apa bedanya kodomain (N) dengan range?
Kodomain adalah himpunan “tujuan” yang mungkin dikunjungi, sedangkan range adalah himpunan “tujuan” yang benar-benar dikunjungi oleh anggota domain. Pada contoh soal, range-nya adalah 4,5,6,7,8 yang kebetulan sama dengan N.
