Suku Terbesar Deret Geometri dengan Jumlah 21 dan Produk 216 itu ibarat teka-teki angka yang bikin penasaran. Bayangin aja, cuma dua suku yang jumlahnya 21 dan kalinya 216, tapi kita bisa ngulik sampe dapet deret lengkapnya dan tentuin mana rajanya, si suku paling gede. Soal kayak gini tuh nggak cuma sekadar hitung-hitungan, tapi lebih ke petualangan logika yang seru buat dicoba, apalagi buat kamu yang suka tantangan matematika yang nggak biasa.
Intinya, kita akan berhadapan dengan dua angka misterius dalam sebuah deret geometri. Mereka punya hubungan perkalian (rasio), dan dari petunjuk “jumlah 21” dan “hasil kali 216”, kita bakal menyusun persamaan, menyelesaikannya, dan akhirnya menemukan semua kemungkinan deretnya. Setelah itu, baru deh kita bandingin mana suku yang paling besar dari semua kemungkinan itu. Prosesnya bakal runtut dan jelas, jadi siap-siap buat mikir tapi santai aja.
Memahami Masalah dan Konsep Dasar Deret Geometri
Sebelum kita terjun ke dalam teka-teki angka ini, mari kita sepakati dulu bahasanya. Deret geometri itu sederhananya adalah barisan bilangan dimana setiap suku setelah suku pertama diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio (r). Kalau suku pertamanya kita sebut ‘a’, maka suku ke-n bisa kita dapat dengan rumus: U n = a . r n-1.
Nah, dalam kasus kita, kita hanya berurusan dengan dua suku. Biar lebih hidup, kita anggap saja kedua suku ini sebagai dua karakter dalam sebuah cerita.
Hubungan antara dua suku dalam deret geometri itu menarik. Misalkan kita punya dua suku, katakanlah U 1 = a dan U 2 = ar. Jumlah mereka adalah a + ar. Produk (hasil kali) mereka adalah a × ar = a 2r. Ini kunci utamanya.
Soal kita memberikan dua petunjuk misteri: jumlah kedua suku adalah 21, dan hasil kalinya adalah 216. Dari sini, kita sudah bisa mencium aroma dua persamaan yang siap kita padu-padankan untuk mengungkap identitas si ‘a’ dan si ‘r’.
Variabel dan Persamaan Matematika dari Permasalahan
Mari kita terjemahkan cerita ini ke dalam bahasa matematika yang lebih formal. Kita punya dua suku, yang bisa kita nyatakan sebagai suku pertama (a) dan suku kedua (ar). Dua petunjuk dari soal membentuk sistem persamaan berikut:
- Petunjuk Jumlah: a + ar = 21
- Petunjuk Produk: a × ar = a 2r = 216
Dua persamaan ini adalah harta karun kita. Mereka mengunci nilai a dan r yang mungkin. Tugas kita selanjutnya adalah membongkar kunci ini dengan cara yang elegan.
Merumuskan Persamaan dari Data yang Diketahui
Sekarang kita masuk ke tahap penyelidikan. Kita akan mengolah kedua petunjuk itu untuk mendapatkan satu persamaan yang lebih mudah dipecahkan. Dari persamaan jumlah, a + ar = 21, kita bisa memfaktorkan ‘a’ menjadi a(1 + r) = 21. Ini memberi kita hubungan bahwa a = 21 / (1 + r).
Sementara itu, persamaan produk sudah berbentuk a 2r =
216. Di sinilah keajaiban terjadi. Kita bisa menyulap kedua persamaan ini menjadi satu. Substitusikan nilai a dari persamaan pertama ke dalam persamaan kedua. Maka kita dapatkan:
(21 / (1 + r))2 × r = 216
Persamaan ini mungkin terlihat sedikit ruwet, tapi dengan sedikit manipulasi aljabar, ia akan membawa kita langsung ke jantung solusi.
Pembentukan Persamaan Kuadrat dalam Satu Variabel
Mari kita sederhanakan persamaan substitusi tadi. Pertama, kuadratkan bagian kiri: 441 / (1 + r) 2 × r =
216. Kalikan kedua sisi dengan (1 + r) 2 untuk menghilangkan penyebut, sehingga didapat 441r = 216(1 + r) 2. Bagi kedua sisi dengan 9 untuk menyederhanakan: 49r = 24(1 + 2r + r 2). Selanjutnya, kita kembangkan dan pindahkan semua suku ke satu sisi:
24r2 + 48r + 24 – 49r = 0
24r 2 – r + 24 = 0
Inilah dia, persamaan kuadrat yang kita cari: 24r 2
-r + 24 = 0. Persamaan ini akan menjadi gerbang menuju dua set solusi yang mungkin.
Menyelesaikan Persamaan dan Menemukan Pasangan Suku
Dengan persamaan kuadrat 24r 2
-r + 24 = 0 di tangan, kita bisa menggunakan rumus abc atau memfaktorkan. Mari kita faktorkan. Kita cari dua bilangan yang hasil kalinya 24 × 24 = 576 dan jumlahnya -1. Bilangan-bilangan itu adalah -9 dan -64? Tidak tepat.
Mari kita gunakan rumus abc saja untuk lebih pasti.
Diskriminan (D) = b 2
-4ac = (-1) 2
-4(24)(24) = 1 – 2304 = –
2303. Wah, diskriminannya negatif. Ini berarti tidak ada solusi real untuk r? Tapi tunggu dulu, kita mungkin terlalu terburu-buru. Mari kita periksa kembali aljabar kita.
Ada kemungkinan kesalahan kecil. Seharusnya, dari 49r = 24(1 + r) 2, kita dapatkan 49r = 24(1 + 2r + r 2) = 24 + 48r + 24r 2. Pindahkan 49r ke kanan: 0 = 24 + 48r + 24r 2
-49r = 24 – r + 24r 2. Jadi persamaan yang benar adalah 24r2
-r + 24 = 0 .
Ya, ini benar. Diskriminan memang negatif. Ini menarik, karena berarti tidak ada solusi real jika kita menganggap dua suku itu adalah suku pertama dan kedua secara berurutan.
Mungkin dua suku dalam soal ini bukan suku ke-1 dan ke-2, tetapi dua suku berurutan dalam posisi lain, misalnya suku ke-n dan suku ke-(n+1). Atau, mungkin lebih sederhana: dua suku ini adalah U 1 dan U 2, tetapi kita perlu mempertimbangkan bahwa urutannya bisa dibalik? Mari kita coba pendekatan lain. Kita misalkan kedua suku itu adalah x dan y, dengan y = x .
r. Maka kita punya x + y = 21 dan xy = 216. Ini adalah sistem persamaan simetris. Dari sini, kita bisa menganggap x dan y sebagai akar-akar dari persamaan kuadrat t 2
-21t + 216 = 0. Aha! Ini jalan yang lebih langsung.
Pasangan Solusi yang Mungkin, Suku Terbesar Deret Geometri dengan Jumlah 21 dan Produk 216
Mari selesaikan persamaan t 2
-21t + 216 =
0. Kita faktorkan: (t – 9)(t – 12) = 0. Jadi, nilai t adalah 9 dan 12. Ini berarti kedua suku kita adalah 9 dan 12. Sekarang, bagaimana mereka berhubungan dalam deret geometri?
Jika kita anggap suku pertama (a) = 9, maka suku kedua (ar) = 12, sehingga rasio r = 12/9 = 4/3. Sebaliknya, jika suku pertama (a) = 12, maka suku kedua (ar) = 9, sehingga rasio r = 9/12 = 3/4. Kedua skenario ini sama validnya.
| Pasangan Solusi | Nilai a (suku pertama) | Nilai r (rasio) | Deret Geometri (dua suku pertama) |
|---|---|---|---|
| Solusi 1 | 9 | 4/3 | 9, 12, 16, … |
| Solusi 2 | 12 | 3/4 | 12, 9, 6.75, … |
Analisis untuk Menentukan Suku Terbesar
Sekarang kita punya dua cerita yang berbeda. Di Solusi 1, deretnya naik dengan rasio lebih besar dari 1 (4/3). Suku-suku berikutnya akan semakin besar. Jadi, dari dua suku yang diketahui (9 dan 12), suku terbesarnya adalah 12, dan ia akan terus menjadi lebih besar seiring deret berlanjut. Di Solusi 2, ceritanya lain.
Deretnya turun dengan rasio kurang dari 1 (3/4). Suku-suku berikutnya akan semakin kecil. Maka, dari dua suku yang diketahui (12 dan 9), suku terbesarnya justru adalah suku pertama, yaitu 12.
Perhatikan pola yang menarik: dalam kedua skenario, angka 12 muncul sebagai suku terbesar dari dua suku yang berjumlah 21 dan berproduk 216. Namun, posisinya dalam deret dan masa depannya sangat berbeda.
Agar suatu suku menjadi yang terbesar dalam segmen deret geometri, rasio memainkan peran kunci. Jika r > 1, suku terbesar adalah suku dengan indeks terbesar. Jika 0 < r < 1, suku terbesar justru adalah suku pertama.
Perhitungan Penentuan Suku Terbesar
Mari kita buktikan dengan jelas. Untuk Pasangan Solusi 1 (a=9, r=4/3): Suku pertama = 9, Suku kedua = 9 × (4/3) =
12. Jelas 12 >
9. Untuk Pasangan Solusi 2 (a=12, r=3/4): Suku pertama = 12, Suku kedua = 12 × (3/4) = 9. Jelas 12 > 9.
Jadi, meskipun konfigurasi deretnya berbeda, nilai suku terbesar dari dua suku awal ini konsisten sama, yaitu 12. Pertanyaan “suku terbesar” di sini mengacu pada dua suku yang dimaksud dalam soal, bukan seluruh deret tak hingga.
Verifikasi Solusi dan Penyajian Akhir
Sebelum kita percaya sepenuhnya, mari kita verifikasi kedua solusi ke dalam kondisi awal. Untuk Solusi 1 (9 dan 12): Jumlah = 9 + 12 = 21 (sesuai). Produk = 9 × 12 = 216 (sesuai). Untuk Solusi 2 (12 dan 9): Jumlah = 12 + 9 = 21 (sesuai). Produk = 12 × 9 = 216 (sesuai).
Nah, kalau kamu lagi pusing mikirin soal Suku Terbesar Deret Geometri dengan Jumlah 21 dan Produk 216, tenang aja. Proses mencari solusinya mirip kayak butuh panduan praktis, misalnya Cara Dapatkan Serial Number (SN) Setelah Transfer Pulsa Telkomsel. Setelah kamu dapat petunjuk yang jelas, baru deh pikiran jadi lebih fokus dan terstruktur untuk balik lagi menyelesaikan teka-teki deret geometri tadi dengan lebih percaya diri.
Keduanya sah dan memenuhi semua syarat.
Bayangkan dua narasi ini. Narasi pertama bercerita tentang sebuah pertumbuhan, dimulai dari 9, melompat menjadi 12, dan terus melesat naik. Di sini, 12 adalah puncak awal dari sebuah tren kenaikan. Narasi kedua justru bercerita tentang penyusutan, mulai dari puncak 12, kemudian menyusut menjadi 9, dan terus mengecil. Di sini, 12 adalah titik awal sekaligus puncak yang mulai dituruni.
Soal hanya menanyakan suku terbesar dari dua suku yang diberikan, dan dalam kedua cerita itu, jawabannya adalah sang “12”, entah ia sebagai pemberontak yang naik atau raja yang mulai turun takhtanya.
- Deret Geometri Solusi 1: 9, 12, 16, 21.33, … Suku terbesar dari dua suku pertama adalah 12.
- Deret Geometri Solusi 2: 12, 9, 6.75, 5.0625, … Suku terbesar dari dua suku pertama adalah 12.
Dengan demikian, terlepas dari arah deretnya, suku terbesar yang memenuhi kondisi jumlah 21 dan produk 216 adalah 12.
Ringkasan Akhir: Suku Terbesar Deret Geometri Dengan Jumlah 21 Dan Produk 216
Source: colearn.id
Jadi, gimana? Ternyata dari sebuah teka-teki sederhana tentang dua bilangan, kita bisa menguak seluruh barisan geometrinya, lengkap dengan rasio dan suku pertamanya. Yang menarik, solusinya nggak cuma satu, dan dari sanalah kita menemukan sang juara: suku 16. Kesimpulannya, dalam deret geometri, gelar “suku terbesar” itu nggak cuma soal angka gede, tapi juga tentang posisi dan hubungannya dengan rasio. Kalau rasionya lebih dari satu, suku terakhir yang menang.
Kalau rasionya di antara nol dan satu, justru suku pertamalah yang berkuasa. Simple kan? Sekarang kamu punya senjata baru buat bongkar-bongkar soal deret geometri yang kelihatan rumit.
Tanya Jawab (Q&A)
Apa bedanya soal ini dengan soal deret geometri biasa?
Soal ini unik karena hanya memberi informasi tentang dua suku (tapi tidak disebutkan suku ke berapa) melalui jumlah dan hasil kalinya, bukan suku pertama dan rasio secara langsung. Kita harus “membongkar” dulu dua suku tersebut sebelum bisa membentuk deret lengkapnya.
Apakah selalu ada dua jawaban untuk masalah seperti ini?
Dalam konteks dua suku dengan jumlah dan produk yang diketahui, secara aljabar akan selalu menghasilkan persamaan kuadrat yang umumnya punya dua pasang solusi. Namun, perlu dicek lagi, karena bisa saja kedua solusi itu sebenarnya merepresentasikan pasangan suku yang sama (misalnya suku a dan b, lalu b dan a).
Bagaimana jika produknya negatif, apakah langkahnya sama?
Nah, soal Suku Terbesar Deret Geometri dengan jumlah 21 dan produk 216 itu memang bikin penasaran, ya? Rasanya mirip saat kita harus memecahkan teka-teki konsentrasi dalam kimia, seperti saat Menghitung volume akhir larutan CaCl₂ 0,15 M 500 ml agar Cl⁻ 0,05 M. Keduanya butuh logika dan ketelitian yang sama. Jadi, setelah paham konsep pengenceran itu, kamu pasti lebih siap untuk menguak misteri suku terbesar deret geometri tadi dengan lebih percaya diri.
Prinsipnya sama, yaitu menyusun sistem persamaan dari jumlah dan produk. Namun, jika produk negatif, berarti kedua suku tersebut memiliki tanda yang berlawanan (satu positif, satu negatif). Ini akan mempengaruhi nilai rasio (r) yang mungkin menjadi negatif juga, sehingga menghasilkan deret geometri yang naik-turun (alternating).
Bisakah soal seperti ini diselesaikan dengan mencoba-coba angka?
Bisa saja, karena 216 punya faktor-faktor seperti 12 dan 18, atau 8 dan 27, yang jika dijumlahkan mendekati 21. Tapi cara mencoba-coba kurang elegan dan tidak menjamin menemukan semua solusi, terutama jika angkanya bukan bilangan bulat. Metode aljabar dengan persamaan lebih terjamin dan sistematis.
