Tentukan Akar Persamaan Kuadrat 2x^2 – x – 3 = 0

Tentukan akar persamaan kuadrat berikut. 2x^2 – x – 3 = 0. Kedengarannya seperti soal matematika biasa, ya? Tapi jangan salah, di balik susunan angka dan huruf itu ada cerita tentang bagaimana alam semesta seringkali berjalan dalam pola kuadratik, dari lintasan bola basket sampai optimalisasi bisnis. Memecahkan teka-teki ini bukan cuma untuk nilai ujian, tapi juga melatih logika kita melihat berbagai sisi dari sebuah masalah.

Persamaan kuadrat, dengan bentuk umum ax² + bx + c = 0, adalah bahasa aljabar yang elegan. Dalam kehidupan nyata, ia bisa memprediksi keuntungan maksimum, menghitung waktu tempuh, atau mendesain lengkungan yang sempurna. Nah, untuk persamaan kita kali ini, 2x²
-x – 3 = 0, kita punya tim koefisien: si ‘a’ yang galak bernilai 2, si ‘b’ yang negatif bernilai -1, dan si ‘c’ yang konstan bernilai -3.

Mari kita ajak mereka berdamai dan cari tahu nilai ‘x’ yang bisa menyelesaikan konflik ini.

Pengantar dan Konsep Dasar Persamaan Kuadrat: Tentukan Akar Persamaan Kuadrat Berikut. 2x^2 – X – 3 = 0

Persamaan kuadrat adalah salah satu batu pijakan penting dalam dunia aljabar. Bentuk umumnya selalu sama: ax² + bx + c = 0, di mana a, b, dan c adalah bilangan real, dan yang paling krusial, a tidak boleh sama dengan nol. Kalau a-nya nol, persamaannya berubah jadi linear, dan ceritanya jadi berbeda sama sekali.

Jangan dikira persamaan ini cuma hidup di buku matematika. Dalam kehidupan sehari-hari, model kuadrat muncul di mana-mana. Saat kamu melempar bola ke atas, lintasan bolanya membentuk parabola yang bisa dimodelkan dengan persamaan kuadrat untuk memprediksi ketinggian atau waktu jatuhnya. Dalam ekonomi, fungsi keuntungan atau biaya produksi tertentu juga sering berbentuk kuadrat untuk mencari titik maksimum keuntungan atau minimum biaya. Bahkan, dalam desain arsitektur, bentuk lengkungan jembatan atau lengkungan gerbang banyak yang mengikuti pola kuadratik.

Identifikasi Koefisien dalam Persamaan 2x²

x – 3 = 0

Mari kita ambil persamaan kita, 2x²
-x – 3 = 0 , sebagai contoh konkret. Di sini, kita bisa dengan mudah mengenali peran masing-masing “aktor”. Koefisien a, yang mendampingi x², adalah angka 2. Koefisien b, yang mendampingi x, adalah -1 (perhatikan tanda negatifnya). Sementara konstanta c, yang berdiri sendiri tanpa variabel x, adalah -3.

Memahami posisi ini adalah langkah pertama yang vital sebelum kita masuk ke metode penyelesaiannya.

Metode Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Ada beberapa jalan menuju Roma, dan ada beberapa metode untuk menemukan akar persamaan kuadrat. Masing-masing punya keunikan dan kelebihannya sendiri. Beberapa lebih cepat untuk bentuk persamaan tertentu, sementara yang lain lebih bersifat general dan pasti berhasil. Memahami pilihan yang ada memberi kita fleksibilitas dalam menyelesaikan masalah.

Penyelesaian dengan Metode Pemfaktoran

Untuk persamaan 2x²
-x – 3 = 0, kita coba selesaikan dengan pemfaktoran. Karena koefisien a = 2, kita cari dua bilangan yang hasil kalinya a × c (2 × -3 = -6) dan hasil jumlahnya b (-1). Dua bilangan itu adalah -3 dan +2, karena (-3) × 2 = -6 dan (-3) + 2 = -1.

Langkah selanjutnya, kita uraikan suku tengah (-x) menjadi -3x + 2x. Persamaannya menjadi: 2x²
-3x + 2x – 3 =
0. Kemudian, kita kelompokkan dan faktorkan: (2x²
-3x) + (2x – 3) = 0 → x(2x – 3) + 1(2x – 3) =
0. Sekarang, kita punya faktor bersama (2x – 3), sehingga menjadi (2x – 3)(x + 1) =
0.

Dari sini, akar-akarnya didapat ketika masing-masing faktor sama dengan nol: 2x – 3 = 0 menghasilkan x = 3/2, dan x + 1 = 0 menghasilkan x = -1.

Penyelesaian dengan Rumus Kuadrat

Mari konfirmasi dengan rumus ABC yang lebih universal. Ingat, rumusnya adalah:

x = [-b ± √(b²

4ac)] / 2a

Dari persamaan kita: a = 2, b = -1, c = -3. Kita masukkan ke dalam rumus. Pertama, hitung diskriminan (D) = b²
-4ac = (-1)²
-4*(2)*(-3) = 1 + 24 = 25. Karena D=25 positif dan merupakan kuadrat sempurna, kita akan mendapatkan akar rasional.

Selanjutnya: x = [ -(-1) ± √25 ] / (2*2) = [ 1 ± 5 ] /
4. Ini menghasilkan dua kemungkinan: x₁ = (1 + 5)/4 = 6/4 = 3/2 dan x₂ = (1 – 5)/4 = -4/4 = -1. Hasilnya konsisten dengan metode pemfaktoran.

Analisis Diskriminan dan Sifat Akar

Nilai diskriminan (D = b²
-4ac) itu seperti ramalan bagi akar-akar persamaan kuadrat. Dia tidak memberi tahu angka pastinya, tetapi dia mengungkapkan sifat dan jumlah dari akar-akar tersebut sebelum kita hitung sekalipun. Ini adalah alat diagnostik yang sangat powerful.

Interpretasi Diskriminan Persamaan 2x²

x – 3 = 0

Seperti telah kita hitung, diskriminan dari persamaan kita adalah D =
25. Angka ini lebih besar dari nol, dan secara spesifik, dia adalah bilangan kuadrat sempurna. Fakta ini langsung memberi kita dua informasi kunci: persamaan memiliki dua akar real yang berbeda, dan karena √25 = 5 adalah bilangan rasional, maka kedua akar tersebut adalah bilangan rasional. Ini menjelaskan mengapa kita bisa memfaktorkan persamaan tersebut dengan mudah.

Hubungan antara nilai diskriminan dan sifat akar dapat dirangkum secara sederhana.

• Diskriminan Positif (D > 0): Persamaan memiliki dua akar real yang berbeda. Jika D adalah kuadrat sempurna, akarnya rasional. Jika bukan, akarnya irasional.
• Diskriminan Nol (D = 0): Persamaan memiliki satu akar real kembar (atau akar double). Grafik fungsinya akan menyentuh sumbu-X di satu titik tepat.
• Diskriminan Negatif (D < 0): Persamaan tidak memiliki akar real. Akar-akarnya adalah bilangan kompleks/khayal yang melibatkan satuan imajiner i. Grafik fungsinya tidak memotong maupun menyinggung sumbu-X.

Verifikasi Solusi dan Representasi Grafis

Source: co.id

Setelah mendapatkan solusi, langkah bijaknya adalah memverifikasi. Ini bukan sekadar formalitas, tapi cara untuk memastikan tidak ada kesalahan hitung kecil yang terselip. Selain itu, membayangkan solusi ini dalam bentuk grafik akan memberikan pemahaman visual yang lebih kuat tentang apa sebenarnya arti “akar” sebuah persamaan kuadrat.

Bukti Substitusi Akar

Kita telah mendapatkan akar-akar x₁ = 3/2 dan x₂ = -1. Mari kita buktikan bahwa jika nilai-nilai ini disubstitusikan ke persamaan awal 2x²
-x – 3, hasilnya akan benar-benar nol.

Untuk x = 3/2:

• *(3/2)²
• (3/2)
• 3 = 2*(9/4)
• 3/2 – 3 = (18/4)
• (6/4)
• (12/4) = (18 – 6 – 12)/4 = 0/4 = 0.

Untuk x = -1:

• *(-1)²
• (-1)
• 3 = 2*1 + 1 – 3 = 2 + 1 – 3 = 0.

Kedua substitusi menghasilkan nol. Ini adalah bukti final bahwa solusi kita benar.

Deskripsi Grafik Fungsi Kuadrat, Tentukan akar persamaan kuadrat berikut. 2x^2 – x – 3 = 0

Bayangkan sebuah grafik parabola yang terbuka ke atas (karena koefisien a = 2 positif). Fungsi ini adalah f(x) = 2x²
-x – 3. Akar-akar persamaan, yaitu x = -1 dan x = 1.5, sebenarnya adalah titik-titik di mana grafik parabola ini memotong sumbu horizontal (sumbu-X). Pada nilai x tersebut, nilai y atau f(x)-nya sama dengan nol. Jadi, secara visual, parabola akan turun dari kiri, memotong sumbu-X di titik (-1, 0), lalu turun lagi mencapai titik minimumnya (titik puncak), kemudian naik kembali dan memotong sumbu-X untuk kedua kalinya di titik (1.5, 0), sebelum akhirnya terus melambung ke atas.

Aplikasi dan Variasi Soal Terkait

Menguasai satu contoh saja tidak cukup. Kunci pemahaman yang mendalam adalah dengan berlatih pada variasi soal yang berbeda. Dengan begitu, kita bisa mengembangkan intuisi dan trik tersendiri dalam menyelesaikan persamaan kuadrat, terutama yang bentuknya sedikit lebih menantang.

Contoh Soal Latihan

Berikut dua soal untuk mengasah kemampuan, dengan tingkat kesulitan yang bertahap.

1. Tingkat Dasar: Tentukan akar-akar dari persamaan 3x² + 5x – 2 =

   0. (Petunjuk

   Coba metode pemfaktoran, cari dua bilangan yang hasil kalinya -6 dan jumlahnya 5).

2. Tingkat Lanjut: Sebuah persegi panjang memiliki keliling 20 cm. Jika luasnya adalah 24 cm², tentukan persamaan kuadrat untuk panjang sisi-sisinya dan selesaikan untuk menemukan ukuran panjang dan lebarnya. (Petunjuk: Misalkan panjang = p dan lebar = l, maka 2(p+l)=20 dan p*l=24).

Tips Memfaktorkan dengan Koefisien a ≠ 1

Ketika koefisien a bukan satu, metode “ac” atau “dekomposisi” seringkali efektif. Caranya persis seperti yang kita lakukan pada contoh utama: kalikan a dengan c, cari dua bilangan yang hasil kalinya a×c dan jumlahnya b, lalu uraikan suku tengah berdasarkan dua bilangan tersebut. Setelah pengelompokan, faktor persekutuan biasanya akan muncul. Latihan yang konsisten akan membuat proses ini terasa lebih alami.

Pengaruh Perubahan Koefisien terhadap Akar

Akar-akar persamaan kuadrat sangat sensitif terhadap perubahan koefisiennya. Mengubah konstanta c akan menggeser grafik parabola secara vertikal, yang dapat mengubah titik potongnya dengan sumbu-X (akar). Mengubah koefisien linear b akan menggeser sumbu simetri dan vertex parabola, sehingga memengaruhi posisi akar. Sementara itu, mengubah koefisien kuadrat a akan memengaruhi kelebaran parabola dan arah pembukaannya; nilai a yang lebih kecil membuat parabola lebih lebar, dan jika tandanya berubah (dari positif ke negatif), parabola akan terbuka ke bawah, yang bisa mengubah sifat akarnya secara drastis.

Intinya, setiap angka dalam persamaan ax² + bx + c = 0 memainkan peran koreografinya sendiri dalam menentukan di mana akar-akar itu akan “menari” di garis bilangan.

Ulasan Penutup

Jadi, setelah melalui petualangan memfaktorkan, menghitung rumus ABC, dan menganalisis diskriminan, kita berhasil mengungkap bahwa akar-akar dari 2x²
-x – 3 = 0 adalah x = 3/2 dan x = -1. Kedua angka ini bukan sekadar jawaban akhir; mereka adalah titik temu di mana grafik fungsi melambung tinggi itu akhirnya menyentuh tanah alias sumbu-X. Proses verifikasi membuktikan mereka memang solusi yang sah.

Ingat, menguasai satu persamaan seperti ini adalah kunci untuk membuka ratusan soal lainnya. Selamat, kamu baru saja membereskan satu puzzle matematika yang keren!

Pertanyaan Populer dan Jawabannya

Apakah akar persamaan 2x²
-x – 3 = 0 bisa dicari dengan kalkulator biasa?

Bisa, terutama kalkulator scientific yang memiliki mode equation solver atau fitur menghitung rumus ABC secara langsung dengan memasukkan nilai a, b, dan c.

Oke, jadi kita lagi bahas cara menentukan akar persamaan kuadrat 2x² – x – 3 = 0, kan? Nah, dalam matematika, terkadang kita perlu melihat pola pergerakan untuk memahami suatu konsep, mirip kayak cerita tentang Dua orang berangkat pada waktu yang sama dan dari tempat yang sama, serta bepergian melalui jalan-jalan yang saling tegak lurus. Seseorang bepergian. Kembali ke soal kita, faktorkan persamaan itu jadi (2x – 3)(x + 1) = 0, sehingga akar-akarnya adalah x = 3/2 dan x = -1.

Selesai, kan? Logikanya sama, kita cari titik temu dari dua “arah” yang berbeda.

Mengapa metode pemfaktoran untuk persamaan ini terlihat lebih rumit?

Karena koefisien ‘a’ bukan 1, sehingga kita harus mencari dua bilangan yang hasil kalinya a*c (-6) dan jumlahnya b (-1), yang membutuhkan sedikit percobaan lebih dibanding jika a=1.

Apa arti praktis dari akar-akar persamaan kuadrat dalam grafik?

Secara grafis, akar-akar tersebut adalah titik potong atau titik sentuh grafik parabola (dari fungsi kuadrat) dengan sumbu horizontal (sumbu-X).

Nah, sebelum kita mencari akar dari persamaan kuadrat 2x² – x – 3 = 0, ada baiknya kita asah dulu skill memfaktorkan. Coba tengok contoh soal Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut. a. 4x^2 + 12x + 9 b. 9x^2 – 6x + 1 untuk memahami pola khususnya.

Setelah itu, kamu akan lebih mudah melihat bahwa persamaan awal kita bisa difaktorkan menjadi (2x – 3)(x + 1) = 0, sehingga akar-akarnya pun ketemu dengan cepat.

Bagaimana jika diskriminannya nol atau negatif untuk persamaan ini?

Untuk persamaan ini, diskriminannya positif (25), sehingga memiliki 2 akar real berbeda. Jika nol, grafik akan menyinggung sumbu-X di satu titik. Jika negatif, parabola tidak memotong sumbu-X sama sekali (akar imajiner).

Apakah ada cara cepat menebak pemfaktoran tanpa mencoba banyak kombinasi?

Untuk koefisien utama bukan satu, trik “ac method” (mengalikan a dan c, lalu mencari faktor dari hasilnya yang jumlahnya b) adalah cara sistematis yang paling direkomendasikan.