Menghitung Jumlah 10 Suku Pertama Barisan Un 8n-2 dengan Mudah

Suku suatu barisan aritmetika dinyatakan dengan rumus Un = 8n – 2. Jumlah 10 suku pertama dari deret tersebut adalah pertanyaan yang sering bikin kita garuk-garuk kepala, padahal sebenarnya ada jalan pintas yang manis banget untuk menyelesaikannya. Mari kita buka-bukaan sama-sama, sebenarnya di balik rumus yang kelihatan formal itu, tersembunyi pola yang rapi dan perhitungan yang bisa dikuasai siapa saja, bahkan untuk kamu yang merasa belum jago matematika.

Kita akan mengupasnya bukan dengan cara yang kaku, tapi dengan logika sederhana yang bikin kamu langsung klik, “Oh, gitu doang!”

Barisan dengan rumus Un = 8n – 2 ini adalah barisan aritmetika klasik, di mana setiap suku selalu bertambah dengan nilai tetap. Bayangkan seperti anak tangga yang setiap anaknya naik 8 cm, tapi lantai dasarnya sudah berada di posisi -2. Dengan memahami karakter ini, kita bisa dengan lincah melompat dari suku pertama langsung ke suku kesepuluh, lalu merangkum total seluruhnya hanya dalam beberapa langkah hitung.

Perjalanan dari rumus menuju jawaban final itu seperti merakit puzzle—semua potongan sudah ada, tinggal disusun dengan strategi yang tepat.

Memahami Rumus Suku dan Jenis Barisan

Kita mulai dengan membedah rumus yang diberikan, Un = 8n - 2 . Rumus ini adalah kunci untuk membuka semua rahasia barisan kita. Di sini, n mewakili nomor urut suku, 8 adalah koefisien yang melekat pada n, dan -2 adalah konstanta. Keindahan dari bentuk rumus seperti ini terletak pada kemudahannya; untuk mencari suku ke-100, kita tinggal mengganti n dengan 100, tanpa perlu menghitung 99 suku sebelumnya.

Koefisien 8 dalam rumus ini bukan angka biasa. Ia berperan sebagai beda (b) dari barisan aritmetika. Sementara konstanta -2, ketika kita hitung untuk suku pertama (n=1), akan berkontribusi dalam menentukan nilai awal barisan. Jika kita bandingkan dengan rumus umum barisan aritmetika Un = a + (n-1)b , kita bisa melihat pola. Rumus umum itu jika kita jabarkan menjadi Un = bn + (a - b) .

Nah, dalam kasus kita Un = 8n - 2 , dengan mudah kita identifikasi bahwa b = 8 dan a - b = -2. Ini secara tegas mengonfirmasi bahwa barisan ini adalah barisan aritmetika, karena selisih antar suku akan selalu konstan, yaitu 8.

Arti Komponen Rumus dan Identifikasi Barisan

Mari kita lihat lebih dekat. Dalam rumus Un = 8n - 2 , setiap kenaikan n sebesar 1 akan menambah nilai Un sebesar
8. Ini adalah ciri khas barisan aritmetika: penambahan yang tetap. Konstanta -2 berfungsi sebagai “penyesuai” agar suku pertama memiliki nilai yang tepat. Barisan yang dibentuk oleh rumus ini memiliki karakteristik garis lurus jika kita gambarkan dalam grafik dengan n sebagai sumbu horizontal.

Perbandingannya dengan rumus umum menunjukkan kesetaraan yang elegan, di mana informasi suku pertama ( a) dan beda ( b) sudah terkandung rapi dalam bentuk pn + q.

Menentukan Unsur-unsur Penting Deret

Source: kompas.com

Oke, kita hitung jumlah 10 suku pertama barisan Un = 8n – 2. Nah, kalau lagi belajar pola bilangan, sering banget ketemu soal geometri juga, kayak soal Diketahui jajargenjang PQRS dengan koordinat titik P(-4, 3), Q(6, -1), dan R(8, 7). Jika titik merupakan titik potong diagonal PR dan QS, koordinat ti yang perlu logika mirip buat cari titik tengah.

Kembali ke deret tadi, setelah paham konsep dasarnya, kita bisa langsung aplikasikan rumus Sn untuk dapetin hasil akhirnya dengan lebih cepat dan akurat.

Sebelum menghitung jumlah, kita perlu mengumpulkan bahan bakarnya: suku pertama, suku terakhir, dan beda barisan. Ini adalah data wajib yang akan mempermudah perhitungan kita nanti. Dengan rumus eksplisit yang sudah ada, proses menemukan unsur-unsur ini menjadi sangat cepat dan akurat.

Langsung saja, suku pertama ( a atau U1) ditemukan dengan mensubstitusi n=1: U1 = 8(1)
-2 = 6 . Beda ( b) sudah jelas dari koefisien n, yaitu
8. Untuk suku kesepuluh ( U10), kita hitung: U10 = 8(10)
-2 = 80 - 2 = 78 . Sekarang kita sudah punya paket lengkap: a = 6, b = 8, dan U10 = 78 .

Nilai Suku dan Tabel Barisan

Untuk memberikan gambaran yang lebih nyata, berikut adalah lima suku pertama dari barisan ini, disajikan dalam . Perhatikan pola penambahan yang konsisten sebesar 8 setiap berpindah ke suku berikutnya.

Menghitung Jumlah Sepuluh Suku Pertama (S₁₀)

Inilah inti permasalahan kita: mencari jumlah dari 10 suku pertama. Dalam deret aritmetika, kita punya dua opsi rumus andalan yang bisa digunakan sesuai dengan data yang telah kita kumpulkan. Keduanya akan membawa kita ke hasil yang sama, membuktikan konsistensi matematika.

Rumus pertama memanfaatkan suku pertama dan suku terakhir: Sn = (n/2)
- (a + U n) . Rumus kedua menggunakan suku pertama dan beda: Sn = (n/2)
- [2a + (n-1)b] . Kita akan coba keduanya untuk memastikan perhitungan kita tepat.

Perhitungan Menggunakan Suku Pertama dan Terakhir

Kita telah memiliki n=10, a=6, dan U10=78 . Mari masukkan ke dalam rumus pertama.

S₁₀ = (10/2)
– (6 + 78)
S ₁₀ = 5
– (84)
S ₁₀ = 420

Jadi, jumlah sepuluh suku pertama adalah 420.

Perhitungan Menggunakan Suku Pertama dan Beda

Sekarang kita verifikasi dengan rumus kedua, menggunakan a=6 dan b=8.

S₁₀ = (10/2)
– [2*6 + (10-1)*8]
S ₁₀ = 5
– [12 + (9)*8]
S ₁₀ = 5
– [12 + 72]
S ₁₀ = 5
– 84
S ₁₀ = 420

Hasilnya identik, 420. Ini mengonfirmasi bahwa perhitungan kita sudah benar.

Visualisasi dan Pola Deret

Angka 420 sebagai jumlah mungkin terasa abstrak. Mari kita coba bayangkan. Bayangkan kita sedang menyusun batang korek api atau buku. Suku pertama (6) adalah tumpukan pertama. Suku kedua (14) adalah tumpukan di sebelahnya yang lebih tinggi 8 buah.

Suku ketiga (22) lebih tinggi lagi 8 buah, dan seterusnya hingga suku kesepuluh (78). Jika kita menyusun kesepuluh tumpukan ini berdampingan, kita akan melihat sebuah tangga yang naik secara teratur. Jumlah total benda (420) adalah luas dari bangunan bertangga tersebut jika kita menggabungkannya.

Pola pertambahan jumlahnya juga menarik. Jumlah setelah suku pertama (S ₁) adalah 6. Menambah suku kedua (14), jumlah kumulatif (S ₂) menjadi 20. Lalu suku ketiga (22) membuat S ₃=42. Terlihat bahwa penambahan jumlah setiap langkahnya semakin besar karena suku yang ditambahkan sendiri nilainya semakin besar.

Pertumbuhan Jumlah Kumulatif, Suku suatu barisan aritmetika dinyatakan dengan rumus Un = 8n – 2. Jumlah 10 suku pertama dari deret tersebut adalah

Berikut adalah perkembangan nilai S _n untuk enam suku pertama, yang menunjukkan percepatan pertambahan kumulatifnya:

• S ₁ = 6
• S ₂ = 20
• S ₃ = 42
• S ₄ = 72
• S ₅ = 110
• S ₆ = 156

Penerapan dalam Konteks Soal Lain

Kemahiran ini tidak hanya untuk satu jenis soal. Prinsip yang sama bisa diterapkan pada variasi rumus Un = pn + q lainnya. Kuncinya adalah tetap: identifikasi b dari koefisien n (p), dan cari a dengan substitusi n=1. Setelah itu, dunia menghitung jumlah suku terbuka lebar.

Misalkan kita menemui soal dengan rumus yang mirip tetapi konstanta berbeda, proses penyelesaiannya akan mengalir dengan logika yang telah kita bangun. Ini menunjukkan fleksibilitas dari pemahaman konsep dibandingkan sekadar menghafal satu prosedur.

Contoh Soal dan Strategi Penyelesaian

Sebagai latihan, mari kita ambil rumus yang sedikit dimodifikasi: Un = 8n + 1 . Tugasnya adalah mencari jumlah 12 suku pertamanya. Sebelum melihat penyelesaian, ingat strategi singkat ini:

Dari rumus Un = pn + q , beda b = p. Suku pertama a = p(1) + q. Setelah a, b, dan n diketahui, pilih salah satu rumus Sn yang paling nyaman untuk digunakan.

Sekarang, kita selesaikan untuk Un = 8n + 1 dan n=12.

1. Tentukan b = 8.
2. Tentukan a = 8(1) + 1 = 9.
3. Tentukan U12 = 8(12) + 1 = 97 .
4. Gunakan rumus Sn = (n/2)(a + U n) :
   S12 = (12/2)
- (9 + 97) = 6
- 106 = 636 .

Dengan demikian, jumlah 12 suku pertama dari barisan Un = 8n + 1 adalah
636. Metode ini bekerja secara konsisten untuk semua bentuk serupa.

Penutupan: Suku Suatu Barisan Aritmetika Dinyatakan Dengan Rumus Un = 8n – 2. Jumlah 10 Suku Pertama Dari Deret Tersebut Adalah

Jadi, setelah mengikuti seluruh jelajah hitung ini, ternyata mencari jumlah sepuluh suku pertama dari Un = 8n – 2 bukanlah misteri yang menyeramkan. Intinya, begitu kamu mengenali pola aritmetikanya, semua jadi mengalir. Kamu punya pilihan: pakai rumus yang melibatkan suku pertama dan terakhir, atau yang pakai suku pertama dan beda—keduanya akan membawamu ke pelabuhan yang sama, yaitu angka 350. So, next time ketemu soal serupa, jangan panik.

Tarik napas, identifikasi nilai ‘a’ dan ‘b’-nya, lalu masukkan ke dalam rumus ajaib Sn. Percayalah, matematika seringkali cuma soal mengenali pola dan berani mencoba langkah pertama.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa beda barisan aritmetika dengan deret aritmetika?

Barisan aritmetika adalah daftar urutan bilangan (misal: 6, 14, 22, …), sedangkan deret aritmetika adalah hasil penjumlahan dari suku-suku dalam barisan tersebut (misal: 6 + 14 + 22 + …).

Bagaimana jika rumus Un-nya bukan bentuk linear seperti 8n – 2?

Nah, kalau soal barisan aritmetika Un = 8n – 2, jumlah 10 suku pertamanya bisa kita temukan dengan rumus Sn. Ini mirip logikanya dengan mencari puncak dalam soal cerita lain, kayak saat kita mau hitung tinggi maksimum balon udara dalam x waktu dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi f(x) = -16x^2 + 112x – 91 meter. Tentukan tinggi maksimum balon udara.

di mana kita cari titik optimum. Setelah memahami konsep puncak itu, balik lagi ke deret aritmetika tadi, perhitungannya jadi lebih masuk akal dan kita bisa temukan jawabannya dengan lebih percaya diri.

Jika rumus Un bukan berbentuk ‘pn + q’ (linear terhadap n), maka barisan tersebut bukan barisan aritmetika. Contoh Un = n² atau Un = 2ⁿ akan membentuk barisan jenis lain yang punya rumus jumlah berbeda.

Apakah boleh langsung pakai rumus Sn = n/2 (a + Un) tanpa cari beda (b) dulu?

Sangat boleh! Itu justru sering lebih cepat. Asalkan kamu sudah tahu suku pertama (a) dan suku ke-n (Un) yang diminta, rumus itu langsung bisa dipakai tanpa perlu menghitung beda terlebih dahulu.

Bagaimana cara cepat mengetahui suku pertama (a) dari rumus Un = 8n – 2?

Substitusikan n = 1 ke dalam rumus. Jadi, U1 = a = 8(1)
-2 = 6. Itu adalah suku pertamanya. Cara yang sama berlaku untuk rumus bentuk pn+q lainnya.