Jika a x b = 12 dengan a dan n adalah bilangan bulat positif, maka nilai maksimum a + b – 1 adalah – Jika a x b = 12 dengan a dan b adalah bilangan bulat positif, maka nilai maksimum a + b – 1 adalah teka-teki numerik sederhana yang menyimpan prinsip matematika rapi di baliknya. Soal ini mengajak kita bermain-main dengan faktor, mengutak-atik pasangan angka, dan menemukan pola yang ternyata punya logika elegan. Mari kita buka bersama lembaran ini, cari semua kemungkinannya, dan lihat ke mana angka-angka itu membawa kita.
Persoalannya jelas: kita punya dua bilangan bulat positif yang jika dikalikan hasilnya
12. Tugas kita adalah menguji setiap pasangan yang mungkin, menghitung operasi a + b – 1, dan menemukan puncak tertingginya. Ini seperti mencari kombinasi kunci yang tepat untuk membuka peti harta karun bernilai maksimum. Dari pasangan seperti (1,12) hingga (3,4), mana yang akan memberikan hasil terbesar? Proses pencariannya justru bagian yang paling seru.
Memahami Permainan Angka: Ketika Perkalian Dikunci, Penjumlahan Bervariasi
Source: gauthmath.com
Bayangkan kita punya dua kotak misteri, a dan b. Isi dari kedua kotak ini harus bilangan bulat positif, yaitu 1, 2, 3, dan seterusnya. Aturan mainnya sederhana sekaligus mengikat: jika isi kotak a dikalikan dengan isi kotak b, hasilnya harus selalu 12. Persis seperti dua kunci yang saling mengunci untuk membuka pintu bernilai 12. Pertanyaannya, dengan aturan ketat ini, berapa nilai terbesar yang bisa kita dapat dari operasi a + b – 1?
Soal ini mengajak kita bermain logika dalam kerangka yang sudah ditentukan, mencari celah untuk memaksimalkan hasil akhir.
Langkah pertama adalah membongkar semua kemungkinan pasangan kunci (a, b) itu. Karena a dan b adalah bilangan bulat positif, kita mencari semua pembagi positif dari
12. Setiap pembagi akan punya pasangannya yang unik. Proses ini mirip merapikan lemari: kita keluarkan semua pasangan kaos dan celana yang cocok, lalu kita lihat mana yang memberikan gaya paling “ekstrem”.
Inventarisasi Semua Pasangan yang Mungkin, Jika a x b = 12 dengan a dan n adalah bilangan bulat positif, maka nilai maksimum a + b – 1 adalah
Mari kita daftar semua kemungkinan pasangan (a, b) dimana a × b = 12. Untuk memudahkan analisis, kita akan menyusunnya dalam sebuah tabel yang menunjukkan setiap pasangan beserta nilai a + b dan nilai target kita, yaitu a + b – 1.
| Nilai a | Nilai b | a + b | a + b – 1 |
|---|---|---|---|
| 1 | 12 | 13 | 12 |
| 2 | 6 | 8 | 7 |
| 3 | 4 | 7 | 6 |
| 4 | 3 | 7 | 6 |
| 6 | 2 | 8 | 7 |
| 12 | 1 | 13 | 12 |
Tabel di atas dengan jelas menunjukkan pola. Meskipun ada enam baris, sebenarnya hanya tiga pasangan unik jika kita mengabaikan urutan (karena perkalian bersifat komutatif). Pasangan (1,12) dan (12,1) memberikan hasil penjumlahan yang sama, yaitu 13. Begitu pula dengan pasangan (2,6) dan (6,2), serta (3,4) dan (4,3).
Menentukan Puncak dari Semua Kemungkinan
Dari inventarisasi yang sudah kita lakukan, proses menentukan nilai maksimum menjadi tugas yang gamblang. Kita tinggal membandingkan kolom terakhir dari tabel, yaitu nilai a + b – 1. Dari semua angka di kolom tersebut, mana yang paling besar? Ini adalah momen adu cepat sederhana di antara kandidat yang sudah diketahui.
Dengan melihat tabel, nilai a + b – 1 yang muncul adalah 12, 7, dan 6. Jelas bahwa nilai 12 adalah yang tertinggi. Nilai ini dihasilkan oleh pasangan dimana salah satu angkanya adalah 1 dan yang lainnya adalah 12. Jadi, jawaban dari teka-teki awal adalah 12. Pasangan (1, 12) atau (12, 1) adalah juaranya dalam hal memaksimalkan ekspresi a + b – 1.
Alasan di Balik Kemenangan Pasangan Ekstrem
Mengapa justru pasangan yang angkanya paling jomplang (1 dan 12) yang menang? Rahasianya terletak pada hubungan tersembunyi antara perkalian dan penjumlahan. Untuk hasil perkalian yang tetap (dalam hal ini 12), nilai penjumlahan a + b tidaklah tetap. Ia berubah-ubah tergantung sebaran kedua faktor.
Kalau kita lagi mikirin soal kayak “Jika a x b = 12 dengan a dan b bilangan bulat positif, maka nilai maksimum a + b – 1 adalah”, kadang otak butuh jeda sejenak buat nge-refresh pola pikir. Nah, coba deh alihkan dulu dengan aktivitas visual kayak Gambarlah grafik fungsi kuadrat berikut. y = -x^2 – 2x + 3.
Proses menggambar grafik itu bisa bikin logika makin terasah, lho. Setelah itu, balik lagi ke soal tadi, pasti kamu lebih siap buat nemuin jawaban maksimumnya dengan cara berpikir yang lebih jernih dan kreatif.
- Prinsip dasarnya: Semakin dekat nilai a dan b, maka hasil penjumlahannya justru semakin kecil. Sebaliknya, semakin jauh jarak (selisih) antara a dan b, hasil penjumlahannya akan semakin besar.
- Coba bandingkan: Pasangan (3,4) hampir sama, jumlahnya 7. Pasangan (2,6) lebih berjauhan, jumlahnya 8. Pasangan (1,12) paling jauh, jumlahnya 13. Ini adalah aturan main yang elegan dari matematika.
- Karena ekspresi kita adalah a + b – 1, logikanya mengikuti a + b. Jadi, untuk memaksimalkan a + b – 1, kita harus memaksimalkan a + b terlebih dahulu. Dan untuk memaksimalkan a + b dari perkalian tetap, kita harus memilih pasangan faktor dengan selisih terbesar.
Dalam konteks bilangan bulat positif untuk angka 12, pasangan dengan selisih terbesar itu memang (1, 12). Bayangkan dua bilangan yang dikalikan hasilnya tetap, jika salah satu dikecilkan mendekati 1, yang otomatis lainnya akan membesar mendekati 12, sehingga jumlah totalnya meledak.
Strategi Umum untuk Menaklukkan Soal Serupa
Setelah memahami satu kasus, kita bisa merumuskan jurus pamungkas untuk soal bertipe “Jika p × q = N, tentukan nilai maksimum/minimum dari p + q ± k”. Jurus ini bersifat universal selama p dan q punya batasan yang jelas (seperti bilangan bulat positif).
Nah, kalau kita lagi bahas soal kayak “Jika a x b = 12 dengan a dan b bilangan bulat positif, maka nilai maksimum a + b – 1 adalah”, triknya tuh cari pasangan faktor yang selisihnya besar, kayak 1 dan 12. Tapi jangan cuma stuck di situ, coba lihat juga konsep akar-akar dalam Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 1 – akar(3) dan 1 + akar(3) adalah.
Dari situ, kita bisa belajar pola menyusun persamaan dari akar-akarnya, yang intinya sama aja: memahami hubungan antar bilangan. Jadi, balik lagi, nilai maksimum dari a + b – 1 tuh bisa didapat dengan logika yang mirip, yaitu memaksimalkan salah satu variabelnya.
Prosedur umumnya bisa dirangkum dalam langkah-langkah berikut. Pertama, identifikasi semua faktor dari N yang memenuhi batasan soal (bulat positif, cacah, dll). Kedua, dari daftar faktor tersebut, cari pasangan yang memberikan nilai p + q terbesar (untuk mencari maksimum) atau terkecil (untuk mencari minimum). Ketiga, hitung nilai ekspresi akhirnya (p + q ± k) berdasarkan pasangan yang telah ditemukan.
Rumus Praktis: Untuk p × q = N dengan p dan q bilangan bulat positif, nilai maksimum dari p + q ± k dicapai oleh pasangan faktor dengan selisih terbesar (yaitu 1 dan N). Nilai minimumnya dicapai oleh pasangan faktor yang nilainya paling berdekatan (faktor yang akar kuadratnya paling dekat dengan √N).
Mari kita uji dengan contoh lain. Misalkan soalnya: “Jika m × n = 36, maka nilai maksimum dari m + n + 5 adalah?” Kita cari pasangan faktor 36 yang selisihnya terbesar, yaitu (1, 36). Maka m + n + 5 = 1 + 36 + 5 = 42. Selesai. Untuk nilai minimum, kita cari pasangan faktor yang paling dekat, yaitu (6,6).
Maka nilai minimumnya adalah 6 + 6 + 5 = 17.
Ilustrasi Konseptual Hubungan Faktor
Hubungan ini bisa divisualisasikan seperti sebuah papan jungkat-jungkit imajinasi. Titik tumpunya adalah hasil perkalian (N) yang tetap. Di ujung-ujung papan duduk dua faktor, a dan b. Agar perkaliannya konstan, jika satu faktor naik (mendekati ujung), faktor lainnya harus turun (mendekati tumpu).
Penjumlahan a + b menggambarkan total panjang papan dari ujung ke ujung. Ketika kedua faktor sama (berada simetris di dekat tumpu), total panjangnya minimal. Ketika satu faktor didorong sampai ke ujung terjauh (angka besar) dan yang lainnya terdorong sangat dekat ke tumpu (angka 1), total panjang papan itu menjadi maksimal. Grafik hubungan ini akan membentuk kurva yang turun lalu naik lagi, dengan titik terendahnya saat a dan b sama.
Dalam dunia bilangan bulat, kita hanya mengambil titik-titik diskrit pada kurva tersebut.
Menjelajahi Batasan dan Dunia di Luar Bilangan Bulat: Jika A X B = 12 Dengan A Dan N Adalah Bilangan Bulat Positif, Maka Nilai Maksimum A + B – 1 Adalah
Apa yang terjadi jika kita melanggar aturan? Bagaimana jika a dan b boleh berupa bilangan desimal? Ini adalah eksplorasi penting untuk memahami mengapa batasan “bilangan bulat positif” dalam soal ini sangat krusial dan membentuk jawaban akhirnya.
Jika a dan b boleh bilangan real positif (termasuk desimal), maka konsep “pasangan dengan selisih terbesar” menjadi tak terhingga. Kita bisa memilih a yang sangat-sangat dekat dengan 0 (misal 0.001), maka b harusnya 12000 agar perkaliannya 12. Nilai a + b – 1 akan mendekati 11999, yang jauh lebih besar dari 12. Jadi, batasan bilangan bulat positif itulah yang membuat soal ini memiliki jawaban pasti dan terhingga.
Ia mencegah kita masuk ke wilayah ketakterbatasan tersebut.
Perbandingan Hasil Berdasarkan Jenis Bilangan
Batasan jenis bilangan mengubah lanskap solusi secara dramatis. Berikut tabel perbandingan singkat untuk soal a × b = 12 dan ekspresi a + b – 1.
| Batasan a, b | Nilai Maksimum a + b – 1 | Pasangan yang Memberikan | Keterangan |
|---|---|---|---|
| Bilangan Bulat Positif | 12 | (1, 12) atau (12, 1) | Jawaban soal asli. |
| Bilangan Cacah (termasuk 0) | Tidak Terdefinisi | – | Jika salah satu 0, perkalian 0, tidak memenuhi a×b=12. |
| Bilangan Real Positif | Tidak Terhingga (∞) | Tidak ada | Dengan a mendekati 0, b mendekati ∞, jumlahnya mendekati ∞. |
| Bilangan Bulat (Positif & Negatif) | Tidak Terhingga | Contoh: (-1, -12) | a + b = -13, a+b-1 = -14. Bisa positif besar? Misal (-0.001, -12000)? Itu desimal. Untuk bulat, cari minimum? Pola lain. |
Tabel ini menunjukkan bahwa keindahan dan keunikan solusi dari soal asli kita sepenuhnya bergantung pada sangkar emas bernama “bilangan bulat positif”. Ia memberi kita ruang gerak yang terbatas, sehingga kita bisa dengan pasti menemukan pemenangnya. Tanpa sangkar itu, kita justru tersesat dalam lautan kemungkinan yang tak bertepi.
Akhir Kata
Jadi, setelah menjelajahi semua pasangan, ketemulah jawabannya. Nilai maksimum dari a + b – 1 adalah 12, yang didapat dari pasangan (1,12) atau (12,1). Pelajaran dari sini sederhana tapi powerful: untuk perkalian tetap, penjumlahan akan minimum ketika kedua angkanya berdekatan, dan justru akan maksimum ketika selisihnya terjauh. Konsep ini adalah senjata ampuh untuk menyelesaikan berbagai variasi soal serupa. Sekarang, coba terapkan prinsip ini ke angka lain, pasti langsung ketemu polanya.
Selamat berpikir!
Pertanyaan yang Sering Diajukan
Mengapa harus bilangan bulat positif? Bagaimana jika nol atau bilangan negatif diperbolehkan?
Batasan “bilangan bulat positif” (1, 2, 3, …) menghilangkan kemungkinan nol atau pecahan. Jika nol diperbolehkan, maka a atau b bisa 0, membuat perkaliannya 0, bukan 12. Jika negatif diperbolehkan, pasangan seperti (-1,-12) juga jadi faktor 12, dan penjumlahan a+b bisa bernilai negatif besar, yang justru membuat a+b-1 menjadi sangat kecil (minimum), bukan maksimum.
Apakah soal ini bisa diselesaikan tanpa mencoba semua pasangan?
Bisa! Dengan prinsip bahwa untuk hasil kali tetap, nilai a+b minimum ketika a dan b sedekat mungkin (mendekati akar kuadrat dari 12), dan nilai a+b maksimum ketika selisihnya paling jauh. Karena kita mencari nilai MAKSIMUM a+b-1, maka kita pilih pasangan dengan selisih terjauh, yaitu (1,12) atau (12,1).
Bagaimana jika soalnya mencari nilai minimum dari a + b – 1?
Maka kita cari pasangan dengan a+b paling kecil. Dari faktor 12, pasangan yang angkanya paling berdekatan adalah (3,4) dan (4,3). Nilai a+b-1 untuk pasangan ini adalah 3+4-1 = 6. Jadi nilai minimumnya adalah 6.
Apakah ada trik cepat untuk soal bentuk “jika p x q = N, cari max/min dari p + q ± k”?
Ya. Langkahnya: 1) Faktorkan N. 2) Untuk nilai MAX p+q, pilih pasangan faktor dengan selisih terbesar (angka terkecil dan terbesar). 3) Untuk nilai MIN p+q, pilih pasangan faktor dengan selisih terkecil (yang mendekati √N). 4) Setelah dapat p+q, baru tambah atau kurangi dengan konstanta k.
