Jika garis 3x – 4y = 1, 2x – 3y = -1, -x + 2y = k berpotongan di satu titik, maka k =… Nah, pertanyaan aljabar yang satu ini sebenarnya adalah teka-teki geometri yang elegan. Bayangkan tiga garis di bidang kartesius yang dijanjikan untuk bertemu di satu titik persimpangan yang sama. Dua garis pertama sudah punya jalur tetap, sementara garis ketiga masih misterius, bergantung pada nilai ‘k’ yang kita cari.
Tugas kita adalah menjadi detektif koordinat yang memastikan pertemuan besar itu terjadi tanpa cacat.
Pada dasarnya, ini adalah soal sistem persamaan linear yang menuntut solusi tunggal. Artinya, harus ada satu pasangan angka (x, y) yang bisa memuaskan ketiga persamaan sekaligus. Logikanya, kita cukup mencari titik temu dari dua garis yang sudah jelas, lalu memaksa garis ketiga untuk lewat di titik yang sama itu dengan memilih nilai ‘k’ yang tepat. Mari kita urai langkah-langkahnya dengan cara yang mudah diikuti, sekaligus melihat keindahan matematika di baliknya.
Memahami Masalah Sistem Persamaan Linear
Bayangkan kamu punya tiga garis lurus di atas bidang kartesius. Biasanya, tiga garis bisa saling berpotongan dengan berbagai kemungkinan: membentuk segitiga, dua di antaranya sejajar, atau malah bertemu di tiga titik yang berbeda. Namun, dalam kasus spesial, ketiganya bisa bertemu tepat di satu titik yang sama. Itulah yang diminta soal ini. Secara matematis, ini berarti ada sepasang angka (x, y) yang memenuhi ketiga persamaan garis tersebut secara bersamaan.
Dengan kata lain, sistem persamaan linear dua variabel ini memiliki solusi tunggal.
Syarat mutlak agar tiga persamaan linear dua variabel punya solusi tunggal adalah titik potong dari dua garis pertama harus juga terletak pada garis ketiga. Dua garis pertama pasti akan berpotongan di satu titik (kecuali mereka sejajar), dan tugas kita adalah memastikan garis ketiga melewati titik yang sama itu. Parameter ‘k’ dalam persamaan ketiga berperan sebagai pengendali; kita akan menyesuaikan nilainya agar garis ketiga tepat melintasi titik temu dua garis sebelumnya.
Karakteristik Sistem Persamaan Linear
Untuk memperjelas perbedaan antara sistem persamaan yang memiliki solusi tunggal, banyak, atau tidak ada solusi, tabel berikut merangkum karakteristik utamanya dari segi aljabar dan geometri.
| Jenis Solusi | Interpretasi Aljabar | Interpretasi Geometris | Kondisi Rasio Koefisien |
|---|---|---|---|
| Solusi Tunggal | Terdapat satu pasangan (x, y) yang memenuhi semua persamaan. | Semua garis berpotongan pada satu titik yang sama. | Rasio koefisien x dan y dari setiap pasangan persamaan tidak sama. |
| Banyak Solusi | Terdapat tak hingga banyak pasangan (x, y) yang memenuhi. | Semua garis berhimpit (berpotongan di setiap titik pada garis tersebut). | Rasio koefisien x, y, dan konstanta dari setiap persamaan adalah sama. |
| Tidak Ada Solusi | Tidak ada pasangan (x, y) yang memenuhi semua persamaan sekaligus. | Garis-garis sejajar dan tidak pernah bertemu. | Rasio koefisien x dan y sama, tetapi rasio dengan konstanta berbeda. |
Menyelesaikan Sistem untuk Menemukan Titik Potong
Langkah pertama yang paling logis adalah menemukan titik temu dari dua garis yang sudah lengkap koefisien dan konstantanya, yaitu garis 3x – 4y = 1 dan 2x – 3y = -1. Titik inilah yang nantinya akan kita “tawarkan” kepada garis ketuga untuk dilalui. Metode eliminasi terasa cukup efisien di sini karena koefisien x dan y-nya tidak terlalu rumit.
Langkah Eliminasi Variabel x
Kita akan eliminasi variabel x terlebih dahulu. Caranya, kita samakan koefisien x dari kedua persamaan dengan mengalikan persamaan pertama dengan 2 dan persamaan kedua dengan 3.
Persamaan 1 (dikalikan 2): 2*(3x – 4y) = 2*1 → 6x – 8y = 2
Persamaan 2 (dikalikan 3): 3*(2x – 3y) = 3*(-1) → 6x – 9y = -3
Sekarang, kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama untuk menghilangkan x.
(6x – 8y)
- (6x – 9y) = 2 – (-3)
- x – 8y – 6x + 9y = 2 + 3
y = 5
Substitusi Nilai y untuk Mendapatkan x
Setelah mendapatkan y = 5, kita substitusikan ke salah satu persamaan awal. Mari gunakan persamaan pertama, 3x – 4y = 1.
- x – 4*(5) = 1
- x – 20 = 1
- x = 21
x = 7
Bingung cari nilai k supaya tiga garis itu bertemu di satu titik? Tenang, konsepnya sama kayak saat kamu Tentukan himpunan penyelesaian dari: 2x + 3y = 12 2x – y = 4. Intinya, kamu cari titik potong dua garis dulu, lalu substitusi ke persamaan ketiga. Nah, dengan cara serupa, setelah ketemu titik potong dari 3x-4y=1 dan 2x-3y=-1, masukkan ke -x+2y=k, dan voila! Nilai k pun ketemu.
Jadi, titik potong dari dua garis pertama adalah (7, 5). Ini adalah kandidat titik temu ketiga garis.
Mengapa dua persamaan pertama yang diselesaikan terlebih dahulu? Karena persamaan ketiga mengandung parameter ‘k’ yang belum diketahui. Logikanya, kita harus menemukan titik yang pasti dulu dari informasi yang lengkap. Setelah titik pasti itu ditemukan, barulah kita gunakan untuk menentukan nilai ‘k’ yang membuat garis ketiga “tunduk” dan melewati titik tersebut. Ini seperti menentukan lokasi pesta dari dua teman, lalu mengirimkan pin lokasi yang tepat ke teman ketiga agar dia tidak tersesat.
Mensubstitusi Titik Potong ke Persamaan Ketiga
Sekarang kita punya kuncinya: titik (7, 5). Garis ketiga, -x + 2y = k, harus rela melewati titik ini agar mimpi tiga garis bertemu di satu titik menjadi kenyataan. Caranya? Ganti saja variabel x dan y pada persamaan ketiga dengan 7 dan 5.
Perhitungan untuk Mengisolasi k
Substitusi dilakukan secara langsung.
- x + 2y = k
- (7) + 2*(5) = k
- 7 + 10 = k
k = 3
Perhitungannya sederhana, tapi maknanya dalam. Nilai k = 3 ini bukan angka biasa; ini adalah kode akses yang membuat garis ketiga bergabung dengan pertemuan akbar di koordinat (7,5). Jika k bukan 3, maka garis ketiga akan melengos, memotong dua garis sebelumnya di titik yang berbeda, atau malah sejajar dan tidak ikut berpesta sama sekali.
Ilustrasi Geometris Hasil Substitusi
Dengan k = 3, persamaan garis ketiga menjadi -x + 2y = 3 atau bisa ditulis ulang menjadi y = (1/2)x + 1.5. Jika digambarkan, garis ini akan terlihat memotong sumbu y di 1.5 dan memiliki gradien landai. Yang paling penting, ketika garis ini diperpanjang, ia akan dengan tepat menembus titik (7,5). Bayangkan tiga batang laser yang berasal dari arah berbeda, namun semua sinarnya fokus dan bersilangan pada satu butir debu di udara.
Itulah visualisasi yang tepat.
Verifikasi dan Interpretasi Hasil
Sebagai orang yang teliti, kita tidak boleh langsung percaya. Mari verifikasi dengan memasukkan nilai k=3 ke dalam sistem lengkap dan memastikan titik (7,5) benar-benar memenuhi ketiganya.
Proses Verifikasi Langkah demi Langkah
- Persamaan 1: 3(7)
-4(5) = 21 – 20 = 1 → BENAR. - Persamaan 2: 2(7)
-3(5) = 14 – 15 = -1 → BENAR. - Persamaan 3 (dengan k=3): -(7) + 2(5) = -7 + 10 = 3 → BENAR.
Verifikasi sukses. Titik (7,5) adalah solusi untuk ketiga persamaan. Secara geometris, ini mengonfirmasi bahwa ketiga garis tersebut—dengan kemiringan dan posisi yang berbeda-beda—benar-benar bersekongkol untuk bertemu di satu tempat rahasia tersebut.
Ringkasan Data dan Persamaan Akhir
Tabel berikut merangkum seluruh hasil perhitungan kita, memberikan gambaran utuh tentang sistem persamaan yang telah terselesaikan.
| Persamaan Garis | Bentuk yang Disederhanakan | Nilai Parameter | Titik Potong Bersama |
|---|---|---|---|
| 3x – 4y = 1 | y = (3/4)x – 1/4 | – | (7, 5) |
| 2x – 3y = -1 | y = (2/3)x + 1/3 | – | |
| -x + 2y = k | y = (1/2)x + 3/2 | k = 3 |
Eksplorasi Variasi dan Latihan Serupa
Masalah seperti ini tidak berhenti di sini. Struktur logikanya—mencari parameter agar beberapa garis berpotongan di satu titik—sering muncul dalam berbagai bentuk. Mari kita buat satu contoh varian untuk mengasah pemahaman.
Contoh Masalah dengan Struktur Serupa
Diketahui garis-garis dengan persamaan 4x + y = 10, x – 2y = -5, dan px + 3y = 12. Tentukan nilai p agar ketiga garis berpotongan di satu titik. Ikuti logika yang sama: cari titik potong dua garis pertama, lalu substitusi ke garis ketiga untuk menemukan p.
- Selesaikan sistem 4x + y = 10 dan x – 2y = -Dengan substitusi, dari persamaan pertama didapat y = 10 – 4x. Substitusi ke persamaan kedua: x – 2(10 – 4x) = -5 → x – 20 + 8x = -5 → 9x = 15 → x = 15/9 = 5/3.
- Substitusi x = 5/3 ke y = 10 – 4x → y = 10 – 4*(5/3) = 10 – 20/3 = (30-20)/3 = 10/3. Titik potongnya (5/3, 10/3).
- Substitusi titik ini ke px + 3y = 12 → p*(5/3) + 3*(10/3) = 12 → (5p/3) + 10 = 12 → 5p/3 = 2 → 5p = 6 → p = 6/5.
Jadi, nilai p yang dicari adalah 6/5.
Prosedur Umum dan Langkah Kunci, Jika garis 3x – 4y = 1, 2x – 3y = -1, -x + 2y = k berpotongan di satu titik, maka k =
Untuk menguasai seluruh kelas masalah seperti ini, ingat dan ikuti langkah-langkah sistematis berikut.
- Identifikasi Persamaan Lengkap dan yang Berparameter: Pisahkan persamaan yang koefisien dan konstantanya sudah diketahui dari persamaan yang masih mengandung parameter (seperti k, p, a, dll.).
- Cari Titik Potong dari Dua Persamaan Lengkap: Gunakan metode eliminasi atau substitusi pada dua persamaan yang tidak mengandung parameter untuk menemukan koordinat (x, y) titik potongnya.
- Substitusi Titik ke Persamaan Berparameter: Masukkan nilai x dan y yang telah ditemukan ke dalam persamaan yang mengandung parameter.
- Selesaikan untuk Parameter: Lakukan operasi aljabar sederhana untuk mengisolasi parameter dan menemukan nilai numeriknya.
- Verifikasi (Opsional tapi Dianjurkan): Substitusi kembali parameter yang ditemukan ke dalam sistem asli untuk memastikan konsistensi solusinya.
Dengan mengikuti peta langkah ini, kamu bisa menyelesaikan tidak hanya soal dengan tiga garis, tetapi juga variasi lain yang melibatkan lebih banyak garis dan parameter. Intinya selalu sama: temukan titik temu dari informasi yang pasti, lalu paksa garis yang belum pasti untuk melewati titik itu.
Penutupan Akhir: Jika Garis 3x – 4y = 1, 2x – 3y = -1, -x + 2y = K Berpotongan Di Satu Titik, Maka K =
Jadi, begitulah ceritanya. Dengan menemukan titik potong (7, 5) dari dua garis pertama dan mensubstitusikannya, kita dapatkan k =
3. Ketika k bernilai 3, garis ketiga -x + 2y = 3 dengan patuh melewati titik yang sama, menyelesaikan trilogi persamaan ini dengan akhir yang bahagia. Pelajaran pentingnya: dalam sistem persamaan, konsistensi adalah segalanya. Nilai parameter yang satu salah bisa membuat garisnya ngelantur sendiri, tidak kebagian cerita.
Coba terapkan logika yang sama pada soal dengan angka berbeda; rasanya puas sekali ketika ketiga garis itu akhirnya bertemu berkat perhitungan kita.
Pertanyaan yang Sering Muncul
Apakah mungkin ketiga garis ini berpotongan di lebih dari satu titik?
Tidak mungkin. Dua garis linear yang tidak berhimpitan maksimal berpotongan di satu titik. Jika garis ketuga juga melalui titik itu, maka hanya ada satu titik potong bersama.
Nah, kalau kamu udah nemuin nilai k dari persamaan garis yang berpotongan di satu titik itu, pasti rasanya puas banget, kan? Soal-soal kayak gini memang butuh ketelitian, mirip kayak saat kita mau mencari Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum -2 untuk x = 3. Jika nilai fungsinya 16 untuk x = 0, fungsi kuadrat tersebut adalah yang perlu data kunci untuk dibentuk.
Intinya, semua teka-teki aljabar ini punya pola penyelesaiannya sendiri. Jadi, setelah paham caranya, kamu pasti bisa langsung menentukan nilai k dengan tepat tanpa ragu-ragu.
Bagaimana jika yang dicari bukan ‘k’ tapi koefisien x atau y di persamaan ketiga?
Metodenya sama. Cari dulu titik potong dari dua persamaan yang lengkap, lalu substitusi nilai x dan y ke persamaan ketiga yang belum lengkap untuk mencari parameter yang ditanyakan.
Apa yang terjadi jika nilai ‘k’ yang kita dapatkan salah?
Jika ‘k’ salah, garis ketiga tidak akan melewati titik potong dua garis pertama. Sistem persamaan menjadi tidak konsisten dan ketiga garis akan membentuk sebuah segitiga, bukan bertemu di satu titik.
Apakah ada cara cepat atau rumus langsung untuk mencari nilai k seperti ini?
Tidak ada rumus ajaib yang universal. Cara tercepat adalah menyelesaikan sistem dari dua persamaan pertama untuk mendapatkan x dan y, lalu substitusi ke persamaan ketiga. Itu sudah merupakan metode paling efisien.
