Hasil penjumlahan suku ke-4 dan suku ke-7 dari barisan bilangan 1/27, 1/9, 1/3, adalah – Hasil penjumlahan suku ke-4 dan suku ke-7 dari barisan bilangan 1/27, 1/9, 1/3, adalah pertanyaan yang sering bikin kita pause sejenak. Lihat deret angkanya, kecil-kecil dan berpecahan, tapi jangan salah, di balik itu ada pola yang bikin kita manggut-manggut kalau udah ketemu. Soal ini bukan cuma tes hitung, tapi juga tes kejelian kita melihat pola yang tersembunyi di balik urutan bilangan yang sepertinya acak.
Nah, setelah kamu berhasil nemuin hasil penjumlahan suku ke-4 dan suku ke-7 dari barisan 1/27, 1/9, 1/3, itu, rasanya logika matematikamu lagi on fire! Coba tantang diri lagi dengan soal lain yang seru, misalnya Perhatikan grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax^2 + bx + c berikut: y = f(x) X Tentukan nilai a (koefisien x^2), nilai b (koefisien x), nilai c (konsta.
Keduanya sama-sama mengasah kemampuan analisismu, dan pemahaman tentang pola barisan tadi pasti bantu banget buat pecahkan teka-teki fungsi kuadrat itu.
Nah, sebelum buru-buru kalkulator, kita intip dulu barisannya. Dari 1/27, lalu melompat ke 1/9, kemudian ke 1/3. Ada apa, nih? Ternyata, ini adalah barisan geometri yang punya rasio konsisten. Setiap suku berikutnya didapat dengan mengalikan suku sebelumnya dengan angka yang sama.
Kalau udah nemu kunci rasionya, semua jadi gampang. Rumus suku ke-n pun bisa kita pakai buat menguak nilai suku keempat dan ketujuh tanpa harus nulisin semua suku di antaranya.
Memahami Barisan Bilangan dalam Soal
Mari kita amati barisan yang diberikan: 1/27, 1/9, 1/3, dan seterusnya. Kalau kita perhatikan baik-baik, ada sebuah pola yang konsisten di sini. Setiap suku berikutnya nilainya semakin besar, bukan? Ini adalah ciri khas sebuah barisan geometri, di mana kita mengalikan suku sebelumnya dengan sebuah bilangan tetap yang disebut rasio.
Untuk menemukan rasionya, kita cukup membagi sebuah suku dengan suku sebelumnya. Misalnya, suku kedua (1/9) dibagi suku pertama (1/27). Hitungannya menjadi (1/9) : (1/27) = (1/9) x (27/1) =
3. Ternyata, rasionya adalah
3. Jadi, pola barisan ini adalah dikali 3 setiap melangkah ke suku berikutnya.
Nah, kalau udah ketemu hasil penjumlahan suku ke-4 dan ke-7 dari barisan 1/27, 1/9, 1/3, yang pasti bakal ketemu angka yang cukup gede, kan? Soal barisan kayak gini memang asyik buat diasah logikanya, mirip kayak saat kamu mengurai persamaan aljabar kayak Jika 5(x + 2) + 3 = 2x – 2, nilai 4x + 3 adalah. Konsepnya seru banget, deh! Nah, balik lagi ke soal barisan tadi, setelah kamu paham polanya, penjumlahan dua suku itu jadi gampang banget dihitung, pokoknya hasilnya memuaskan!
Dengan suku pertama (a) = 1/27 dan rasio (r) = 3, rumus umum suku ke-n (Un) untuk barisan geometri adalah:
Un = a . r^(n-1)
Un = (1/27) . 3^(n-1)
Sebagai gambaran yang lebih konkret, berikut adalah tabel perhitungan untuk empat suku pertama berdasarkan rumus tersebut.
| Suku ke- (n) | Rumus Un = (1/27) . 3^(n-1) | Perhitungan | Hasil |
|---|---|---|---|
| 1 | (1/27) . 3^(0) | (1/27) . 1 | 1/27 |
| 2 | (1/27) . 3^(1) | (1/27) . 3 | 1/9 |
| 3 | (1/27) . 3^(2) | (1/27) . 9 | 1/3 |
| 4 | (1/27) . 3^(3) | (1/27) . 27 | 1 |
Menentukan Suku Ke-4 dan Suku Ke-7: Hasil Penjumlahan Suku Ke-4 Dan Suku Ke-7 Dari Barisan Bilangan 1/27, 1/9, 1/3, Adalah
Sekarang kita punya senjata utama, yaitu rumus Un. Mari kita gunakan untuk menemukan suku ke-4 dan suku ke-7 yang diminta soal. Prosesnya sebenarnya langsung, tinggal substitusi nilai n ke dalam rumus. Namun, di sinilah pemahaman tentang sifat pangkat dan penyederhanaan pecahan akan sangat berguna.
Perhitungan Nilai Suku Ke-4 (U4)
Untuk n = 4, kita hitung: U4 = (1/27) . 3^(4-1) = (1/27) . 3^3. Kita tahu bahwa 3^3 = 27. Maka perhitungannya menjadi (1/27) x 27.
Dua puluh tujuh di pembilang dan penyebut saling membagi, sehingga hasilnya adalah 1.
Perhitungan Nilai Suku Ke-7 (U7), Hasil penjumlahan suku ke-4 dan suku ke-7 dari barisan bilangan 1/27, 1/9, 1/3, adalah
Untuk n = 7, kita hitung: U7 = (1/27) . 3^(7-1) = (1/27) . 3^6. Nilai 3^6 adalah 729. Jadi, U7 = (1/27) x 729.
Kita bisa menyederhanakan 729 dibagi 27, yang hasilnya adalah 27. Dengan demikian, U7 = 27.
Hasil Perhitungan:
Suku ke-4 (U4) = 1
Suku ke-7 (U7) = 27
Perbandingan kedua suku ini sangat menarik. Dalam hanya tiga langkah (dari suku ke-4 ke suku ke-7), nilainya melonjak dari 1 menjadi 27. Ini menunjukkan kekuatan pertumbuhan eksponensial dalam barisan geometri. Rasio yang lebih besar dari 1 akan membuat barisan membesar dengan sangat cepat, sebagaimana terlihat di sini.
Proses Penjumlahan dan Penyederhanaan Hasil
Setelah mendapatkan U4 = 1 dan U7 = 27, langkah selanjutnya adalah menjumlahkan keduanya. Meski terlihat sederhana, proses ini adalah inti dari soal. Penjumlahan ini melibatkan bilangan bulat dan membutuhkan ketelitian dalam penyederhanaan jika hasilnya berbentuk pecahan.
Penjumlahan U4 dan U7 adalah: 1 + 27 = 28. Hasilnya sudah dalam bentuk bilangan bulat, yaitu 28. Dalam bentuk desimal, nilainya tetap 28.0 atau 28. Operasi ini selesai di sini. Namun, dalam banyak soal serupa, hasil penjumlahan seringkali masih berupa pecahan yang perlu disederhanakan.
Beberapa hal penting yang perlu diingat dalam operasi penjumlahan pecahan pada barisan geometri adalah:
- Pastikan hasil setiap suku (U4, U7, dll) sudah dalam bentuk paling sederhana sebelum dijumlahkan. Ini memudahkan perhitungan akhir.
- Perhatikan jenis bilangannya (pecahan, bulat, campuran). Jika menjumlahkan pecahan dengan bilangan bulat, konversi bilangan bulat ke bentuk pecahan dengan penyebut yang sama.
- Gunakan sifat-sifat pangkat dengan cermat saat menghitung nilai suku. Kesalahan kecil dalam menghitung pangkat akan berakibat pada hasil akhir yang salah.
- Selalu periksa kembali, apakah hasil akhir penjumlahan masih bisa disederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan faktor persekutuan terbesar.
Aplikasi dan Variasi Soal Serupa
Konsep barisan geometri ini seperti pisau serbaguna. Begitu kamu paham polanya, kamu bisa menggunakannya untuk menyelesaikan berbagai bentuk soal, dari yang standar sampai yang dikemas dalam cerita. Coba latih pemahamanmu dengan beberapa variasi soal berikut yang memiliki pola pikir serupa tetapi dengan konteks berbeda.
| Variasi Soal | Barisan Awal & Rasio | Yang Ditanyakan | Kunci Penyelesaian |
|---|---|---|---|
| Soal 1: Suku pertama 2, rasio 1/
3. Barisan 2, 2/3, 2/9,… |
a=2, r=1/3 | Hasil penjumlahan suku ke-3 dan suku ke-5 | Gunakan rumus Un = 2 . (1/3)^(n-1). Hasil penjumlahan akan berupa pecahan. |
| Soal 2: Dalam sebuah cerita, bakteri membelah 2 kali setiap jam. Awalnya ada 10 bakteri. | a=10, r=2 | Jumlah bakteri pada akhir jam ke-4 (U5) dan jam ke-6 (U7) | Jam ke-0 adalah suku pertama (10). Setiap jam bertambah, n bertambah 1. Hitung U5 dan U7. |
| Soal 3: Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 16 m. Pantulan berikutnya selalu 3/4 dari tinggi sebelumnya. | a=16, r=3/4 | Tinggi pantulan ke-5 (U6) dan selisih pantulan ke-3 (U4) dan ke-6 (U7) | Pantulan pertama adalah suku ke-2 (U2 = 16 . 3/4). Hati-hati dalam menempatkan nilai n. |
Tips cepat mengenali pola geometri dalam soal cerita adalah dengan mencari kata kunci seperti “membelah diri”, “meningkat/menyusut secara proporsional/berkali-kali lipat”, “rasio pertumbuhan”, atau “persentase pertumbuhan/penyusutan yang tetap setiap periode”. Bayangkan pertumbuhan barisan ini di garis bilangan. Bukan titik-titik yang berjarak sama, melainkan titik-titik yang jaraknya semakin melebar dengan cepat (jika r>1) atau semakin merapat ke nol (jika r antara 0 dan 1).
Dari 1/27, lompat ke 1/9, lalu ke 1/3, lalu melompat jauh ke 1, dan kemudian melesat cepat ke 3, 9, 27, dan seterusnya.
Pembahasan Mendalam tentang Konsep Dasar
Soal ini adalah pintu masuk yang sempurna untuk membedakan dua raksasa dalam dunia barisan: aritmatika dan geometri. Barisan aritmatika berselisih tetap (ditambah atau dikurangi bilangan yang sama), sementara geometri berasio tetap (dikali atau dibagi bilangan yang sama). Dalam soal kita, dari 1/27 ke 1/9 jelas bukan dikurangi atau ditambah, melainkan dikali 3. Itulah penanda utama barisan geometri.
Dua kunci utama dalam geometri adalah suku pertama (a) dan rasio (r). Seperti koordinat pada peta, keduanya menentukan posisi setiap suku. Kesalahan dalam menentukan salah satunya akan mengacaukan semua perhitungan selanjutnya. Konsep pangkat dalam rumus Un = a . r^(n-1) adalah jantungnya.
Pangkat (n-1) menunjukkan berapa kali rasio dikalikan terhadap suku pertama. Untuk U7, r dikalikan sebanyak 6 kali (3^6).
Kesalahan umum yang sering terjadi adalah keliru dalam menghitung pangkat, terutama ketika basisnya pecahan atau negatif. Misalnya, mengira 3^2 itu 6, padahal 9. Atau, saat menyederhanakan pecahan seperti (1/27)
– 3^3, ada yang langsung menghitung 1
– 3^3 dan 27
– 3^3, yang justru rumit. Cara tepatnya adalah menghitung 3^3 = 27 terlebih dahulu, sehingga langsung terlihat bahwa (1/27)*27 =
1.
Contoh lain, dalam barisan dengan r = 1/2, untuk mencari U4 = a . (1/2)^3, jangan sampai terbalik menulisnya menjadi a . (2/1)^
3. Kehati-hatian dalam menulis dan menghitung pangkat adalah obat yang paling manjur.
Simpulan Akhir
Jadi, gimana? Ternyata, dari barisan yang awalnya terlihat sederhana, kita bisa belajar banyak hal: dari mengidentifikasi pola, menerapkan rumus pangkat, sampai menyederhanakan pecahan. Hasil akhirnya, 109/3 atau 36 1/3, adalah bukti bahwa matematika seringkali menyimpan kejutan di balik prosesnya. Yang penting, jangan takut sama pecahan dan pangkat. Perlahan-lahan, step by step, semua soal kayak gini pasti bisa ditaklukkan.
Sekarang, coba deh terapkan ilmunya ke variasi soal lain, pasti makin mahir!
Pertanyaan dan Jawaban
Apakah barisan ini bisa disebut barisan aritmatika?
Tidak. Barisan aritmatika memiliki selisih (beda) yang tetap antar suku. Di barisan ini, selisih antar sukunya tidak tetap, tetapi memiliki rasio perkalian yang tetap (yaitu 3), sehingga ini adalah barisan geometri.
Bagaimana jika soalnya minta suku ke-10, apakah rumusnya tetap sama?
Ya, tetap sama. Rumus umum suku ke-n (Un) untuk barisan geometri ini adalah Un = 1/27
– 3^(n-1). Jadi untuk suku ke-10, tinggal ganti nilai n menjadi 10.
Mengapa penyebutnya bisa berubah dari 27 menjadi 1 (atau bilangan bulat) pada hasil akhir?
Karena dalam proses perhitungan, kita mengalikan suku dengan rasio yang merupakan bilangan bulat (3). Pangkat yang semakin tinggi membuat penyebut pecahan awal (27) “tertutupi” oleh perkalian berulang, sehingga hasilnya bisa menjadi bilangan bulat atau pecahan dengan penyebut yang lebih sederhana.
Apakah hasil penjumlahan ini bisa lebih besar dari 1?
Sangat bisa, bahkan jauh lebih besar. Meski suku awalnya sangat kecil (1/27 ≈ 0.037), pertumbuhan geometri bersifat eksponensial. Suku ke-7 saja sudah bernilai 27, apalagi jika dijumlahkan dengan suku ke-4 (3), hasilnya jelas jauh melampaui 1.
