Sebuah titik P(3, d) terletak pada garis yang melalui titkk Q(-2,10) dan R(1, 1). Nilai d adalah misteri angka yang perlu kita pecahkan bersama. Ini bukan sekadar soal matematika biasa, tapi sebuah petualangan kecil di bidang koordinat untuk menemukan di mana tepatnya si titik P bersembunyi. Mari kita telusuri garis yang menghubungkan Q dan R, karena jawabannya pasti ada di sana.
Untuk menemukan nilai d, langkah pertama adalah memahami persamaan garis yang dibentuk oleh dua titik yang sudah diketahui, Q(-2,10) dan R(1,1). Dari situ, kita bisa melihat pola dan hubungan antara koordinat x dan y. Dengan memasukkan nilai x dari titik P ke dalam persamaan garis tersebut, nilai d yang merupakan koordinat y-nya akan terungkap dengan sendirinya.
Konsep Dasar Garis dalam Koordinat Kartesius
Dalam dunia matematika, khususnya geometri analitik, garis adalah kumpulan titik-titik yang memanjang secara lurus ke dua arah tanpa batas. Bayangkan sebuah jalan raya yang lurus tak berujung, itulah analogi sederhananya. Dalam sistem koordinat dua dimensi, hubungan antara titik-titik pada garis ini dapat diwakili oleh sebuah persamaan, paling umum dalam bentuk y = mx + c, di mana m adalah gradien (kemiringan) dan c adalah titik potong sumbu y.
Sebuah titik dikatakan berada pada sebuah garis jika koordinat (x, y) titik tersebut memenuhi persamaan garis tersebut. Misalnya, pada garis y = 2x + 1, titik (1, 3) berada di garis karena ketika x=1 disubstitusikan, hasilnya y=3, yang sesuai dengan koordinat y titik tersebut. Sebaliknya, titik (2, 2) tidak berada pada garis karena 2 ≠ 2(2) + 1 (yang hasilnya 5).
Dua titik yang sudah diketahui pasti membentuk satu garis lurus yang unik. Dengan mengetahui koordinat dua titik, kita dapat menghitung kemiringan garis dan akhirnya menemukan persamaannya, yang menjadi kunci untuk memeriksa apakah titik ketiga juga terletak di jalur yang sama.
Perbandingan Titik pada Garis
Berikut adalah tabel yang menggambarkan perbedaan antara titik yang berada pada garis y = 2x + 1 dan titik yang tidak.
| Titik (x, y) | Substitusi ke y = 2x + 1 | Hasil | Kesimpulan |
|---|---|---|---|
| (0, 1) | 1 = 2(0) + 1 | 1 = 1 (Benar) | Titik berada pada garis |
| (1, 3) | 3 = 2(1) + 1 | 3 = 3 (Benar) | Titik berada pada garis |
| (2, 4) | 4 = 2(2) + 1 | 4 = 5 (Salah) | Titik TIDAK berada pada garis |
| (3, 8) | 8 = 2(3) + 1 | 8 = 7 (Salah) | Titik TIDAK berada pada garis |
Menentukan Persamaan Garis dari Dua Titik
Mari kita terapkan konsep tersebut untuk menemukan persamaan garis yang melalui titik Q(-2, 10) dan R(1, 1). Proses ini sistematis dan dapat diandalkan untuk berbagai soal sejenis.
Langkah pertama adalah mencari gradien (m) garis. Gradien adalah ukuran kemiringan yang dihitung dari perubahan vertikal (y) dibagi perubahan horizontal (x) antara dua titik.
Rumus Gradien: m = (y₂
- y₁) / (x₂
- x₁)
Dengan menetapkan Q(x₁, y₁) = (-2, 10) dan R(x₂, y₂) = (1, 1), kita dapat menghitung:
m = (1 – 10) / (1 – (-2)) = (-9) / (3) = -3
Jadi, gradien garis tersebut adalah -3.
Nah, buat cari nilai d pada titik P(3, d) yang terletak di garis QR, kita perlu paham dulu konsep membandingkan nilai, mirip kayak lagi cari tau Bilangan berikut yang nilainya kurang dari 3/7 adalah. Setelah ngerti caranya, kita bisa terapkan logika serupa untuk menyelesaikan persamaan garis dan akhirnya nemuin nilai d yang tepat. Gampang, kan?
Setelah mendapatkan gradien, kita bisa menyusun persamaan garis. Kita akan menggunakan bentuk point-slope, y – y₁ = m(x – x₁), dan menyederhanakannya ke bentuk y = mx + c. Mari gunakan titik R(1, 1) untuk mempermudah.
Bentuk Point-Slope: y – y₁ = m(x – x₁)
Substitusi nilai: y – 1 = -3(x – 1)
y – 1 = -3x + 3
y = -3x + 3 + 1
y = -3x + 4
Persamaan garis yang melalui titik Q(-2, 10) dan R(1, 1) adalah y = -3x + 4. Persamaan inilah yang akan menjadi patokan kita.
Memverifikasi Keanggotaan Titik pada Sebuah Garis: Sebuah Titik P(3, D) Terletak Pada Garis Yang Melalui Titkk Q(-2,10) Dan R(1, 1). Nilai D Adalah
Syarat mutlak agar sebuah titik dapat dikatakan terletak pada suatu garis adalah ketika koordinat x dan y-nya memenuhi persamaan garis tersebut. Artinya, jika nilai x titik dimasukkan ke dalam persamaan, maka hasil perhitungannya harus sama persis dengan nilai y titik tersebut.
Dalam kasus titik P(3, d), kita ingin memverifikasinya terhadap garis y = -3x + 4. Karena kita belum tahu nilai d, kita akan menggunakan persamaan untuk mencarinya. Prosedur verifikasi sekaligus pencarian ini dilakukan dengan substitusi.
Langkah-langkahnya sangat jelas: ambil nilai x dari titik yang dipertanyakan, substitusikan ke dalam persamaan garis, lalu hitung nilai y-nya. Hasil perhitungan itulah nilai y yang harus dimiliki titik tersebut agar ia berada tepat di atas garis.
Penyelesaian Soal untuk Mencari Nilai d
Source: numerade.com
Sekarang kita masuk ke inti persoalan. Kita telah memiliki persamaan garis: y = -3x + 4. Titik P memiliki koordinat (3, d). Ini berarti x = 3 dan y = d. Untuk menemukan nilai d, kita substitusikan x=3 ke dalam persamaan.
Perhitungannya menjadi:
y = -3(3) + 4
y = -9 + 4
y = -5
Karena y = d, maka nilai d adalah -5. Jadi, koordinat lengkap titik P adalah (3, -5).
Mari kita bayangkan posisi ketiga titik ini dalam bidang koordinat. Titik Q(-2, 10) berada jauh di kiri atas. Titik R(1, 1) ada di kuadran kanan atas. Garis yang menghubungkan keduanya turun dengan curam (gradien -3) menuju ke kanan bawah. Titik P(3, -5) akan berada jauh di kanan bawah, tepat mengikuti jalur turun yang curam dari garis tersebut, membentuk sebuah garis lurus sempurna dengan Q dan R.
Aplikasi dan Variasi Soal Serupa
Prinsip yang kita gunakan ini sangat fleksibel dan dapat diterapkan dalam berbagai skenario. Pemahaman ini adalah fondasi untuk materi yang lebih kompleks seperti mencari titik potong garis atau persamaan garis singgung.
Strategi umumnya selalu sama: cari persamaan garis dari data yang diberikan (bisa dua titik, atau satu titik dan gradien), lalu gunakan persamaan tersebut untuk menjawab pertanyaan, baik itu mencari koordinat yang belum diketahui atau memverifikasi suatu titik.
Tips penting: Hati-hati dengan tanda negatif saat menghitung gradien. Kesalahan minus-plus adalah kesalahan paling umum. Selalu tuliskan rumusnya terlebih dahulu baru substitusi angka untuk meminimalisir kesalahan. Periksa juga konsistensi titik yang kamu gunakan saat mensubstitusi ke dalam bentuk point-slope.
Contoh Variasi Soal dan Solusi, Sebuah titik P(3, d) terletak pada garis yang melalui titkk Q(-2,10) dan R(1, 1). Nilai d adalah
Berikut adalah beberapa variasi soal dengan struktur serupa namun titik yang berbeda-beda.
| Titik Q | Titik R | Titik P (yang dicari) | Persamaan Garis | Nilai yang Dicari (Solusi) |
|---|---|---|---|---|
| (0, 4) | (2, 0) | (5, k) | y = -2x + 4 | k = -2(5) + 4 = -6 |
| (-1, 5) | (1, -1) | (4, t) | y = -3x + 2 | t = -3(4) + 2 = -10 |
| (2, 2) | (4, 8) | (0, b) | y = 3x – 4 | b = 3(0) – 4 = -4 |
Terakhir
Jadi, itulah cara menemukan bahwa nilai d adalah –
8. Proses ini mengajarkan kita bahwa matematika seringkali tentang mengikuti jejak yang sudah ada. Garis yang melalui Q dan R memberikan semua petunjuk yang kita butuhkan. Selanjutnya, kalau ketemu soal serupa, ingat saja langkah-langkahnya: cari gradien, buat persamaan, lalu substitusi. Semoga penjelasan ini bikin kamu makin jago dan percaya diri ngadepin soal-soal koordinat kayak gini.
FAQ Umum
Apakah hasilnya akan sama jika saya menggunakan titik Q atau R untuk membuat persamaan garis?
Ya, pasti sama. Baik menggunakan titik Q(-2,10) maupun R(1,1) untuk mensubstitusikan nilai ke dalam bentuk y = mx + c setelah menemukan gradien (m), persamaan garis akhir yang dihasilkan akan identik, sehingga nilai d yang didapatkan tetap -8.
Bagaimana jika titik P tidak berada pada garis yang melalui Q dan R?
Nah, buat cari nilai d pada titik P(3, d) yang terletak di garis QR, kita perlu paham dulu konsep kemiringan garis. Ini mirip kayak logika dalam menghitung banyaknya himpunan bagian dari K yang mempunyai 4 anggota , di mana keduanya butuh ketelitian. Setelah itu, baru kita bisa substitusikan nilai x ke persamaan untuk menemukan d yang tepat.
Jika titik P tidak berada pada garis tersebut, maka ketika koordinat x-nya (yaitu 3) disubstitusikan ke dalam persamaan garis, nilai y yang dihasilkan tidak akan sama dengan nilai d yang diberikan atau dicari. Artinya, titik P berada di luar garis.
Mengapa gradiennya negatif?
Gradiennya negatif (-3) karena garis yang melalui Q(-2,10) dan R(1,1) menurun dari kiri ke kanan. Nilai y di titik R (1) lebih kecil daripada nilai y di titik Q (10), sehingga kemiringannya bernilai negatif.
