Operasi 6 3/4 - 2 2/5 ÷ 1 1/3 – Operasi 6 3/4 – 2 2/5 ÷ 1 1/3 mungkin terlihat rumit sekilas, memadukan bilangan campuran dengan dua operasi hitung yang berbeda. Namun, di balik susunan angka dan tanda tersebut, tersembunyi logika matematika yang rapi dan terstruktur. Menyelesaikannya bukan sekadar berhitung, melainkan memahami sebuah cerita dengan alur yang harus diikuti, yaitu aturan urutan operasi yang menjadi fondasi dalam matematika.
Ekspresi ini menjadi contoh sempurna untuk mengasah keterampilan dasar aritmetika yang sangat aplikatif. Mulai dari mengonversi bilangan campuran, menerapkan pembagian pecahan dengan benar, hingga menyelesaikan pengurangan, setiap langkahnya mengajarkan ketelitian dan pemahaman konseptual. Proses penyelesaiannya mengungkap bagaimana matematika bekerja secara sistematis untuk menghasilkan satu jawaban yang tepat dari berbagai komponen yang tampak kompleks.
Pemahaman Dasar Ekspresi Matematika
Menyelesaikan ekspresi matematika seperti “6 3/4 – 2 2/5 ÷ 1 1/3” memerlukan fondasi yang kuat dalam memahami komponen penyusunnya. Ekspresi ini terdiri dari tiga bilangan campuran yang dihubungkan oleh dua jenis operasi: pengurangan dan pembagian. Bilangan campuran sendiri merupakan representasi bilangan yang menggabungkan bagian bulat dan bagian pecahan, seperti 6 3/4 yang berarti enam ditambah tiga perempat. Kehadiran lebih dari satu jenis operasi mengharuskan kita untuk menerapkan aturan baku urutan pengerjaan agar hasil yang diperoleh tepat dan konsisten.
Aturan yang dimaksud dikenal sebagai urutan operasi, sering diingat dengan akronim PEMDAS (Parentheses, Exponents, Multiplication/Division, Addition/Subtraction) atau BODMAS (Brackets, Orders, Division/Multiplication, Addition/Subtraction). Inti dari aturan ini adalah bahwa operasi pembagian dan perkalian memiliki prioritas yang lebih tinggi daripada penjumlahan dan pengurangan, dan harus dikerjakan terlebih dahulu dari kiri ke kanan. Dalam ekspresi kita, ini berarti operasi pembagian “2 2/5 ÷ 1 1/3” harus diselesaikan sebelum hasilnya dikurangkan dari “6 3/4”.
Karakteristik Jenis Bilangan
Sebelum melangkah lebih jauh, penting untuk membedakan dengan jelas jenis-jenis bilangan yang terlibat. Pemahaman ini akan memudahkan proses konversi dan perhitungan selanjutnya.
Menyelesaikan operasi hitung campuran 6¾ – 2⅖ ÷ 1⅓ memerlukan ketelitian langkah demi langkah, serupa dengan ketepatan saat Anda perlu Hitung panjang sisi persegi dengan luas 289 cm² untuk menemukan akar kuadratnya. Keduanya menguji pemahaman fundamental matematika. Setelah memahami konsep akar kuadrat tersebut, kita kembali fokus menyelesaikan pembagian dan pengurangan pada soal awal hingga mendapatkan hasil akhir yang presisi.
| Jenis Bilangan | Definisi | Contoh | Representasi Alternatif |
|---|---|---|---|
| Bilangan Bulat | Bilangan tanpa bagian pecahan atau desimal. | … -2, -1, 0, 1, 2 … | Dapat dinyatakan sebagai pecahan dengan penyebut 1 (e.g., 5 = 5/1). |
| Pecahan Biasa | Bilangan yang dinyatakan sebagai pembilang dibagi penyebut, di mana pembilang dan penyebut adalah bilangan bulat. | 3/4, 7/5, -2/3 | Pembilang bisa lebih besar dari penyebut (pecahan tidak murni). |
| Bilangan Campuran | Gabungan dari bilangan bulat dan pecahan biasa. | 2 2/5, 6 3/4 | Selalu dapat diubah menjadi pecahan biasa tidak murni untuk memudahkan perhitungan. |
Konversi Bilangan Campuran ke Pecahan Biasa
Langkah pertama yang praktis dalam menyelesaikan operasi dengan bilangan campuran adalah mengonversinya menjadi pecahan biasa. Konversi ini menyederhanakan proses aritmetika karena semua bilangan berada dalam format yang seragam. Prinsip dasarnya adalah mengubah bagian bulat menjadi pecahan dengan penyebut yang sama dengan bagian pecahan, lalu menjumlahkannya.
Rumus umum untuk mengonversi bilangan campuran a b/c adalah (a × c) + b sebagai pembilang baru, dengan penyebut c yang tetap. Proses ini mengakomodasi makna sebenarnya dari bilangan campuran, yaitu penjumlahan.
Demonstrasi Konversi pada Soal, Operasi 6 3/4 - 2 2/5 ÷ 1 1/3
Mari kita terapkan rumus tersebut pada ketiga bilangan campuran dalam ekspresi kita.
6 3/4: (6 × 4) + 3 = 24 + 3 = 27. Jadi, 6 3/4 = 27/4.
2 2/5: (2 × 5) + 2 = 10 + 2 = 12. Jadi, 2 2/5 = 12/5.
1 1/3: (1 × 3) + 1 = 3 + 1 = 4. Jadi, 1 1/3 = 4/3.
Dengan konversi ini, ekspresi awal “6 3/4 – 2 2/5 ÷ 1 1/3” berubah menjadi “27/4 – 12/5 ÷ 4/3”, yang sudah lebih siap untuk dihitung dengan aturan operasi.
Kesalahan Umum dalam Konversi
Meski terlihat sederhana, beberapa kesalahan sering terjadi saat mengonversi bilangan campuran. Kesalahan ini biasanya berakar pada pemahaman yang kurang tepat tentang hubungan antara bagian bulat dan pecahan.
- Mengalikan bagian bulat dengan pembilang saja: Kesalahan ini menghasilkan (6 × 3) untuk 6 3/4, yang mengabaikan peran penyebut. Cara yang benar adalah mengalikan bagian bulat dengan penyebut.
- Lupa menjumlahkan dengan pembilang asli: Setelah mengalikan bagian bulat dengan penyebut, hasilnya harus ditambah dengan pembilang pecahan awal. Melewatkan langkah ini akan membuat nilai bilangan menjadi lebih kecil.
- Mencampurkan operasi pada bilangan negatif: Pada bilangan campuran negatif (misalnya, -2 1/2), tanda negatif berlaku untuk seluruh bilangan. Konversi yang benar adalah -((2 × 2) + 1)/2 = -5/2, bukan (-2 × 2) + 1 yang menghasilkan -3/2.
Prosedur Pembagian Pecahan
Setelah berhasil mengonversi semua bilangan, fokus kita beralih ke operasi pembagian. Dalam aritmetika pecahan, pembagian tidak dilakukan secara langsung seperti pada bilangan bulat. Aturan intinya adalah membagi dengan suatu pecahan sama dengan mengalikan dengan kebalikan (resiprokal) dari pecahan tersebut. Kebalikan suatu pecahan diperoleh dengan menukar posisi pembilang dan penyebutnya.
Aturan ini mengubah operasi pembagian yang kompleks menjadi operasi perkalian yang lebih mudah dikelola. Logika di baliknya dapat dipahami dengan analogi: jika membagi dengan 2 sama dengan mengalikan dengan 1/2, maka membagi dengan 4/3 sama dengan mengalikan dengan 3/4.
Penerapan pada Bagian Pembagian
Dari konversi sebelumnya, kita memiliki “12/5 ÷ 4/3”. Berdasarkan aturan, kita ubah tanda bagi (÷) menjadi kali (×) dan ambil kebalikan dari pecahan pembagi (4/3 menjadi 3/4).
– /5 ÷ 4/3 = 12/5 × 3/4
Selanjutnya, kita lakukan perkalian pecahan dengan mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut. Penyederhanaan dapat dilakukan sebelum perkalian untuk mempermudah perhitungan.
| Langkah | Operasi | Penjelasan | Hasil Sementara |
|---|---|---|---|
| 1 | Identifikasi Pecahan | Pecahan yang dibagi: 12/
5. Pecahan pembagi 4/3. |
12/5 ÷ 4/3 |
| 2 | Ambil Kebalikan Pembagi | Kebalikan dari 4/3 adalah 3/4. | 12/5 × 3/4 |
| 3 | Perkalian dan Penyederhanaan | Kalikan pembilang dan penyebut. Sederhanakan 12 dan 4 dengan FPB 4. | (12×3)/(5×4) = (3×3)/(5×1) |
| 4 | Hasil Akhir Pembagian | Hitung hasil perkalian yang telah disederhanakan. | 9/5 |
Dengan demikian, hasil dari “2 2/5 ÷ 1 1/3” setelah dikonversi dan dihitung adalah 9/5.
Proses Pengurangan Pecahan
Source: gauthmath.com
Dengan hasil pembagian yang telah diperoleh (9/5), ekspresi utama kini berubah menjadi “27/4 – 9/5”. Operasi pengurangan pecahan memerlukan penyebut yang sama. Jika penyebutnya berbeda, kita harus mencari penyebut persekutuan, idealnya Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK), sebelum mengurangkan pembilangnya.
Proses ini menjaga nilai pecahan tetap setara sementara kita menyelaraskan formatnya untuk memungkinkan pengurangan langsung. Mengabaikan langkah penyamaan penyebut adalah kesalahan fatal yang akan menghasilkan jawaban yang salah.
Mencari Penyebut Persekutuan
Penyebut dari dua pecahan kita adalah 4 dan 5. Karena 4 dan 5 adalah bilangan yang relatif prima (tidak memiliki faktor persekutuan selain 1), KPK dari keduanya adalah hasil kalinya, yaitu 20. Ilustrasinya, kelipatan dari 4 adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24… dan kelipatan dari 5 adalah 5, 10, 15, 20, 25… Angka 20 adalah kelipatan persekutuan pertama yang sama.
Kita akan mengubah kedua pecahan menjadi bentuk yang setara dengan penyebut 20.
Untuk 27/4, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan 5 (karena 4 × 5 = 20). Untuk 9/5, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan 4 (karena 5 × 4 = 20).
– /4 = (27 × 5) / (4 × 5) = 135/20
– /5 = (9 × 4) / (5 × 4) = 36/20
Sekarang, pengurangan dapat dilakukan dengan mudah: 135/20 – 36/20 = (135 – 36)/20 = 99/20.
Pendekatan Penyelesaian Pengurangan
Selain metode KPK yang standar, terdapat beberapa pendekatan lain yang dapat digunakan, meskipun dengan tingkat efisiensi yang berbeda.
Menyelesaikan operasi hitung campuran 6¾ – 2⅖ ÷ 1⅓ memerlukan ketelitian langkah demi langkah, layaknya menganalisis reaksi kimia yang kompleks. Dalam kimia, memahami proses seperti Ion yang terbentuk saat MgNH4PO4 dilarutkan dalam air juga membutuhkan pendekatan sistematis untuk mengidentifikasi partikel penyusunnya. Kembali ke soal matematika, setelah menyelesaikan pembagian, barulah pengurangan dapat dilakukan dengan presisi untuk memperoleh hasil akhir yang akurat.
- Metode KPK: Metode yang paling direkomendasikan karena selalu menghasilkan penyebut terkecil, yang memudahkan penyederhanaan hasil akhir. Langkahnya adalah mencari KPK penyebut, mengubah semua pecahan, lalu mengoperasikan pembilang.
- Metode Perkalian Silang (Produk Penyebut): Mengalikan penyebut pecahan pertama dengan pembilang dan penyebut pecahan kedua, dan sebaliknya. Untuk a/b – c/d = (a×d – c×b) / (b×d). Cara ini cepat tetapi sering menghasilkan penyebut yang besar (b×d), memerlukan penyederhanaan ekstra. Contoh: (27×5 – 9×4)/(4×5) = (135-36)/20 = 99/20.
- Konversi ke Desimal: Mengubah semua pecahan menjadi bentuk desimal terlebih dahulu (27/4 = 6.75; 9/5 = 1.8), lalu mengurangkannya (6.75 – 1.8 = 4.95). Hasil desimal ini kemudian dikonversi kembali ke pecahan (4.95 = 495/100 = 99/20). Metode ini praktis untuk kalkulator tetapi kurang mengajarkan pemahaman konseptual operasi pecahan.
Penyelesaian Langkah demi Langkah
Mari kita rangkai semua langkah sebelumnya menjadi satu narasi perhitungan yang utuh dan terstruktur untuk menyelesaikan ekspresi “6 3/4 – 2 2/5 ÷ 1 1/3”. Urutan operasi (PEMDAS/BODMAS) menjadi panduan utama kita, memastikan pembagian dikerjakan sebelum pengurangan.
Proses ini dimulai dari interpretasi soal, konversi format bilangan, eksekusi operasi berdasarkan prioritas, hingga penyajian hasil akhir dalam bentuk yang rapi. Setiap langkah saling terhubung dan verifikasi pada setiap tahap dapat mencegah kesalahan yang merambat.
Rangkuman Tahap Perhitungan
| Tahap | Input | Operasi & Penjelasan | Output |
|---|---|---|---|
| 1. Konversi | 6 3/4, 2 2/5, 1 1/3 | Mengubah semua bilangan campuran menjadi pecahan biasa. | 27/4, 12/5, 4/3 |
| 2. Prioritas Operasi | 12/5 ÷ 4/3 | Menjalankan pembagian terlebih dahulu (mengalikan dengan kebalikan). | 12/5 × 3/4 = 36/20 = 9/5 |
| 3. Substitusi | 27/4 – 9/5 | Mengganti hasil pembagian ke dalam ekspresi utama. | Ekspresi menjadi 27/4 – 9/5 |
| 4. Penyamaan Penyebut | 27/4 dan 9/5 | Mencari KPK (20) dan mengubah kedua pecahan. | 135/20 dan 36/20 |
| 5. Pengurangan | 135/20 – 36/20 | Mengurangkan pembilang dengan penyebut tetap. | 99/20 |
| 6. Hasil Akhir | 99/20 | Bentuk pecahan biasa. Dapat dikonversi ke bilangan campuran. | 4 19/20 |
Hasil akhir dari perhitungan ini adalah 99/20. Dalam kehidupan sehari-hari, bentuk bilangan campuran seringkali lebih mudah dibaca dan dipahami.
Konversi ke Bilangan Campuran: Untuk mengubah 99/20, kita bagi 99 oleh 20. Hasil baginya adalah 4, dan sisanya 19 (karena 20 × 4 = 80, dan 99 – 80 = 19). Jadi, 99/20 = 4 19/20. Nilai ini juga setara dengan 4.95 dalam bentuk desimal.
Aplikasi dan Contoh Serupa
Penguasaan terhadap operasi campuran dengan pecahan seperti ini bukan sekadar latihan akademis. Kemampuan ini memiliki aplikasi langsung dalam berbagai bidang, mulai dari ilmu pengetahuan, teknik, hingga aktivitas sehari-hari seperti memasak atau mengelola proyek rumah tangga.
Memahami prinsipnya memungkinkan kita untuk memecahkan masalah yang lebih variatif. Berikut adalah beberapa contoh ekspresi dengan struktur serupa yang dapat dicoba untuk melatih pemahaman.
Variasi Contoh Perhitungan
Setiap contoh berikut menguji penerapan urutan operasi dan keterampilan manipulasi pecahan dengan skenario yang sedikit berbeda.
Contoh 1: 5 1/2 – 3 3/4 ÷ 1 1/2
Contoh 2: (2 2/3 ÷ 4/5) – 1 1/6
Contoh 3: 4 4/5 – 2 1/3 ÷ 1 7/9
Konteks Penerapan Dunia Nyata
Bayangkan seorang tukang kayu yang memiliki papan sepanjang 6 3/4 meter. Ia perlu memotong beberapa bagian untuk rak, di mana setiap bagian membutuhkan 1 1/3 meter dari papan berukuran 2 2/5 meter yang sudah ada. Ia harus menghitung sisa papan utamanya setelah pengambilan bahan untuk rak. Atau, dalam resep yang membutuhkan 6 3/4 cangkir tepung, jika Anda hanya ingin membuat bagian resep yang sebesar 1 1/3 dari porsi normal menggunakan campuran lain yang tersisa 2 2/5 cangkir, berapa banyak tepung dari batch utama yang masih tersisa?
Logika perhitungannya persis seperti ekspresi matematika yang kita selesaikan.
Tips Memeriksa Kebenaran Hasil
Setelah melakukan serangkaian perhitungan, penting untuk melakukan pengecekan ulang. Beberapa tips berikut dapat membantu memvalidasi apakah jawaban yang diperoleh masuk akal.
- Estimasi dengan Bilangan Bulat: Bulatkan setiap bilangan campuran ke bilangan bulat terdekat sebelum menghitung. Pada soal kita: 6 3/4 ≈ 7, 2 2/5 ≈ 2, 1 1/3 ≈ 1. Maka, 7 – (2 ÷ 1) = 5. Hasil kita (4 19/20 ≈ 5) sangat dekat dengan estimasi ini, yang merupakan indikasi baik.
- Konversi ke Desimal: Hitung setiap langkah utama dalam bentuk desimal sebagai pembanding. 6.75 – (2.4 ÷ 1.333…) = 6.75 – 1.8 = 4.95. Konversi 4.95 ke pecahan kembali akan menghasilkan 99/20 atau 4 19/20.
- Uji Kebalikan Operasi: Untuk memastikan pembagian benar, kalikan hasil pembagian (9/5) dengan pembagi (4/3). 9/5 × 4/3 = 36/15 = 12/5, yang sama dengan pecahan asal sebelum dibagi (2 2/5). Ini mengonfirmasi langkah pembagian akurat.
Ringkasan Penutup: Operasi 6 3/4 - 2 2/5 ÷ 1 1/3
Dengan demikian, perjalanan menyelesaikan Operasi 6 3/4 – 2 2/5 ÷ 1 1/3 telah menunjukkan bahwa matematika adalah disiplin yang elegan dan dapat diprediksi. Kunci utamanya terletak pada penghormatan terhadap aturan main, seperti PEMDAS, dan eksekusi yang cermat dalam setiap konversi serta operasi. Hasil akhir, baik dalam bentuk pecahan biasa 111/20 maupun bilangan campuran 5 11/20, bukanlah sekadar angka, melainkan bukti konsistensi dari penerapan metode yang benar.
Sudut Pertanyaan Umum (FAQ)
Mengapa kita harus mengikuti urutan operasi (PEMDAS/BODMAS) dalam menyelesaikan soal seperti ini?
Urutan operasi adalah konvensi atau kesepakatan internasional yang memastikan bahwa setiap orang mendapatkan hasil yang sama dari suatu ekspresi matematika. Tanpa aturan ini, ekspresi yang sama bisa diinterpretasikan secara berbeda, leading to multiple answers and confusion.
Apakah hasil akhir harus selalu dikonversi ke bilangan campuran?
Operasi hitung campuran 6¾ – 2⅖ ÷ 1⅓, yang melibatkan pecahan dan urutan pengerjaan, memerlukan ketelitian dan disiplin logika layaknya semangat dalam menyusun Contoh Yel‑Yel tentang Agama Islam yang penuh energi namun tetap berdasar pada nilai-nilai keimanan. Keduanya sama-sama membutuhkan struktur yang tepat: yel-yel untuk membangkitkan semangat kebersamaan, sementara dalam matematika, ketepatan langkah seperti mengubah pecahan dan mendahulukan pembagian adalah kunci untuk mencapai hasil akhir yang akurat dari soal tersebut.
Tidak selalu. Bentuk pecahan biasa seperti 111/20 sudah merupakan jawaban yang valid dan tepat. Konversi ke bilangan campuran 5 11/20 sering dilakukan untuk memudahkan pemahaman nilai besaran, karena lebih intuitif membayangkan “5 bilangan utuh lebih”, tetapi secara matematis keduanya setara.
Bagaimana jika tanda kurung ditambahkan ke dalam ekspresi, misalnya (6 3/4 – 2 2/5) ÷ 1 1/3? Apakah hasilnya akan sama?
Tentu tidak. Penambahan tanda kurung mengubah urutan pengerjaan secara drastis. Pada ekspresi asli, pembagian didahulukan. Dengan kurung, pengurangan dikerjakan lebih dulu. Ini akan menghasilkan proses dan hasil akhir yang benar-benar berbeda, menunjukkan betapa krusialnya tanda baca dalam matematika.
Kesalahan teknis apa yang paling sering terjadi saat mengerjakan operasi campuran seperti ini?
Kesalahan yang sangat umum adalah lalai mengonversi semua bilangan campuran ke pecahan biasa sebelum melakukan operasi pembagian atau pengurangan. Kesalahan lain adalah melakukan operasi dari kiri ke kanan tanpa memperhatikan prioritas pembagian atas pengurangan, serta kesalahan dalam mencari KPK saat menyamakan penyebut.
